福建省莆田第一中学2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）

PAGE福建省莆田第一中学2020学年高二数学下学期期中试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.若，则复数的虚部是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法法则将复数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为一般形式，从而可得出复数的虚部.【详解】由复数的乘法法则可得，因此，复数的虚部为，故选：B.【点睛】本题考查复数虚部的概念，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.2.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，从而求出两集合的交集即可．【详解】∵集合A=，解得x>-1，B={x|（x+1）（x﹣2）0且x}={x|﹣1x＜2}，则A∩B={x|＜x＜2}，故选：A．【点睛】本题考查了集合的运算，考查解指数不等式及分式不等式问题，是一道基础题．3.下列说法中，错误的是（）A.若命题，，则命题，B.“”是“”的必要不充分条件C.“若，则、中至少有一个不小于”的逆否命题是真命题D.，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定可判断出选项A中命题的真假；利用充分必要性判断出选项B中命题的真假；将原命题改写出其逆否命题，利用不等式的性质可判断出选项C中命题的真假；取特殊值来判断出选项D中命题的真假.【详解】对于A选项，由全称命题的否定可知该选项中的命题正确；对于B选项，由，可得或，所以，“”是“”的必要不充分条件，选项B中的命题正确；对于C选项，“若，则、中至少有一个不小于”的逆否命题为“若且，则”，由不等式的性质可知，命题“若且，则”为真命题，则选项C中的命题为真命题；对于D选项，取，则，所以，选项D中的命题错误.故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定、必要不充分关系的判断、逆否命题的真假以及全称命题的真假的判断，解题时可以利用逻辑推证法和特例法进行推导，考查逻辑推理能力，属于中等题.4.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 的产量(吨)与相应的生产能耗（吨 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出关于的线性回归方程，则表中的值为()34562.544.5A.B.C.D.【答案】B【解析】由表格中数据可得，因为关于的线性回归方程是，所以，可得,故选B.5.若三次函数在上是减函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：因为三次函数在上是减函数，所以有，得故选A.考点：利用导数研究函数的单调性.6.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为（）A.-1B.1C.0D.无法计算【答案】C【解析】【分析】因为是定义在上的奇函数，所以有，结合已知的等式，可以得到，由是定义在上的偶函数，可得，可得，最后求出的值.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以有，，因为是定义在上的偶函数，所以，所以，因此=0，故本题选C.【点睛】本题考查了抽象函数的性质，结合奇偶函数的性质，根据所给的式子进行变换是解题的关键.7.函数在区间上的最大值与最小值的差记为，若恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】判断出函数在区间上的单调性，可得出，然后再解不等式即可得出实数的取值范围.【详解】，该函数在区间上单调递减，所以，，由，得，化简得，解得，因此，实数的取值范围是，故选：A.【点睛】本题考查函数单调性的应用，涉及二次不等式解法的应用，解题的关键就是判断出函数的单调性，并利用单调性求出函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8.函数，下列结论不正确的是（）A.此函数为偶函数B.此函数是周期函数C.此函数既有最大值也有最小值D.方程的解为【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性、周期性的定义可判断出A、B选项的正误；由函数解析式可判断出C选项命题的正误；解方程可判断出D选项命题的正误.【详解】对于A选项，若为无理数，则也为无理数，此时，当为有理数时，也为有理数，此时，所以，对任意的，，该函数为偶函数，A选项正确；对于B选项，设是一个正数，当为无理数时，，，所以，不可能是函数周期.当为有理数时，若为有理数，则为有理数，有，若为无理数，则为无理数，有，综上可知，任意非零有理数都是函数的周期，B选项正确；对于C选项，由于，则函数的最大值为，最小值为，C选项中的命题正确；对于D选项，解方程，则，所以，为任意的有理数，D选项中的命题错误.故选：D.【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数奇偶性、周期性、最值的定义，解题时应从分段函数的解析式出发，结合基本性质的定义出发求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.函数的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别令，根据的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由四个选项的图像可知，令，，由此排除C选项.令，，由此排除B选项.由于，排除D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的 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，属于基础题.10.设函数，若是最小值，则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】C【解析】当时，，当时，函数递单调增，.当时，在上递减，在上递增，最小值为，且不符合题意.当时，在上递减，最小值为，还需，即，故，选.11.已知，，若成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数为偶函数，利用导数知函数在区间上为增函数，由偶函数的性质将不等式变形为，利用单调性得出，从而可解出实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，，函数为偶函数，当时，，，则函数在上为增函数，由得，由偶函数的性质得，由于函数在上为增函数，则，即，整理得，解得，因此，实数的取值范围是，故选：B.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键在于考查函数的奇偶性与单调性，充分利用偶函数的性质来求解，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.已知函数，若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作出函数的图象，把方程恰有四个不相等的实数根转化为的图象与的图象有四个不同的交点，结合图象即可求解．【详解】方程恰有四个不相等的实数根转化为的图象与的图象有四个不同的交点，如图所示，直线过定点，且过点时，函数的图象与的图象有三个不同的交点，此时；设直线与切于点，则过该切点切线方程为把点代入切线方程，可得，解得，所以切点，则切线的斜率为，所以方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是，故选A．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的函数零点问题，属于难题.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】利用对数真数大于零和偶次根式被开方数非负列不等式组，解出的取值范围，即为函数的定义域.【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为，故答案为：.【点睛】本题考查函数定义域的求解，解题时要熟悉几种常见函数求定义域的方法，具体原则如下：（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数大于或等于零；（3）对数真数大于零，底数大于零且不等于；（4）零次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切：，，；（6）已知函数的定义域为，求函数的定义域，只需；（7）已知函数的定义域，求函数的定义域，只需，即的值域.14.已知函数为奇函数，则实数________．【答案】【解析】∵为奇函数∴即2+a-1+a=0∴故答案为：15.若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则_________.【答案】或.【解析】分析】在曲线上取切点，利用导数得出得出的值，可求出切线的方程，再将该切线方程与二次函数解析式联立，利用求出实数的取值范围.【详解】在曲线上取切点，，，由题意可得，得，切点坐标为，则所求切线方程为.由于直线与函数的图象相切，联立得，消去并整理得，则，解得或，故答案为：或.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线方程，在求解直线与二次函数图象相切的问题，可以将直线方程与二次函数解析式联立，利用判别式为零来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得＋.形如(n＝2，3，4，…)的分数的分解：，按此规律，＝_____(n＝2，3，4，…)．【答案】【解析】【分析】通过分析题目所给的特殊项的特点，归纳出的通项公式.【详解】通过分析题目所给的特殊项，的分解是由两个部分构成，第一个部分是，第二部分是，故＝.【点睛】本小题主要考查古代数学文化，考查合情推理，考查数据分析能力，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）若函数，求函数的值域.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由参变量分离法得出在上恒成立，构造函数，考查该函数在的单调性，利用单调性得出，于此可得出实数的取值范围；（2）先得出，换元，将问题转化为求函数在上的值域问题求解，然后分、、三种情况讨论，可得出函数在上的值域，即为函数的值域.【详解】（1）当时，，由得，即，构造函数，其中，则，所以，函数在区间上为增函数，则，由于不等式在上恒成立，所以，，因此，实数的取值范围是；（2）由题意可得，令，则，其中.①当时，，该函数的值域为；②当时，由于二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，此时，函数在上单调递减，所以，，此时，该函数值域为；③当时，由于二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，此时，该函数在上单调递减，在上单调递增，则，此时，该函数的值域为.综上所述：当时，函数的值域为；当时，函数的值域为.【点睛】本题考查不等式恒成立的问题，同时也考查了函数值域的求解，解题的关键就是利用换元法将函数的值域进行转化，考查化归与转化思想，属于中等题.18.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，0）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB的长度为2，求直线l的普通方程．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）和x=0.【解析】【分析】（I）将代入曲线极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II）将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线的普通方程.【详解】解：（Ⅰ）将代入曲线C极坐标方程得：曲线C的直角坐标方程为：即（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：整理得设点A，B对应的参数为，，解得，则，因为得，直线l的普通方程为和x=0【点睛】本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.19.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）若，求实数的取值范围；（2）设，若的最小值为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)代入解析式,结合x的不同范围，去绝对值，计算x的范围，即可。（2）得到解析式，结合单调性，计算最小值，计算a，即可。【详解】(Ⅰ)，即或，∴实数的取值范围是.(Ⅱ)∵，∴，∴，易知函数在时单调递减，在时单调递增，∴.∴，解得.【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等。20.“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南镇2020～2020年梅雨季节的降雨量（单位：）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量；“江南梅雨无限愁”.镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅2020～2020年的亩产量（/亩）与降雨量的发生频数（年）如列联表所示（部分数据缺失）.请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？（完善列联表，并说明理由）.亩产量\降雨量合计<60021合计100.500.400.250.150.100.4550.7081.3232.0722.703（参考公式：，其中）【答案】乙【解析】【分析】由频率分布直方图可求出第四组的频率，利用频率分布直方图中平均数的计算公式求得结果.根据题意，列出列联表，计算，与甲品种的百分数作比较得出结论.【详解】频率分布直方图中第四组的频率为.所以用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量为.根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为.进而完善列联表如图.亩产量\降雨量200～400之间200～400之外合计<600224516合计7310.故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查了列联表及的知识，考查了计算能力与推理能力．21.已知函数.(1)当时,讨论的单调性；(2)设，当时,若对任意,存在使,求实数取值.【答案】（1）当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增；当时,函数在上单调递减；当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增;函数在上单调递减；（2）．【解析】分析：（1）先求定义域，再对函数求导，，令，分，，，，四种情况考虑h(x)零点情况及正负情况，得函数f(x)的单调区间。（2）因为,由于(I)知,在上的最小值为，由题意可知“对任意,存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函数的“三点一轴”分类讨论求得g(x)的最小值，再求得b范围。详解：(1)定义域因为所以令(i)当时,所以当时,,此时,函数单调递增;当时,,此时,函数单调递增(ii)当时,由,即,解得①当时,，恒成立,此时,函数在上单调递减;②当时,时,,此时,函数单调递减；时,,此时,函数单调递增；时,,此时,函数单调递减；③当时,由于时,,此时,函数单调递减；时,,此时,函数单调递增；综上所述:当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增；当时,函数在上单调递减；当时,函数在上单调递减；函数在上单调递增;函数在上单调递减(2)因为,由于(I)知,,当时,,函数单调递减:当时,,函数单调递增,所以在上的最小值为由于“对任意,存在,使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”又,,所以①当时,因为,此时与矛盾②当时,因为,同样与矛盾③当时,因为，解不等式可得综上,的取值范围是．点睛：本题综合考查用导数结合分类讨论思想求含参函数的单调区间，及恒成立问题与存在性问题的理解，即转化为最值问题，同时也考查了一元二次函数“三点一轴”求最值问题，题目综合性较强，分类较多，对学生的能力要求较高。22.已知．（1）设是的极值点，求实数的值，并求的单调区间：（2）时，求证：．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，由是函数的极值点，解得，又由，进而得到函数的单调区间；（2）由（1），进而得到函数的单调性和最小值，令，利用导数求得在上的单调性，即可作出证明.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，又由，且是函数的极值点，所以，解得，又时，在上，是增函数，且，所以，得，，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知因为，在上，是增函数，又（且当自变量逐渐趋向于时，趋向于），所以，，使得，所以，即，在上，，函数是减函数，在上，，函数是增函数，所以，当时，取得极小值，也是最小值，所以，令，则，当时，，函数单调递减，所以，即成立，【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数的最值，从而得到证明；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．