【优化方案】2020高中数学 第2章2.1.2第一课时知能优化训练 新人教A版选修1-1

PAGE1．(2020年高考课标全国卷)椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1的离心率为(　　)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),2)解析：选D.c2＝16－8＝8，∴e＝eq\r(\f(8,16))＝eq\f(\r(2),2).2．若焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m的值为(　　)A.eq\r(3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(8,3)D.eq\f(2,3)解析：选B.∵焦点在x轴上，∴a＝eq\r(2)，b＝eq\r(m)，c＝eq\r(a2－b2)，∴c＝eq\r(2－m)，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(2－m,2))＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(3,2).3．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于eq\r(5)，则此椭圆的标准方程是________．解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝(eq\r(5))2，即a2＝4.所以椭圆的标准方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,4)＋x2＝1.答案：eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,4)＋x2＝14．已知A为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、F2，且与椭圆交于B、C两点，若当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|∶|AF2|＝3∶1，求该椭圆的离心率．解：设|AF2|＝m，则|AF1|＝3m，∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝4m.又在Rt△AF1F2中，|F1F2|＝eq\r(|AF1|2－|AF2|2)＝2eq\r(2)m.∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,2a)＝eq\f(2\r(2)m,4m)＝eq\f(\r(2),2).一、选择题1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．5、3、0.8B．10、6、0.8C．5、3、0.6D．10、6、0.6解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，知a＝5，b＝3，c＝4.∴2a＝10,2b＝6，eq\f(c,a)＝0.8.2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是(　　)A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1D．椭圆的方程无法确定解析：选C.a＝5且c＝3，∴b＝4，∴椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1.3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是(　　)A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,20)＝1解析：选C.由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.故选C.4．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)A．8,2B．5,4C．5,1D．9,1解析：选D.因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.5．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为(　　)A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(\r(6),3)解析：选A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).6．(2020年高考广东卷)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去)．二、填空题7．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4eq\r(5)的椭圆方程是________．解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，eq\r(5))，(0，－eq\r(5))，故c＝eq\r(5)，又2b＝4eq\r(5)，所以b＝2eq\r(5)，a2＝b2＋c2＝25.答案：eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,25)＝18．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，∴椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)9．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的标准方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a，由2a＝12知a＝6.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，故c＝3eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴椭圆标准方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1三、解答题10．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq\r(3).解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵椭圆过点A(2,0)，∴eq\f(4,a2)＝1，a＝2，∵2a＝2·2b，∴b＝1，∴方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，∵椭圆过点A(2,0)，∴eq\f(02,a2)＋eq\f(4,b2)＝1，∴b＝2,2a＝2·2b，∴a＝4，∴方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1.综上所述，椭圆方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1.(2)由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c,a－c＝\r(3)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3),c＝\r(3))).从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.11．如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的eq\f(2,3)，求椭圆的离心率．解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，eq\f(2,3)b)，则△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋eq\f(4,9)b2＝|MF1|2.而|MF1|＋|MF2|＝eq\r(4c2＋\f(4,9)b2)＋eq\f(2,3)b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9).∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,9)，∴e＝eq\f(\r(5),3).法二：设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则M(c，eq\f(2,3)b)．代入椭圆方程，得eq\f(c2,a2)＋eq\f(4b2,9b2)＝1，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,9)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，即e＝eq\f(\r(5),3).12．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长及顶点坐标．解：椭圆方程可化为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1.因为m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(mm＋2,m＋3)>0，所以m>eq\f(m,m＋3).即a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(mm＋2,m＋3)).由e＝eq\f(\r(3),2)，得eq\r(\f(m＋2,mm＋3))＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝1.所以a＝1，b＝eq\f(1,2)，椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，四个顶点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－eq\f(1,2))，B2(0，eq\f(1,2))．