PAGE云南省红河州泸西一中2020学年高二数学上学期期中
试题
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理考试注意：试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分。请在答题卡上作答，答在试卷上一律无效。第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.已知命题.则为2.若，则n的值为A.4B.5C.6D.73.若，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A.8B.16C.32D.645.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样
方法
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是A.抽签法B.系统抽样法C.分层抽样法D.随机数法6.在区间上随机取一个数k，则直线与圆有两个不同公共点的概率为A.B.C.D.7.如果用反证法证明“数列的各项均小于2”，那么应假设A.数列的各项均大于2B.数列的各项均大于或等于2C.数列中存在一项，D.数列中存在一项8.下列说法正确是9.某学校派出5名教师去三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有A.80种B.90种C.120种D.150种10.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是A.甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B.甲种树苗高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C.乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D.乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐11.设命题实数满足(其中)；命题实数满足.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是12.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问毕业会考数学成绩。老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。”看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则可以知道自己成绩的同学是______．14.如右图，从A点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为______．15.从中任取两个不同的数，分别记为则“”的概率为__________．16.给出下列三个命题：①命题则②若为真命题,则均为真命题；③“若，则”为假命题.其中正确的命题个数有________个．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17、(本小题10分)写出命题“已知，若关于的不等式有非空解集，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(本小题12分)给定两个命题，对任意实数都有恒成立；关于的方程有实数根；如果“”为假，且“”为真，求实数的取值范围．19、(本小题12分)为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为及以上的树苗为优质树苗．求图中的值已知所抽取这120棵树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4棵，其中优质树苗的棵数为，求的分布列和数学期望．下面的临界值表仅供参考：20、(本小题12分)已知集合若成立的一个充分不必要条件是，求实数的取值范围.21、(本小题12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖
方案
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，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？22、(本小题12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求的分布列及数学期望．理科数学一、选择题答案123456789101112BCACCBDCDDAA填空题答案13、乙和丁；14、；15、；16、2个.17、(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．18、对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；由于“P∧Q”为假，且“P∨Q”为真，则P与Q一真一假；（1）如果P真，且Q假，有；（2）如果Q真，且P假，有．所以实数a的取值范围为：．19、（1）根据直方图数据，有，解得．（2）根据直方图可知，样本中优质树苗有，列联表如下：A试验区B试验区合计优质树苗102030非优质树苗603090合计7050120可得．所以，没有99.9％的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系．（3）由已知，这批树苗为优质树苗的概率为，且X服从二项分布B(4，)，；；；；．所以X的分布列为：X01234P故数学期望EX＝.20、A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)<2x<8，x∈R))＝{x|－1
3，即m>2.21、法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为eq\f(2,3)，小红中奖的概率为eq\f(2,5)，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，因为P(X＝5)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝eq\f(11,15)， 即这两人的累计得分X≤3的概率为eq\f(11,15).(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知可得，X1～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)))，X2～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,5)))，所以E(X1)＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，E(X2)＝2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,5)，从而E(2X1)＝2E(X1)＝eq\f(8,3)，E(3X2)＝3E(X2)＝eq\f(12,5).因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为eq\f(2,3)，小红中奖的概率为eq\f(2,5)，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))＝eq\f(2,5)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(11,15)，即这两人的累计得分X≤3的概率为eq\f(11,15).(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：X1024Peq\f(1,9)eq\f(4,9)eq\f(4,9) X2036Peq\f(9,25)eq\f(12,25)eq\f(4,25)所以E(X1)＝0×eq\f(1,9)＋2×eq\f(4,9)＋4×eq\f(4,9)＝eq\f(8,3)，E(X2)＝0×eq\f(9,25)＋3×eq\f(12,25)＋6×eq\f(4,25)＝eq\f(12,5).因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．22、(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).∵事件A与B相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(Aeq\x\to(B))＝P(A)·P(eq\x\to(B))＝P(A)·[1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PA\x\to(B)＝\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(3,4),C\o\al(2,3)·C\o\al(3,5))＝\f(4,15))).(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).∵X可能的取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,75)，P(X＝1)＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(20,75)，P(X＝2)＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(33,75)，P(X＝3)＝P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,75)，∴X的分布列为X0123Peq\f(4,75)eq\f(20,75)eq\f(33,75)eq\f(18,75)∴X的数学期望E(X)＝0×eq\f(4,75)＋1×eq\f(20,75)＋2×eq\f(33,75)＋3×eq\f(18,75)＝eq\f(140,75)＝eq\f(28,15).
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