７-５离散系统的稳定性与稳态误差一 离散系统的稳定性1采样系统的稳定条件在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根据特征方程的根在s平面的位置。若系统特征方程的所有根都在s平面左半平面，则系统稳定。对线性离散系统进行了Z变换以后，对系统的分析要采用Z平面，因此需要弄清这两个复平面的相互关系。s域到z域的映射:复变量s和z的相互关系为z=esT，式中T为采样周期s域中的任意点可
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示为，映射到z域则为于是，s域到z域的基本映射关系式为若设复变量s在S平面上沿虚轴移动，这时s＝jω，对应的复变量。后者是Z平面上的一个向量，其模等于1，与频率ω无关；其相角为ωT，随频率ω而改变。可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆心的单位圆。当s位于S平面虚轴的左边时，σ为负数，小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为正数，大于1。s平面的左、右半平面在z平面上的映像为单位圆的内、外部区域。图7-20：线性采样系统结构图线性采样系统稳定的充要条件线性采样系统如图7-20所示。其特征方程为显然，闭环系统特征方程的根λ1、λ2、…λn即是闭环脉冲传递函数的极点。在z域中，离散系统稳定充要条件是：当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，相应的线性定常系统是稳定的。应当指出，如同分析连续系统的稳定性一样，用解特征方程根的
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来判别高阶采样系统的稳定性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实用的判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判据就是劳斯判据。2劳斯稳定判据对于线性连续系统，可以应用劳斯判据分析系统的稳定性。但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据是不行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根是否在复变量s平面虚轴的左半部。因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新的坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。根据复变函数双线性变换公式，令或式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即例7-17设闭环离散系统如图7-22所示，其中采样周期T=1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。图7-22：例7-17闭环系统图解：求出G(s)的z变换闭环系统脉冲传递函数为故闭环系统特征方程为代入上式，得化简后，得W域特征方程列出劳斯表从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使k>0，2.736-0.632k>0，即k<4.33。3朱利稳定判据朱利判据是直接在Z域内应用的稳定判据，类似于连续系统中的赫尔维茨判据，朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而判断该离散系统的稳定性。设离散系统的闭环特征方程可写为D(z)=anzn+…+a2z2+a1z+a0=0an>0特征方程的系数，按照下述方法构造(2n－3)行、(n+1)列朱利阵列，见下表：表朱利阵列在朱利阵列中，第2k+2行各元，是2k+1行各元的反序排列。从第三行起，阵列中各元的定义如下：k=0,1,…,n－1k=0,1,…,n－2k=0,1,…,n－3……………朱利稳定判据特征方程D(z)=0的根，全部位于z平面上单位圆内的充分必要条件是D(1)>0，D(－1)>0，当n为偶数时；D(1)>0，D(－1)<0，当n为奇数时；以及下列(n－1)个约束条件成立|a0|
|bn-1|，|c0|>|cn-2||d0|>|dn－3|，······，|q0|>|q2|只有当上述诸条件均满足时，离散系统才是稳定的，否则系统不稳定。例7-18：已知离散系统闭环特征方程为试用朱利判据判断系统的稳定性。解由于n=4,2n－3=5,故朱利阵列有5行5列。根据给定的D(z)知：a0=0.002,a1=0.08,a2=0.4,a3=－1.368,a4=1计算朱利阵列中的元素bk和ck：作出如下朱利阵列：因为D(1)=0.114>0,D(－1)=2.69>0|a0|=0.002,a4=1,满足|a0||b3||c0|=0.993,|c2|=0.511,满足|c0|>|c2|故由朱利稳定判据知，该离散系统是稳定的。4采样周期与开环增益对稳定性的影响例7-19设有零阶保持器的离散系统如图7-23所示，试求：（1）当采样周期T分别为1(s)，0.5(s)时，系统的临界开环增益Kc。（2）当r(t)=1(t)，K=1，T分别为0.1，1，2，4(s)时，系统的输出响应c(kT)。图7-23例7-19离散系统由劳斯判据KC=2.4T=0.5s时W域：由劳斯判据KC=4.37且由，可求得C(z)表达式取K=1，T=0.1,1,2,4s，可由C(z)求Z反变换得到c(kT)，见图7-24图7-24不同T时的响应二采样系统的稳态误差线性连续系统计算稳态误差的方法都可以推广到采样系统中来。下面仅介绍稳态误差系数的计算。设单位反馈采样系统如图7-25所示：图7-25单位反馈采样系统系统的开环脉冲传递函数为G(z)采样系统的稳态误差除可从输出信号在各采样时刻上的数值c(nT)(n=0，1，2…∞)与输入信号相比较外，还可以应用Z变换的终值定理来计算。利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差上式表明，系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式有关。与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系统型别的概念，由于的关系，原线性连续系统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作为划分系统型别的
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，可推广为将离散系统开环脉冲传递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系统的型别,称v=0,1,2,…..的系统为0型、I型、II型离散系统。下面分析几种典型输入作用下的稳态误差。(1)单位阶跃输入时的稳态误差式中称为静态位置误差系数。对0型离散系统（没有z=1的极点），则Kp≠∞,从而e(∞)≠0；对I型、II型以上的离散系统（有一个或一个以上z=1的极点），则Kp=∞，从而e(∞)=0。因此，在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在采样瞬时存在位置误差；I型或II型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差。这与连续系统十分相似。（2）单位斜坡输入时的稳态误差式中称为静态速度误差系数。因为0型系统的kv=0，I型系统的kv为有限值，II型和II型以上系统的kv=∞，所以有如下结论：0型离散系统不能承受单位斜坡函数作用，I型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差，II型和II型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。（3）单位加速度输入时的稳态误差式中称为静态加速度误差系数。由于0型及I型系统的ka=0，II型系统的为常值，III型及III型以上系统的ka=∞,因此有如下结论成立：0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数作用，II型离散系统在单位加速度函数作用于下存在加速度误差，只有III型及III型以上的离散系统在单位加速度函数作用下，才不存在采样瞬时的稳态位置误差。7-6离散系统的动态性能分析在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。与此类似，采样系统的暂态响应与闭环脉冲传递函数零、极点在z平面的分布也有密切的关系。零、极点分布的关系设闭环系统的脉冲传递函数为式中m0时，（若令）动态过程为按指数规律变化脉冲序列。pi<0时，动态过程为交替变号的双向脉冲序列。闭环实极点分布与相应动态响应形式的关系，如图7-26所示图7-26：实极点与动态响应的关系若闭环实数极点位于右半z平面，则输出动态响应形式为单向正脉冲序列。实极点位于单位园内，脉冲序列收敛，且实极点越接近原点，收敛越快；实极点位于单位园上，脉冲序列等幅变化；实极点位于单位园外，脉冲序列发散。若闭环实数极点为于左半z平面，则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列。实极点位于单位园内，双向脉冲序列收敛；实极点位于单位圆上，双向脉冲序列等幅变化；实极点位于单位圆外，双向脉冲序列发散。2）闭环共轭复数极点时设ph、为一对共轭复数极点，ph、ph+1对应的暂态项为其中若|ph|>1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆外，动态响应为振荡脉冲序列；若|pk|=1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆上，动态响应为等幅振荡脉冲序列；若|pk|<1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆内，动态响应为振荡收敛脉冲序列,且|pk|越小,即复极点越靠近原点,振荡收敛越快；闭环复数极点分布与相应动态响应形式的关系，如图7-27所示图7-27复数极点分布与响应的关系通过以上的分析可以看出，闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的位置决定相应暂态分量的性质和特点。当闭环极点位于单位圆内时，其对应的暂态分量是衰减的。极点离原点越近衰减越快。若极点位于正实轴上，暂态分量按指数衰减。一对共扼复数极点的暂态分量为振荡衰减，其角频率为θk／T。若极点位于负实轴上，也将出现衰减振荡，其振荡角频率为π／T。为了使采样系统具有较为满意的暂态响应，其z传递函数的极点最好分布在单位圆内的右半部靠近原点的位置。在线性连续系统中采用的，根据一对主导极点分析系统暂态响应的方法，也可以推广到采样系统。综上所述,离散系统的动态特性与闭环极点的分布密切相关。当闭环实极点位于z平面上左半单位圆内时,由于输出衰减脉冲交替变号,故动态过程质量很差;当闭环复极点位于左半单位圆内时,由于输出衰减高频振荡脉冲,故动态过程性能欠佳。因此,在离散系统设计时,应把闭环极点安置在z平面的右半单位圆内,且尽量靠近极点。例７-20若系统结构如图7-28所示，试求其单位阶跃响应的离散值，并分析系统的动态性能。采样周期T=0.2秒。图7-28例7-20系统结构图解：系统的闭环脉冲传递函数为当输入量r(t)=1(t)时，R(z)=z/(z－1)，输出量的z变换为：利用长除法得基于z变换定义，由上式求得系统在单位阶跃作用下的输出序列y(kT)为根据上面各离散点数据绘出系统单位阶跃响应曲线如图7-29示。由图求得给定离散系统的近似性能指标为：图7-29单位阶跃响应曲线
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