.PAGE下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。课下能力提升(九) 二项式系数的性质及应用一、填空
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(n)的展开式中前三项的系数成等差数列，那么第四项为________．2．假设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展开式中各项系数之和为64，那么展开式的常数项为________．3．假设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,x2)))eq\s\up12(n)展开式中只有第6项的系数最大，那么n＝________.4．(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，那么a8＝________．5．假设Ceq\o\al(3n＋1,23)＝Ceq\o\al(n＋6,23)(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，那么a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________．二、解答题6．二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．7．求(1－x)8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．8．求证：32n＋2－8n－9能被64整除．答案1．解析：由题设，得Ceq\o\al(0,n)＋eq\f(1,4)×Ceq\o\al(2,n)＝2×eq\f(1,2)×Ceq\o\al(1,n)，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去)，那么eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(8)的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(r)，令r＋1＝4，得r＝3，那么第四项为T4＝Ceq\o\al(3,8)x5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝7x5.答案：7x52．解析：令x＝1，2n＝64⇒n＝6.由Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·36－r·xeq\s\up6(\f(6－r,2))·(－1)r·x－eq\f(r,2)＝(－1)rCeq\o\al(r,6)36－rx3－r，令3－r＝0⇒r＝3.所以常数项为－Ceq\o\al(3,6)33＝－20×27＝－540.答案：－5403．解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，那么n＝10.答案：104．解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．所以a8＝Ceq\o\al(8,10)22(－1)8＝180.答案：1805．解析：由Ceq\o\al(3n＋1,23)＝Ceq\o\al(n＋6,23)，得3n＋1＝n＋6(无整数解，舍去)或3n＋1＝23－(n＋6)，解得n＝4，问题即转化为求(3－x)4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x)4中令x＝－1，即得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝[3－(－1)]4＝256.答案：2566．解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为Ceq\o\al(0,9)＋Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(2,9)＋…＋Ceq\o\al(9,9)＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，②将①②两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq\f(59－1,2)，此即为所有奇数项系数之和．7．解：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T5＝Ceq\o\al(4,8)(－x)4＝70x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4＝Ceq\o\al(3,8)(－x)3＝－56x3，T6＝Ceq\o\al(5,8)(－x)5＝－56x5.8．证明：∵32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(1＋8)n＋1－8n－9＝Ceq\o\al(0,n＋1)＋Ceq\o\al(1,n＋1)·8＋Ceq\o\al(2,n＋1)·82＋Ceq\o\al(3,n＋1)·83＋…＋Ceq\o\al(n,n＋1)·8n＋Ceq\o\al(n＋1,n＋1)·8n＋1－8n－9＝1＋(n＋1)·8＋Ceq\o\al(2,n＋1)·82＋Ceq\o\al(3,n＋1)·83＋…＋Ceq\o\al(n,n＋1)·8n＋8n＋1－8n－9＝Ceq\o\al(2,n＋1)·82＋Ceq\o\al(3,n＋1)·83＋…＋Ceq\o\al(n,n＋1)·8n＋8n＋1＝82(Ceq\o\al(2,n＋1)＋Ceq\o\al(3,n＋1)·8＋…＋Ceq\o\al(n,n＋1)8n－2＋8n－1)，又∵Ceq\o\al(2,n＋1)＋Ceq\o\al(3,n＋1)·8＋…＋Ceq\o\al(n,n＋1)8n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除．
浙公网安备 33021202002483