高中数学《等差数列的前n项和》教案4 苏教版必修5

PAGE等差数列的前n项和(一)教学目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题；提高学生的推理能力，增强学生的应用意识.教学重点：等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.教学过程：Ⅰ.复习回顾经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：（1）an－an－1＝d(n≥1)，d为常数.（2）若a，A，b为等差数列，则A＝eq\f(a＋b,2).（3)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.（其中m，n，p，q均为正整数）Ⅱ.讲授新课随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.例：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？首先，我们来看这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99＝101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，……第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是101×eq\f(100,2)＝5050.这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an①把项的次序反过来，Sn又可写成Sn＝an＋an－1＋…＋a1②①＋②2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)又∵a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝…＝an＋a1∴2Sn＝n(a1＋an)即：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)若根据等差数列{an}的通项公式，Sn可写为：Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n－1)d]①,把项的次序反过来，Sn又可写为：Sn=an+(an－d)+…+[an－(n－1)d②],把①、②两边分别相加，得2Sn＝＝n(a1＋an)即：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2).由此可得等差数列{an}的前n项和的公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2).也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.用这个公式来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S100＝eq\f(100（1＋100）,2)＝5050.又∵an＝a1+(n－1)d,∴Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n[a1＋a1＋（n－1）d）],2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d∴Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)或Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{an}，其中a1＝1，a120＝120，n＝120.解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{an}，其中n＝120，a1＝1，a120＝120.则：S120＝eq\f(120（1＋120）,2)＝7260答案：这个V形架上共放着7260支铅笔.下面我们再来看一例题：等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项的和是54?分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.解：设题中的等差数列为{an}，前n项为的Sn，由题意可知：a1＝－10，d＝(－6)－(－10)＝4，Sn＝54由等差数列前n项求和公式可得：－10n＋eq\f(n（n－1）,2)×4＝54解之得：n1＝9，n2＝－3(舍去)答案：等差数列－10，－6，－2，2，…前9项的和是54.［例1］在等差数列{an}中，（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16（2）已知a6＝20，求S11.分析：（1）由于本题只给了一个等式，不能直接利用条件求出a1，a16，d，但由等差数列的性质，可以直接利用条件求出a1＋a16的和，于是问题得以解决.（2）要求S11只需知道a1＋a11即可，而a1与a11的等差中项恰好是a6，从而问题获解.解：（1）∵a2＋a15＝a5＋a12＝a1＋a16＝18∴S16＝eq\f(16（a1＋a16）,2)＝8×18＝144.（2）∵a1＋a11＝2a6∴S11＝eq\f(11（a1＋a11）,2)＝11a6＝11×20＝220.［例2］有一项数为2n＋1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比.分析一：利用Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d解题.解法一：设该数列的首项为a1，公差为d，奇数项为a1，a1＋2d，…其和为S1，共n＋1项；偶数项为a1＋d，a1＋3d，a1＋5d，…，其和为S2，共n项.∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(（n＋1）a1＋eq\f(1,2)（n＋1）[（n＋1）－1]2d,n（a1＋d）＋eq\f(1,2)n（n－1）2d)＝eq\f(n＋1,n).分析二：利用Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)解题.解法二：由解法一知：S1＝eq\f(（n＋1）（a1＋a2n＋1）,2)，S2＝eq\f(n（a2＋a2n）,2)∵a1＋a2n+1＝a2＋a2n∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(n＋1,n)［例3］若两个等差数列的前n项和之比是（7n＋1）∶(4n＋27)，试求它们的第11项之比.分析一：利用性质m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aq解题.解法一：设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn.则：a11＝eq\f(a1＋a21,2)，b11＝eq\f(b1＋b21,2),∴eq\f(a11,b11)＝eq\f(eq\f(a1＋a21,2),eq\f(b1＋b21,2))＝eq\f(eq\f(a1＋a21,2)·21,eq\f(b1＋b21,2)·21)＝eq\f(S21,T21)＝eq\f(7×21＋1,4×21＋27)＝eq\f(4,3)分析二：利用等差数列前n项和Sn＝An2+Bn解题.解法二：由题设，令Sn＝(7n＋1)·nk，Tn＝(4n＋27)·nk由an＝Sn－Sn－1＝k(14n－6)，得a11＝148k，n≥2bn＝Tn－Tn－1＝k(8n－23)，得b11＝111k，n≥2,∴eq\f(a11,b11)＝eq\f(148k,111k)＝eq\f(4,3).评述：对本例，一般性的结论有：已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，则：（1）eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1)；(2)eq\f(am,bn)＝eq\f(2n－1,2m－1)·eq\f(S2m－1,T2n－1).［例4］等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为A.30B.170C.210D.260答案：C分析一：把问题特殊化，即命m＝1来解.解法一：取m＝1，则a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110，S3＝a1＋a2＋a3＝210分析二：利用等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d进行求解.解法二：由已知，得eq\b\lc\{(\a\al(Sm＝ma1＋eq\f(m（m－1）,2)d＝30,S2m＝2ma1＋eq\f(2m（2m－1）,2)d＝100))解得a1＝eq\f(10,m)＋eq\f(20,m2)，d＝eq\f(40,m2)∴S2m＝3ma1＋eq\f(3m（3m－1）,2)d＝210.分析三：借助等差数列的前n项和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)及性质m＋n＝p＋qam＋an＝ap＋aq求解.解法三：由已知得eq\b\lc\{(\a\al(m（a1＋am）＝60①,m（a1＋a2m）＝100②,3m（a1＋a3m）＝2S3m③,a3m－a2m＝a2m－am④))由③－②及②－①结合④，得S3m＝210.分析四：根据性质：“已知{an}成等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)成等差数列”解题.解法四：根据上述性质，知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列.故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm),∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.分析五：根据Sn＝an2＋bn求解.解法五：∵{an}为等差数列，∴设Sn＝a·n2＋b·n,∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100得a＝eq\f(20,m2)，b＝eq\f(10,m)∴S3m＝9m2a＋3mb＝210.分析六：运用等差数列求和公式，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d的变形式解题.解法六：由Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，即eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d由此可知数列{eq\f(Sn,n)}也成等差数列，也即eq\f(Sm,m)，eq\f(S2m,2m)，eq\f(S3m,3m)成等差数列.由eq\f(S2m,2m)＝eq\f(Sm,m)＋eq\f(S3m,3m)，Sm＝30，S2m＝100∴S3m＝210.评述：一般地，对于等差数列{am}中，有eq\f(Sp－Sq,p－q)＝eq\f(Sp＋q,p＋q)(p≠q).[例5]在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和.分析：求解的关键有二：其一是求和公式的选择；其二是用好等差数列的性质.解法一：设插入的10个数依次为x1，x2，x3，…，x10，则a，x1，x2，…，x10，b成等差数列.令S＝x1＋x2＋x3＋…＋x10，需求出首项x1和公差d.∵b＝a12＝a1＋11d∴d＝eq\f(b－a,11)，x1＝a＋eq\f(b－a,11)＝eq\f(10a＋b,11)∴S＝10x1＋eq\f(10×9,2)d＝10·eq\f(10a＋b,11)＋eq\f(10×9,2)·eq\f(b－a,11)＝5(a＋b)解法二：设法同上，但不求d.依x1＋x10＝a＋b∴S＝eq\f(10（x1＋x10）,2)＝5(a＋b)解法三：设法同上，正难则反∴S＝S12－(a＋b)＝eq\f(12（a＋b）,2)－(a＋b)＝5(a＋b)评述：求和问题灵活多变，要注意理解和运用.［例6］在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，且最小角是120°，试问它是几边形？解：设这是一个n边形，则eq\b\lc\{(\a\al(Sm＝n×1200＋eq\f(n（n－1）,2)·50＝（n－2）×1800,1200＋（n－1）·50＜1800))eq\b\lc\{(\a\al(n2－25n＋144＝0,n＜13))n＝9所以这是一个九边形.Ⅲ.课堂练习课本P42练习1，2，3，4.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n项和公式:Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d及其获取思路.Ⅴ.课后作业课本P45习题1，2，3