数学思维论教案数学思维论

数学思维论 （讲 义） 宁 锐 四川师范大学数学与软件科学学院 目 录 前言 第一章 数学思维概述 第一节 数学思维的发生 第二节 思维与数学思维 第三节 数学思维研究的目的与方法 第二章 数学思维的基本形式 第一节 数学抽象思维 第二节 数学逻辑思维 第三节 数学形象思维 第四节 数学直觉思维 第五节 数学猜想思维 第六节 数学灵感思维 第三章 基本的数学思维方式 第一节 数与符号的思维方式 第二节 形式推理的思维方式 第三节 数学模型的思维方式 第四节 变量函数的思维方式 第五节 空间想象的思维方式 第六节 概率统计的思维方式 第七节 化归映射的思维方式 第八节 相似类比的思维方式 第九节 探索归纳的思维方式 第十节 反例反驳的思维方式 第四章 数学问题解决的思维策略 第一节 问题解决与数学思维 第二节 模式识别 第三节 变换映射 第四节 差异消减 第五节 数形结合 第六节 进退为用 第七节 分合相辅 第八节 动静转换 第九节 正反沟通 第十节 引辅增设 第十一节 以美启真 第五章 数学思维教育问题选析 第一节 数学思维活动教学的案例分析 第二节 数学直觉思维的培养 第三节 数学发散思维的培养 第四节 数学猜想思维的培养 第五节 数学创造思维的培养 第六节 提出数学问题能力的培养 前 言 一、课程定位 本课程基于如下几点： 1 掌握基本的数学思维的理论知识。 2 为同学写毕业 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 有一些启示和帮助。 3 对以后的工作有一定的启示和帮助。 二、参考书目 1 任樟辉. 数学思维论[M]. 南宁:广西教育出版社,1996. 本书从思维的一般性出发，系统研究了数学思维的结构和形式，方法，运用，过程与规律等。特别是对数学形象化思维的形式化问题，数学直觉思维的实质，数学思维方式的定名、分类和关系，中学数学的重要思维模式及数学思维辩证策略等提出了作者独到见解。 另外，本书运用了大量的中学数学问题实例来分析理论。 章目： 第一章 数学思维的特性； 第二章 数学思维的结构与形式； 第三章 数学思维的一般方法； 第四章 数学思维方式的辩证运用； 第五章 数学思维的过程与规律 2 任樟辉. 数学思维理论[M]. 南宁:广西教育出版社,2001. 本书是作者在前一本书的进一步发展，数学同一系列。内容更精简，主题根据突出。 包括了数学思维的6种基本形式；16种基本的数学思维方式；数学问题解决的10个思维策略；中学数学的8种重要思维模式以及数学思维教育问题。 本课程以此书为基础。 3 郑毓信,肖柏荣，熊萍.数学教育思维与数学方法论[M]. 四川教育出版社，2001. 本书是从心理学的角度对特殊的数学活动（问题解决、数学概念的学习、数学抽象方法）中的数学思维运动的形式和规律作现代研究的分析。突出体现国际最新研究的成果与研究这类问题的方法。 研究数学解题与数学方法的几本国际名著： 4 [美]乔治•波利亚.怎样解题[M].徐泓，冯承天译.上海：上海科技教育出版社，2002. 5 [美] 乔治•波利亚.数学与猜想(第一卷:数学中的归纳与类比；第二卷：合理推理模式).李志尧，王日爽，李心灿译.北京：科学出版社，2001. 6 [美] 乔治•波利亚.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授.刘景麟，曹之江，邹清莲译.北京：科学出版社，2006. 这三部书是公认的国际名著，对数学问题解决有系统的研究。 另外一本要深一点，也是国际名著： 7 [美]R•科朗，H罗宾.什么是数学——对思想和方法的基本研究[M].增订版.左平，张饴慈译.上海：复旦大学出版社，2006. 另外几本国内相关著作： 8 王健吾.数学思维方法引论[M].合肥：安徽教育出版社，1996. 9 郑隆火斤，毛鄂涴（wo）.数学思维与数学方法概论[M].武汉：华中理工大学出版社，1997. 10 王林全主编.中学数学思想方法概论[M].广州：暨南大学，2000. 11 钱佩玲，邵光华编著.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999. 12 赵振威.数学发现导论[M].合肥：安徽教育出版社，2000. 13 徐本顺.数学解题中的动态思维[M].郑州：河南科学技术出版社，1997. 第一章 数学思维概述 第一节 数学思维的发生 思考问题： 数学思维是如何发生的？ 案例1： 代数式 1火柴棍问题 （1）如上图的方式，搭一个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要 根小棒，搭3个正方形需要 根小棒。 （2）搭10个这样的正方形需要多少根小棒？ （3）搭100个这样的正方形需要多少根小棒呢？你是怎样得到的？ （4）如果用x表示所搭的正方形个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根小棒？ （5）你是怎样表示搭x个正方形需要多少根小棒的？与同伴交流。 这是7年级上册教材中的一个数火柴棍的例子。请问，当思考这些问题中有没有数学思维的发生？并分析之。 （提示：哪些活动中有数学思维？有哪些形式的数学思维？这里有不同层次的数学思维吗？……） 2 “探索规律”（北师大教材七年级第三章《字母表示数》6节《探索规律》） 一个月的日历 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （2）这个关系对其他这样的方框也成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？ （3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ （4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示。 案例2：理解“函数”概念需要作什么样的数学思维？ 初中函数概念：在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 函数概念（选自北师大版新教材）： 给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在集合B中斗存在唯一确定的数f（x）与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数，记作f：A—>B，或y＝f（x），x A。此时x叫做自变量，集合A叫作函数的定义域，集合 叫作函数的值域。习惯上我们称y是x的函数。 思考框架： 1 数学思维在哪里发生？ 2 数学思维中有哪些参与的要素？ 3 数学思维发生的原因是什么？ 4 数学思维的结果怎样？ 第二节 思维与数学思维 一 认识数学思维 1什么是思维？ 无容质疑，思维是一种复杂的心理认知活动。不同的学科（比如，心理学、教育学、逻辑学、思维科学、生理学等）都可以从自己的角度对其探讨。比如 ，从哲学认识论角度看，思维过程不是认识过程的全部，而是它的一部分。即在人脑中展开的、对事物的理性研究的过程 。从思维科学角度分析，作为理性认识的人的个体思维可以分为三种，即抽象（逻辑）思维、形象（直感）思维和特异思维（包括灵感思维、特异感知和特异致动中的思维） 。或者分为逻辑思维、形象思维、直觉思维。从心理学的角度研究，认为思维是人的意识活动的产物。意思是人脑客观存在的物质世界的能动反映。而思维和语言是意识的核心 。现代认知心理学认为思维是人的信息加工过程。信息加工的基本过程有三类：问题解决、模式识别和学习（即信息的获取和存储）。现代脑科学研究证明，人的大脑左右两个半球各有不同的功能。左半球是语言中枢，主管语言和抽象思维；右半球主管音乐、绘画等形象思维材料的综合活动 。 综上所述，思维是以人脑的意识对事物的反映，这是一个复杂的生理和心理过程。从教育学的角度看，通过教育创造一定的认知环境，可以促进思维活动的产生、发展，并形成人的理性认知能力。 2 几个概念的思考 数学思维与思维的含义一样，其名词广泛使用，却涵义不确定的词汇。因此在讨论数学思维的含义时，有必要对几个相互经常混淆在一起的概念讨论一下。 （1）数学思想与数学（思想）方法 数学思想的第一种含义是针对具体数学知识内容（特别最终的、严格的表述形式）相对立而言，即对数学研究活动中的思维活动与思维活动的最终产物作出了区分。比如，数学家研究活动中的问题是如何产生的，方法是如何形成的等等。第一种含义的重要特征是其内容从属于具体的数学知识。 数学思想的第二种含义是指与具体数学内容相分离、并具有更大的普遍意义的思维模式或原则。第二种韩愈具有较强的方法论含义，因此也可以称为数学思想方法（或者数学思维方法）。其内容不再从属于特定的数学对象或数学分支，而是构成了数学方法论的研究对象。因此，第二种含义具有根据普遍的意义。 （2）数学思维论与数学方法论 数学方法论在很大程度上作为数学思想（思维）方法的研究。但是，数学思维方法包括了更多的内容。作为数学思维的系统和全面研究，除了思维的方法或模式外，还包括数学思维的内容（材料、结果）、形式、品质和过程等。 通常的数学思维论研究主要以一般思维研究作为直接的基础，特别是一般以思维论的基本理论框架为基础。这无疑具有其合理的一面，但是就数学思维或数学方法的具体深入研究，我们又不能把一般的思维论或方法论作为推广。未来建立数学思维论或方法论的科学体系，我们应当充分立足于实际的数学活动（包括数学研究和数学教育），突出数学思维的特殊性。 3 什么是数学思维？ 数学思维通常是指：人们在数学活动（数学研究与数学教育）中的思想的或心理的过程与表现，就本身而言，可以探讨其特性、过程、形式、方式、方法、规律等 。当然，也可以如思维一样，从不同的角度和侧面进行研究。 数学思维是针对数学活动而言。这里的数学活动包括哪些呢？从层次上看，有数学研究活动中的创造性活动，也有数学教育活动中学生再创造 活动。从范畴上看，传统上，它主要是指数学解决问题的过程，即是通过对数学问题的提出分、分析、解决、应用和推广等一系列工作，以获得对数学对象（空间形式、数量关系、结构模式）的本质和规律性的过程。但是，现代心理学研究突出了对数学数学概念认知活动中的心理和思维活动的考察 。 第三节 研究数学思维的目的与方法 数学思维是人的数学学习和数学创造活动中一种重要的思维形式。研究数学思维既是在解决数学问题中使人更好地展开数学思维活动的需要，又是促进如何更快发展数学思维的必须，也是促进人们将数学思维活动运用各个领域，从而实现数学教育价值的重要途径。这里，我们主要从学校数学教育的角度来展开研究数学思维的目的。 1 对数学思维活动的规律有比较科学的认识，从而更好地展开数学思维。 2 科学地运用数学思维活动的规律，以利于更好地培养数学思维能力。 3 有了数学思维活动活动有关知识，利于进一步展开数学思维活动的研究。 对数学思维活动的研究具有多学科、多角度、多层次等交叉综合特性。我们如何展开数学思维的研究呢？ 从学科上看，数学思维研究涉及多个学科，也会借鉴多个学科的方法。对于我们来说，我们主要从两个学科展开数学思维研究，即一是学习心理学的；一是教育学的。第一个是基础的，即展开数学思维的心理活动的心理过程研究；第二个是应用的，即数学思维活动与其思维活动的内容的关系。 从层次来看，有宏观上研究，也有微观方面的研究。 宏观上来看，主要通过整个数学研究发展过程中的思维活动的经验和规律进行一般的概括，更具有数学方法上的意义。 微观上来看，主要对具体的数学思维活动的特征等进行分析，从而总结数学思维的有关结构、形式等要素，根据具有个体特殊性的意义。 方法上来看，有案例分析（包括宏观和微观）、调查实验、统计分析等。 一般来说，我们主要从一些典型的问题，进行思维活动的方法，进一步到结构、形式进行分析，从而得到一定看法。 第二章 数学思维的基本形式 本章按照一般思维科学的范畴对数学思维的基本形式进行分类，然后结合具体的数学活动特征进行深入讨论。 数学思维的基本形式是按照数学思维活动的不同特征得出的数学思维的基本类型。一般有如下角度进行分类： 1 从数学思维活动的性质划分，分为： （1）数学抽象思维（弱抽象、强抽象、等置抽象、构象化抽象、公理化抽象、模式化抽象）； （2）数学逻辑思维（形式逻辑思维、数理逻辑思维、辨证逻辑思维）； （3）数学形象思维（数学表象、数学直感、数学想象、几何思维、类几何思维）； （4）数学猜想思维（类比猜想、归纳猜想、探索性猜想、仿造性猜想、审美猜想）； （5）数学直觉思维（数觉、辨识直觉、关联直觉、审美直觉）； （6）数学灵感思维（突发式灵感、诱发式灵感）。 2 从数学思维指向划分，分为： 集中思维（又称求同思维）（分为：定向思维、纵向思维及构造性思维）、发散思维（又称求异思维）（分为：逆向思维、侧向思维、悖向思维、探索性思维）。 3 从思维品质角度划分，分为：再现性思维、创造性思维。 这里重点探讨按照思维性质特征划分的6种形式。 第一节 数学抽象思维 抽象思维是指根据一些事物共有的属性或特征，而舍弃其它属性或特征对事物分类的思考方式。抽象思维是人类普遍的思维方式。数学中的抽象思维主要是对事物的空间形式与数量关系的属性进行抽象，以及以此为基础的思维对象进一步演化进行的抽象。数学抽象思维的对象是理性思维下的形式化思想材料。 抽象思维有如下几种抽象形式： 弱抽象：扩大对象的外延，减小对象的内涵。对数学对象来说，常常是减弱数学结构的抽象。 例1 哥尼斯堡七桥问题 问题背景： 哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上的一座著名的文化名城。普莱格尔河经过这座城市时形成了两个小岛，城中有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。星期天散步已成为当地居民的一种习惯，但试图走过这样的七座桥，而且每桥只走过一次，却从来没有成功过。于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次。这就是著名哥尼斯堡七桥问题。 这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力于1736年证明了这样的走法不存在。 欧拉将陆地抽象成点，桥抽象成连接这些点的线，如图2。进一步将其关系抽象成如图3。原问题就等价于，能否从图3中某一个点出发，一次经过所有的线回到起点，这就是图论中的“一笔画”问题。 七桥问题开启了图论研究。 思考1：满足什么条件就可以完成“一笔画”问题？ 思考2：分析欧拉的抽象过程？ 图 1 图 2 图 3 例2 函数概念的发展过程 是一个弱抽象的过程： 早期的函数概念（代数函数） 18世纪函数概念（解析函数） 19世界的函数概念（变量函数） 现代函数概念（映射函数）。 例3 几何变换的弱抽象过程 轴对称变换（ 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 且轴对称） 合同变换（形状、大小不变） 相似变换（形状不变，角度大小不变） 仿射变换（平行性及平行矢量比不变） 射影变换（调和比不变，圆锥截线不变） 拓扑变换（保留连通性、紧致性等）。 强抽象：把新的特征引入原有数学结构加以强化形成的抽象。这时内涵扩大，而外延缩小。 例4 函数 连续函数 可微函数 例5 四边形 平行四边形 矩形 正方形 等置抽象：将等价元素归为一类，将等价类视为一个新元素的抽象方法，它是弱抽象的一种特殊表现形式。 等价关系需满足三性：反身性、对称性和传递性。 比如：同余关系、图形之间的合同关系（相似关系）等。 形式化抽象：指用逻辑概念或表意的数学符号及其体系，去表达和界定数学对象的结构和规律。形式化思维是数学思维本质的一个重要侧面。 形式化抽象有不同的层次： （1）构象化抽象：是指由现实原型和思想材料中加以弱化或强化，或者处于逻辑需要进行构造而得到的完全理想化的数学对象。数学符号化也是构象化抽象的一种表现形式。 （2）模式化抽象：是对具有现实原型或数学模型本身进一步简化或一般化、精确化，从而从前者中分离出来的数学对象的关系、性质或规律的结构化抽象。“模型”是指从属于具体的特定的事物或现象的，而“模式”说反映的只是特定事物或现象的量性特征或结构，更具有普遍性。 （3）公理化抽象是完全理想化抽象。 上述几种抽象都是从不同角度对事物（特别是数学对象）认识的方式，它们相互联系。 第二节 数学逻辑思维 逻辑是研究思维形式及其规律的科学。思维形式是思维对客观特定对象及其属性的反映方式，是揭示思维内容各部分之间的联系方式，亦是思维内容赖以依存的形式。 从数学方法论的角度看，数学逻辑也可以看成整理数学知识和证明数学结论的方法。数学的重要特点就是形式化、符号化和公式化。借助于逻辑的基本形式、推理规则和推理方法把这些特点联结起来构建了整个数学体系。 逻辑学可以分为形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑。下面作简单介绍： 1 形式逻辑 形式逻辑是关于抽象思维形式的结构及其规律的科学，基本对象是抽象思维的逻辑形式、逻辑思维规律和逻辑思维方法。抽象思维的逻辑形式就是通常所指的逻辑思维形式。逻辑思维的基本形式是概念、判断、推理和证明 。形式逻辑思维规律就是指人们在思维过程中运用逻辑思维形式所必须遵守的普遍思维规律，也就是运用概念组成判断，判断组成推理所遵守的规律。形式逻辑思维的基本规律有：同一律、矛盾律和排中律以及推理过程中必须遵守的理由充足律。前三者是保证思维活动具有确定性、一贯性和明确性，而理由充足律则是保证思维的论证性。思维规律是对客观世界规律在思维活动中的反映，是客观存在的普遍规律，是对思维活动的 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 和制约，是正确思维的必要前提。逻辑思维方法是指在运用逻辑形式和规律认识客观事物过程中使用的一些逻辑方法，比如定义、划分、限制与概括，探求因果联系和论证等方法。 总之，形式逻辑是研究思维的逻辑形式及其规律和一般简单逻辑方法的科学。 2 辩证逻辑 辩证逻辑是研究辩证思维形式、规律和方法的科学。辩证逻辑的研究对象是思维发展规律、思维形式的辩证性、辩证思维的方法以及人们获得真理的一般途径。 辩证逻辑的逻辑思维形式仍是概念、判断和推理。辩证逻辑着重研究概念的内部矛盾的转化、概念的发展，并从事物内部与其形式的关系研究概念的联系。辩证逻辑研究判断的相互矛盾与统一关系，研究推理所遵循的客观事物发展规律。 辩证逻辑的思维规律是辩证思维过程中所必须准说的规律，有对立统一律、质量互变律和否定之后定规律。 对立统一律 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 思维过程中坚持思维的辩证性，思维必须保持对立统一性，即事物内部矛盾运动的认识既是对立的又是相互统一的，矛盾双方处在一个共同体之中。 质量互变律是要求思维过程坚持思维的转变性，即坚持对事物内部矛盾相互特征，和对事物的发展依赖于质与量之间变化的认识，把握量的变化积累到一定程度之后，质也随之变化，而质的变化必定影响到量的变化。 否定之否定规律，是要求思维过程坚持思维的发展性，即坚持思维在肯定——否定——否定——肯定的过程中发展，形式思维的良性循环。 三条规律实质是要求思维保持具体统一性和对立同一性，也就是要求思维以事物自身内部矛盾的运动、变化、发展的观点去把握对象，揭示事物发展规律。因此，辩证逻辑既要遵循思维规律又要遵循事物发展的规律。 人的思维过程存在两种逻辑——形式逻辑和辩证逻辑，它们共同制约思维活动。形式逻辑和辩证逻辑都是以思维形式、思维方法思维规律为研究对象，但是它们是从不同角度、不同侧面去反映思维的规律。形式逻辑是通过抽象思维建立起来的思维形式——概念、判断、推理，揭示思维的规律，而辩证逻辑思维是借助形式逻辑的思维形式、揭示思维形式与其内容之间的联系以及思维形式与思维形式之间内部矛盾与发展。 形式逻辑是以固定、静止和孤立的观点来认识思维的，而辩证逻辑则是用运动、变化和发展观点赖认识思维的。形式逻辑以揭示正确的思维形式结构，并按照这些结构形式研究思维方法和思维规律为主要任务，而不涉及思维的具体内容。在研究方法上，形式逻辑把思维形式看作相对固定、不变的。辩证逻辑是动态逻辑，研究的思维形式是生动的思维内容形式。 概念是最基本的思维形式，形式逻辑中的概念是反映事物本质属性的思维形式，概念是相对固定不变的。辩证逻辑中的概念是运动、变化和发展着的客观事物的本质、全体和内部联系。在辩证逻辑的观点下，概念具有辩证性，概念内部有自身的矛盾，即内涵与外延的矛盾，这种矛盾推动概念的发展。比如，数的概念的发展、函数概念就经历了几个发展阶段；物理学上光的概念也从粒子说到波动说，再到波粒二象性。 判断是思维反映概念之间关系的形式。形式逻辑只是形式上研究判断，把各种判断置于同一水平。辩证逻辑研究的判断是展开了的概念，它更充分地揭示事物的本质、全体和内部的联系。这样判断具有辩证性，判断具有内部矛盾性。辩证判断反映现实客观存在的矛盾关系。如：时间是连续的，又是不连续的。在人们的认识过程中，判断在不断发展，从对现象外表的判断，发展为对本质的判断然后在发展揭示事物本质和现象的统一判断。 推理是在概念和判断的基础上建立起来的思维形式。形式逻辑是从纯形式上来研究推理的，由此得出各种推理规律。比如三段论推理。辩证逻辑的推理是对事物认识深化去进行推理，在推理过程中也使用不同的思维规律，它是着重于事物间的推理统一，相互转化和联系的推理，因此它能较好地反映事物内部的联系和转化，更深刻地认识世界，预见事物未来的发展。辩证推理具有辩证性，推理过程实质是一个思维过程。辩证推理具有运动和转化的推理。 辩证逻辑是以形式与内容相结合来研究思维、思维形式和思维规律的。辩证逻辑着眼于研究概念、判断和推理的内部矛盾，并以运动、变化和发展的观点认识事物的属性与内部联系。它揭示事物在发展过程中存在的矛盾，从认识事物的相互转化和发展规律，英尺嘎辩证逻辑是形式逻辑发展的高级阶段。 3 数理逻辑 数理逻辑主要用数学方法来研究形式逻辑演绎部分及以公理方法构造出命题演算与谓词演算系统的科学。数理逻辑也可以说是“用数学方法研究数学中演绎思维和数学基础的科学。”数理逻辑研究的兑现主要是命题运算、为此运算、递归论、证明论、集合论和模型论等。 数理逻辑运用数学符号和方法把形式逻辑学提高到一个新的高度，开辟了数学新的研究领域——非标准分析。数理逻辑关于形式语言研究为计算机语言提供了前提，促进了计算机的发展。 第三节 数学形象思维 形象思维是依靠形象材料的表象而意识领会得到理解的思维方式。下面探讨形象思维的基本形式。 1 表象思维 表象是人脑对当前没有直接作用于感觉器官的和以前感知过的事物形象的反映。数学表象是从事物的具体形体物象中通过形式结果特征的概括而得到的观念性形象，如三角形、圆、球等数学对象就是数学表象。数学表象的载体是客观实物的原型或模型以及各种几何图形、代数图式，包括数学符号、图像、图表与公式等形象性的外部材料。数学表象有两种基本类型：图形表象（或几何型表象）与图式表象（或代数型表象），有时也呈现混合型状态。 表象是形象思维的基本元素。表象思维就是主体借助于逻辑思维的渗透和结合，对各种表象进行分析、比较，加工和整合，从而对不同类型的和不同深度的表象进行概括，产生更一般的表象或者表象系统。 2 直感（insight）思维 直感是运用表象对具体形象的直接判别和感知的思维方式。数学直感是在数学表象基础上对有关数学形象特征的判别。形象特征判别可以不借助概念甚至语言为中介。因此，形象特征判别是用带有普遍性的概括表象去对照具有个别性的具体形象所得的判断。这种特征是一种整体形象的分解与整合的直观感知过程，是形象思维规律相似特性的一种表现。 直感与灵感（inspiration）不同，直感是显意识，而灵感是潜意识；直感也与直觉（intuition）不同。直感是直觉的整体形象判别的侧面，而直觉的实质主要在于逻辑思维过程的压缩，运用知识组块对当前问题进行分析及推理，以便迅速发现解决问题的方向或途径。直觉是直感的扩大或者延伸。直感有不同的形式，主要有：形象识别直感、模式补形直感、形象相似直感和象质转换直感。其中前两种是简单直感，后两种是复合直感。 （1）形象识别直感是用数学表象中的个象与类象特征的比较来判断二者是否是同质的思维方式。在数学活动中表象为图形、图式在变位、变式情况下的再认，以及复合、综合形态下的图形的分解辨认。这种形象识别直感在数学解题的思维过程中起着启发和引导的作用。数学教学中加强变图、变式训练是提高形象识别直感能力的重要途径。 例1 变图训练 非标准图形的识别 全等三角形的辨认 共边三角形面积比 变式训练 同结构的数形转化 （2）模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维模式。这是一种由部分形象去判断整体形象，或由残缺形象补全整体形象的直感。数学解题中的补形法、添加辅助线、拆添项、构造法等都是模式补形直感的具体表象。 例2 已知如图，在△ABC中，AB＝3AC，∠A的平分线交BC于D，过B作BE⊥AD并交AD延长线于E。求证：AD＝DE。 例3 如图，在直角△ABC中，AC＝BC，圆弧DEF是以A为圆心。若图中阴影部分面积相等，求AD与DB之比。 例4 竞赛数学中的例子：第5讲 例5 P89 代数“补形”的例子 例5 求 的值 分析：由于 ，于是可以按照 的展开式对原式进行补形。 例6 求函数 的最小值 分析：按照平方和模式补形 例7 解方程组： 对（1）式按照“韦达定理”关系补形，求出比值，再联立第（2）式求解。 例8 竞赛数学中P12第1讲例12是几何中利用“韦达定理”补形的例子。 （3）形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础的复合直感。当主体进行对象形象识别时，往往头脑中找不到同质表象，也不能补形整合于已有的模式时，主体可能在头脑中筛选出最接近于目标形象的已有表象或模式来进行形象识别，再进行适当的思维加工与改造，使新形象与原有形象或模式形成相似联系。在问题解决过程中，表现为问题的变更和转化。这种直感相应有图形相似与图式相似两种形式。这种直感是联想、类比、想象、猜想等形象推理方法的认识基础。 例9 三角形及其中位线——（1）梯形中位线；（2）三棱锥是中截面。 例10 重心的类比（线段与杠杆，三角形，四面体），向量关系，定比分点关系…… 例11 竞赛几何中平角的平分线的例子以及面积的例子 例12 下列图形是三角形或四边形向外作正方形或三角形所构成。 上面机构图形相似，请思考各自有哪些相似，并能得到哪些相似结论，然后分析思维过程。 注：写类比有关的论文时的心理或思维分析可以仔细参考此部分。 下面的图形具有相似性，相应的命题也具有相似性。 命题1 如图（1），PC是切线，则OM＝ON。 命题2 如图（2），OP＝OQ，则OM＝ON。 命题3 如图（3），P是EF中点，则OM＝ON。 命题4 如图（4），OP⊥MN，则OM＝ON。 下面的例子可以看出图形结构相似直感在解题思维过程中的指引思路的作用。 13 如图，ABCD是圆内接四边形，求证： 分析：当待证结论无法用也有的表象和模式进行判别时，可将其适当变形，从分式变为整式： ，注意到积式中的三条线段均是三角形的三边，于是就可以与三角形面积公式 联系起来，于是转证 ，结论显然。 （4）象质转换枝干撒利用数学表象的变化或差异来判别数学队形的质变或变异的形象特征判断。数学中的图形、图像、图式等在头脑中形成的表象是数学对象内在本质的反映，象质相互关联。在互动的数学思维活动中，二者往往互相转换，处于动态平衡的关联系统。比如，圆锥曲线的形状的变化对应离心率的变化；一元二次函数图形开口与函数系数的关系等。 在教学中，我们可以利用函数图形与函数性质建立象质关联系统，特别是一些动态关系的对应。 比如： 1）幂函数；2）指数函数；3）对数函数；4）二次函数中参数或系数与函数图像的关系。 3 想象 想象是头脑中对已有表象经过结合和改造，产生新的表象的思维过程。想象的基本对象是表象，基本方式考试直感。数学想象所对数学形象的特征推理，它是数学表象与数学直感在主体头脑中的有机联结和组合。数学想象是似真推理（或合情推理）的基本成分，也是创造性思维的重要成分，有时也是数学抽象思维的表象形式。比如，想象直线、平面等对象。 数学想象有不同的表现形式，按照内容特点来看，分为图形想象和图式想象。 （1）图形想象是以空间形象直感为基础的对数学图形表象的加工与改造。它是对几何图形的形象建构，包括图形构想、图形表达、图形识别和图形推理四个层次。每个层次包含着对图形的基本元素之间位置关系和度量关系的认识，以及对整体图形的形状和结构的认识。 比如：图形变换中的想象。 例1 证明空间上不在同一平面上的四点确定一个球（四面体也能确定一个内切球）。 例2 同一平面上的三条平行线，它们之间的距离依次为1和2，作正三角形ABC，使三顶点分别在三条直线上，求△ABC的边长。（07四川高考） 例3 高为h的等边圆锥内，有三个等半径且两两相切的球，又每个球都和圆锥的底面及侧面相切，求这三个球的半径r。 思考：本题需要进行怎样的图形想象。 （2） 图式想象是以数学直感为基础的对数学图式表象的加工与改造，它是对数学图式进行的形象特征推理。图式在数学中是事物数量关系的解析表象。比如，直线的倾斜方向和程度与斜率的关系；截距与b的关系；一元二次方程根的分布、对称轴的位置等。 例4 把复数 化为三角形式。 例5 在△ABC中，求证： 可见，图式想象中常常是对问题中某些对象的结构形成一个组块，在思维过程中则直接运用组块进行联想和演算。这样更容易得到启发，思维过程变得简洁。 按照深度来分，想象还可以分为联想（如回忆、追想等）和猜想（设想）。联想是一种再造性想象，二猜想则是属于创造性想象。这些想象是数学形象思维过程中的重要表现形式，也常常是问题解决策略获得的重要途径。对此，具体运用请参见《竞赛数学专题研究》中第一讲《几何解题途径的探求》。 数学想象中不同形式或类型，我们可以归纳为： 数学形象思维的三种基本形态（或形式）：数学表象、数学直感和数学想象之间存在深刻的辩证联系，即数学想象和数学直感是数学想象的基本成分或材料。数学直感与数学想象互为表里、互相渗透，数学想象是数学直感的形成过程，而数学直感又表象为数学想象的结果。 4 几何思维与类几何思维 数学形象思维通常可以分为几何思维（即以现实世界为基础的几何空间中的图形和以具体的图式为对象的直观思维）和类几何思维（借助于几何空间关系进行理性构思为抽象对象构造的形象对象或概念而进行的思维称为类几何思维）。 几何思维入初等几何中的空间与图形中的对象，以及数形结合、图像法、几何模型法等均属于几何思维。类几何思维的形象对象实际上理性思维中对抽象对象的形象构象。因此，类几何思维是形象思维与抽象思维的几何。 例如，非欧几何、高维空间、泛函空间等概念均已远离欧氏空间中的直观意义，而保留了点、距离、连续等概念。这时，几何、代数与分析已经融为一体，并且这种概念所描述的客观世界也更为广阔。 第四节 数学直觉思维 我相信直觉和灵感。——爱因斯坦 直觉是运用有关知识组块和形象直感对当前问题进行敏锐的分析、推理，并能迅速发现解决问题的方向或途径的思维形式。它是以高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题实质的思维。 天才常常都具有直觉的本领。 拉马努金的故事： 。 例1 5个自然数，它们的和等于它们的积，求这5个数。 例2 证明： 无整数解。 ，当n至少为多大时，方程有整数解。 例3 求证： 。 分析：经验组块： 例4 已知 ，求证： 。 例5 在△ABC中， 的高线、角平分线和中线四等分 ，求 。 直觉具有下列特征： （1）经验性； （2）迅速性； （3）跳跃性； （4）或然性。 第五节 数学猜想思维 一、什么是猜想 猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维形式。 二、猜想的特点 1 是一种合情推理的思维方法； 2 是带有一定自觉性的认识过程； 3 证明之前的构想。 三、猜想的本质 猜想是对研究的对象或问题，联系已有知识与经验进行形象的分解、选择、加工、改造的整合过程，是一种具有创造性特征的思维活动。 四、历史上重要猜想的例子 1 歌德巴赫猜想；2 欧拉公式；3 费马猜想；4 四色猜想 五、数学猜想的形式： 1类比性猜想； 例1三角形中有关性质的类比，如：等腰三角形性质与判定 例2定比分点的类比 例3 三面角与三角形的类比 2归纳性猜想； 例1 费马猜想： 是质数 例2 推广 例3 由假设 可推出， ，再推出 （ 例4 数列中很多都是归纳性结论，然后再用数学归纳法证明的例子。 例5 设 ，求满足不等式 的整数解 的组数。 3探索性猜想； 例1 分解因式 赋10还原法： 例2 如得到圆台侧面积的猜想： ， 我们可以通过特殊化的方式来确认我们的猜想，如 （1）圆柱： ； （2）圆锥： ； （3）圆环： ； （4）圆： ； 事实上，我们很多时候是通过特殊化来猜想一般性的结论，比如《竞赛专题研究》中P30例2。 4仿造性猜想； 例1 蜂房问题 5审美猜想 例1 设A、B、C分别是△ABC的内角，求证： 。（《竞赛专题研究》P95例11） 例2 已知 ，求证： 。 例3 求单位正方形中最大和最小的内接正三角形。 第六节 数学灵感思维 一、灵感思维的含义 灵感，又称为顿悟，是直觉思维的另一种形式，它表现为长期探索而未能解决的问题的一种突然性领悟。 灵感思维的实质是对待解决的问题经过长时间孕育、思考之后，使“问题意识“连同加工过的方法钻入潜意识储存，而在某个适当时候因某种事物启迪下，突然闪现出一个念头使问题得以解决。 二 灵感思维的特征 1 突发性； 2 偶然性； 3 模糊性； 4 非逻辑性。 三 数学史上灵感的例子 1 笛卡尔 2 彭加勒 3 高斯 4 哈密顿 四 灵感与直觉的关系 例1 如果三个由相同半径的圆过一点，则通过它们的另外三个交点的圆具有相同的半径。 第三章 基本的数学思维方式 思维方式是内化于人脑中的世界观和方法论的理性认识方式，是体现一定思维方法和一定思维内容的思维模式。数学思维方式是指数学思维过程中主体进行数学思维活动的相对定型、相对稳定的思维样式。它是数学思维方法与数学思维形式的统一，并且通过一定的数学内容得以体现。 本章所讲数学思维方式涵盖了数学思维形式、数学思想方法及数学思维方法等。基本的数学思维方式既反映深刻的现代数学发展的背景，又应对任何数学活动，不论是高等的、初等的，还是古典的、传统的和现代的数学研究及数学教育均有指导意义。它们可以分为3组16种。 第一组 一般化的数学思维方式 包括以下四种思维方式 1 数与符号的思维方式；2 形式推理的思维方式；3 公理结构的思维方式；4 数学模型思维模式。 它们体现了数学科学的四大特点，即内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确性。它们既是数学科学本身发生、发展过程的思维概括，也是重大的数学思想方法。 第二组 学科化的思维方式 包括： 1 变量函数的思维方式；2 空间想象的思维方式；3 无穷分析的思维方式；4 概率统计的思维方式；5 系统优化的思维方式；6 计算逼近的思维方式。 体现了基础数学、应用数学和计算数学三部部分及其分支学科中的基本的重要的数学观念、数学思想与数学方法。 第三组 数学活动类的思维方式 1 化归映射的思维方式；2 相似类比的思维方式；3 探索归纳的思维方式；4 模式构造思维方式；5 反例反驳的思维方式；6 数觉审美的思维方式。 这些思维方式特别适用于数学问题解决，包括问题的提出、分析问题、解决问题和推广引申问题等数学活动中。 上述16中思维方式都是基本的数学思维方式，它们是从不同的角度对数学思维活动的认识。 这里，我们选择其中的6中思维方式一起探讨。 第一节 数与符号的思维方式 数与符号的思维方式是数学中最原始，也是最重要、最根本的思维方式。包括数的意识、量的观念、抽象的意识、字母代数、符号思维、数学语言、数学表示等重要的数学思想方法。 问题1：你能够说出从古至今哪些数或者数量及其与之相关的东西？ 问题2：你能够说出从古至今哪些具有数学意义的符号及其与之相关的东西？ 问题3：数与符号思维方式对于数学学习的意义有哪些？ 例1 你怎样理解下面的式子的含义？ 例2 数轴标根法的含义 例3 矩阵乘法用于生活中的表示，你能举出一个类似的应用的例子吗？ 附：数的发展简史 第二节 形式推理的思维方式 数学研究的对象就是形式化的思想材料，因此形式推理的思维方式是体现数学本质特征的重大思维方式。它包括形式化思想、数学表示方法、逻辑方法、推理方法、证明方法以及数理逻辑方法等。 问题1 怎样理解形式化呢？ 徐利治：形式化就是用一套表意的数学符号体系，去表达数学对象的结构和规律，从而把对具体数学对象的研究转变为对符号的研究。这是希尔伯特式的形式化观念。 形式化的三个层次： 1 自然语言的数学化：指从客观事物或思想事物中抽象出数量关系与空间形式结构方面的特征，形成数学概念或关系。数学抽象、概括就是一种初步的形式化。比如，哥尼斯堡七桥问题的欧拉抽象就是一种抽象方法，也是一种模型化的方法，也是一种形式化的方法。 你能够举例说明在教学中形式化的例子吗？ 比如：你能用自然语言描述函数（平行）吗？用数学语言呢？ 2 数学语言的符号化：数学语言也有多种表达方式，有符号的成分，但是也有不是符号的成分。 比如：你怎样用符号来表达函数的概念？ 3 符号语言的公式化、系统化演绎化：就是系统地将数学的表示组成一个公式、系统，构成一个完整的数学形式演绎系统。 在形式化不断深化的过程中，必然要使用归纳与演绎、数学归纳法等推理方法，以及分析、综合、比较、分类、抽象、概括、不完全归纳与类比、反例、反驳方法、同一法等逻辑方法以及证明方法。这些都是形式推理思维的基本成分。 问题2 在数学教育中，如何推进学生数学思维活动的形式化层次？ 案例：小学数学课例——分数的初步 第三节 数学模型的思维方式 数学模型思维方式是包括古典的、传统的和现代的全部数学在内，观察在数学科学发展全过程及数学各分支学科的最根本的思维方式之一。 一、数学模型思维方式的含义与类型 广义地理解，任何数学知识，包括一切数学概念、数学定理、数学公式以及几何与代数、函数与方程、微分与积分、图论或拓扑，统筹或控制、封信或混沌等，无非都是用数学语言来描述或模拟显示世界客观规律的数学模型。狭义理解应该是应用数学知识、思想和方法来解决实际问题的数学模型方法。包括数学应用意识、抽象简化意识、计算模拟方法、实践建议原则等思维方法的精确定理思维。 数学模型可以分为四类： 确定性数学模型；随机性数学模型；模糊性数学模型；突变性数学模型 你知道哪些著名的数学模型吗？ 1 七桥问题——“一笔画”模型 2 万有引力定理—— 3 浦丰实验等—— 4 人口增长模型—— 其中r为生命系数，k为环境容纳量。 二 模型思维方式在中学数学中的体现 （一） 直接运用 比如：利息、年金、复利指数模型、分期付款模型、有关函数模型、线性规划模型。 （二） 模型方法 运用模型方法思想为某些数学问题建立新的结构 比如：不等式化为三角形模型； 例1 可以看成哪些模型？ 例2 几何隔板模型解组合问题 （1）3个相同的球放在4个不同的盒子内，共有多少种不同的方法？ （2）不定方程的解的模型 1 的正整数解的个数？（ ） 2、求 有多少组非负整数解？（ 或 ） 3、求 有多少组非负整数解？（ ） 例3 数论性质的组合模型 1证明：连续n个自然数之积一定能被n！的整除。 2 求105的因数有多少个？ 3 怎样理解组合恒等式： 。 （三）数据处理方法 实际问题和数学问题并不是完全一致，往往数学应用实际问题时，需要将实际问题进行抽象和对某些要素进行取舍，达到建构数学模型的目的。 例4 某工厂1、2、3、4月份生产某产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件就1.4万件。为了预测以后每个月的产量，想用一个函数模型来模拟产量随月份变化的关系。如果，已知二次函数或指数函数，例应该选择哪一个模型？ （四）算法化模型 算法已经进入中学数学课程，它是信息技术和数学交叉的内容。以此为切入口，将程序设计的思想应用于数学和信息技术的课程的相关内容中将是一大趋势，这也是体现数学模型方法的重要方面，也是训练模型思维方式的重要途径。 第四节 变量函数的思维方式 变量函数思维方式是近代数学发展和应用中的一个基本又重要的思维方式。这一思维方式是随着函数概念的发展而不断发展的。现在这种思维方式的表现很丰富，比如：变量思维方式、集合对应观点、函数分析方法、等价变化方法等。而在中学里主要体现为函数方程思想、数形结合思想、等价转化思想、解析法、参数法等思维方法。 一 函数概念发展的有关历史 参考：《中学数学简史》第六章第六节《函数概念的产生与发展》 二 变量函数思维方式在中学数学中的应用 1 函数及其有关知识的应用 思考：中学数学中函数知识主要应用于哪些方面？ （数学中应用，生活中的应用，其它学科的应用） 函数概念是贯穿中学数学的主线，从代数式到方程、不等式，最后都可以用函数将其贯穿起来。又如，物理学中的许多定律、公式与正、反比例函数，复利计算与指数函数和对数函数，产品销售与分段函数，制作零件用料与函数最值，等等，都是函数知识的运用。中学里的函数主要以解析式表示的初等函数，结合函数图像直观讨论函数的有关性质及其应用。 2 函数思想的应用 函数思想或者说变量的思想在中学数学中应用更为广泛。函数概念蕴含的思想方法在中学数学中的应用应该进一步发掘。中学数学中函数与方程是变量关系表现的不同方式，可以进行等价变换；不等式可以通过函数的图像曲线或者用平面区域进行分析；数列则是一类特殊的函数，从而与此相关的数学问题均可用变量函数观点统一处理，使数形结合、等价转化、函数方程等思想贯穿其中。在处理具体数学问题时，函数的图像表示与分析、变量的引进、参数方法的使用、变更主元的处理等也是培养数学思维能力和品质不可忽视的重要方面。 例1 为使方程 在 内有解，求 的取值范围。 例2 设 ，求证： 。 例3 求 的值域。 第五节 空间想象思维方式 空间想象思维方式是数学思维最基本的方式之一。它包括几何关系与空间观念两个相互连结又互相渗透的不同侧面，并且由经验直观逐步发展至理性想象，由几何思维发展到类几何思维。空间想象思维方式包括几何直觉与直观思维、空间观念与空间想象思想、几何方法与坐标方法、变化方法以及图论方法、拓扑方法等重要思想方法。 一 几何学发展的概貌 几何是人们对事物的连续性观念抽象出几何对象及其几何关系。几何学起源于测量和天文观测中，基本概念是度量关系，后来发展到对象的位置和形状关系，并发展称为演绎体系。解析几何之后，人们逐渐认识到几何关系与数量关系之间的辩证性，当然对二者的彻底的认识是在实数的连续性证明之后。现代几何已经从欧氏几何发展到射影几何、拓扑学、微分几何和无穷小分析等方法。伴随人们对几何关系认识的深化，空间观念的思维方式也发生重大变革。从一、二、三维的直觉经验现实生活空间发展到由达朗贝尔和拉格朗日等人引入时间建立了思维几何学。到19世纪，经过很多数学家的不断深入研究就形成了高维空间概念。高维空间不是现实空间，但是它能来刻画现实世界的事物现象。这时低维空间的直观只不过是用来理解高维空间的工具或者是用来推广的基础。 不过，学习反映现实世界的欧氏几何仍然是中学生奠定数学基础的一个重要内容。 思考讨论问题： 你认为中学学习几何学有哪些作用？ 二 中学数学中的几何思维方式 1 变换中的想象 例1 平移变换：平行四边形中的问题 例2 旋转变换：正三角形中的问题；三角形内角和的引申； 2 类比中的几何推广 问题：你能说出哪些几何中的类比吗？ 例3 三角形与三棱锥 例4 圆与球 3 数形结合思维方式 例5 平方差公式 例6 完全平方公式 例7 多项式乘法 例8不等式直观化为图形 （1） 若 ，则有 ； （2） 平均值不等式： ， 4 动态直观思维 例9 三角形内角和 5 几何证明问题 例10 托勒密定理及其推广的证明 6 空间想象的创造性思维 例11 你能直接测量一块立方体的砖的对角线吗？ 三 观察录像，思考： 老师是怎样培养学生的空间思维观念或者思维方式的，具有不同层次吗？ 附：参见课程标准有关内容 第六节 概率统计的思维方式 一 问题的提出 现实生活中有三类现象：确定现象、随机现象和模糊现象。这三类现象的提出并从数学上加以抽象，是人类对现实世界认识的深化。对确定现象中的对象及其关系进行抽象，形成了演绎数学中的对象及其关系，这些关系最核心是逻辑关系。数学上对逻辑关系加以抽象，形成公理化体系。对随机现象中的对象及其关系的抽象就形成了概率中的对象与关系。而研究概率事件的方法就是统计方法。对模糊现象中的对象及其关系的抽象就形成了概率中的对象与关系，研究模糊现象的数学就是模糊数学。本节主要针对概率统计中所形成的重要数学思想或思维方式进行讨论。 二 概率统计的有关历史 概率论研究随机现象（也称偶然现象），而随机现象在现实世界中普遍存在。人们很早就注意到这一点，对一些特定情景的问题的讨论就形成了古典概率。古典概率讨论的对象局限于随机试验中所有可能结果，为有限个等可能的情形。这常常出现在赌博问题的讨论中。近代概率论研究的发展起源于意大利出现的海上保险业务中。 就概率问题套具有实质意义的进展应该是17世纪法国一位赌博者向数学家帕斯卡提出的一个问题，即：两个赌徒约定赌弱冠局之后，谁先赢S局，谁就胜出。现在一个人赢了A局，另一个人赢了B局，但都小于S局。突然赌博终止，问这是赌本应该如何分配。后来费马和惠更斯也研究了这样的问题。这实际上是概率期望的问题。17世纪末，概率论在数学上的理论研究开出现，雅各布.伯努利得到了“大数定律”，标志概率论正式开端。 概率论在18世纪得到了广泛的应用，也得到了众多的成果。不过，此时概率论主要在于对现实模型的抽象及其结论在数学上的推广。19世纪才出现了对概率论建立完整的理论体系和更广泛地应用方面的发展。这时，引进了大量的数学抽象出来的概念。20世纪初，概率论系统理论逐步完善，在公理化的影响下，1933年，前苏联数学家科尔莫戈诺夫建立了公理化体系。 概率论的进一步发展揭示了确定现象与随机现象的辩证关系。一个著名的例子就是20世纪70年代，生态学家对昆虫种群增长规律研究中提出了一个数学模型： 。这是一个二次函数的迭代模型。研究发现， 随参数的变化，可能对初始条件非常敏感，使结果变得混乱而不可预测。这就说明确定性的非线性系统的解会出现内在的随机性。 这一模型，可以参见Excel文件中的例子。 三 中学数学中的概率思维方式 中学数学中的概率统计的思维方式的实质在于利用数理统计的数学工具分析随机过程或现象的规律，简单地说就是科学地判断某种情况出现的可能性大小和程度，从而为我们在处理随机问题时作出正确的决策。 例 1 如何估计一个水塘有多少鱼？ 例2 猜车的问题 第七节 化归映射的思维方式 一 化归与RMI 引子：一个物理学家与数学家烧开水的故事 这个故事说明了一个什么道理？ 化归，顾名思义，就是转化归结，即通过转化问题的条件或结论归结为已经解决的问题，这是数学问题解决中的一般思维原则。比如，解方程（组）（分解因式，配方法）。化归的基本形式有：一般化、特殊化、典型化、有向化、退化、递归化、极端化、具体化、模型化、简单化、熟悉化、分割或补形转化、数形转化、等价转化、消元降次、降维、微分方程转化为代数方程、曲化直、无限化有限、离散化连续、变量化常量、随机化确定、函数化方程……都有可能包含化归思想。化归的目的是化难为易、化繁为简、化生为熟、化隐为显，也就是化未知为已知。 映射方法，就是徐利治教授概括的“关系映射反演方法”（即RMI，R表示关系（Relation）、M表示映射（Mapping）、I表示反演（Inversion））。它是化归原则的数学化和形式化。思维模式概括为： 数学史中典型的RMI方法的运用体现在16、17世纪，对数的诞生。这实际上在当时主要是为了解决天文和航海的乘幂运算的复杂性问题。通过对数转化，就将乘幂运算转化为对数加法运算。 不过，这里的映射和反演不作严格数学意义上的理解，而是采用广泛意义上的理解，只要对象关系的转化是确定的，并且是可逆的，那么都是属于这个范围。比如，坐标法、参数方程法、对数法、换元法、向量法、数形结合转化法、母函数法、各种数学变换以及一些数学模型方法等多种不同层次的数学方法。 RMI思维方式有两方面作用：，其一，能在数学学习和研究中用来加深对知识和方法的理解，发挥探索数学新知识、指导数学研究和发现的作用；其二，能在数学解题中起到开拓思路，使问题的解决达到又难化易，由繁化简的目的。 例子：椭圆的面积公式 二 中学数学中的化归与映射思维方式 例1 正方形——长方形——平行四边形 ——三角形——面积公式的推广 例2 四面体的外接球和内切球的半径 例3 数列的理解： 等差数列的前m项之和为n，前n项之和m，则前m＋n项之和为多少？ 例4 求证：每个圆的内接四边形都可以分割成n个圆的内接四边形。 例5 方程 至少由一个变数为0的解的个数。 注：常见的转化方法： 如：求证a、b、c至少有一个大于0（1）？ 例6 如右图三角阵，若从左上角开始（向下或向右），读出“一定要努力学习”的完整语句，问有多少种不同的读法路线？ 例7 一元化多元 解方程 。 思路：转化为2元方程，利用数形结合思想求解。 即 …… 例8 Cauchy不等式的一种证法 设 ，则 ，当且仅当 （常数）时等号成立。 化归思想下的一种证明方法： 特殊化：增设条件 ，则只需证 。 实际上： 。 对一般的情形，考虑变换： ，同样作 。 第八节 相似类比思维方式 一 哲学基础 相似类比律是辩证思维的一条基本规律。由此产生的思维方式就是数学思维中重要的思维方式，也是重要的数学思维方法。这种思维方式在数学研究（数学猜想、数学应用、数学知识创造等）和数学教育（数学学习、数学解题和数学教学等）中有重要的作用。 相似律是客观事物发展变化中的一种基本规律，也是人思维的一个基本规律。相似既反映了事物相同的一面，又反映了变异的一面。相同是为了求得继承，变异是为了求得发展。相似律的主要内容是： （1）客观世界中事物本身的发展以及相互间的关系中存在着大量相似因素、相似现象、相似关系、相似结果和相似系列。 （2）相似的基因、相似的条件和环境产生相似的结果。 数学中的相似类比思维方式是对客观事物相似性关系在思维上的抽象和反映。表现为：几何相似、关系相似、结构相似、方法相似等。比如，数学中的一题多变就是相似律的反映；数学命题的推广和引申也是相似认知的结果。数学思维中的联想、类比、归纳和猜想方法等就是运用相似性探求数学规律、发现数学知识的主导方法，也是创造性思维的重要成分。 二 数学中的一些重要的相似类比性质 例1 距离、n维空间中的距离、泛函中的范数； 例2 欧拉猜想 ； 例3 科尔莫戈诺夫的公理化概率论中将概率与测度成功类比； 例4 波利亚提出合情推理模式 三 相似类比思维方式在中学数学中的运用 例1 圆幂定理 如何认识相交弦定理、割线定理和切割线定理？ 例2 不等式的认识与推广 对比以下不等式，你如何认识 若 ，则 ； 若 ，则 ； 问题1：这里推广过程中为什么在三元时需要限制在正实数范围？ 问题2：仅仅推广元的个数，结果是如何呢？ 问题3：从 ，可以得出 ，又如何认识呢？ 几个问题： 1 已知 ， ，求 的值。 2 已知 ， EMBED Equation.3 ，求 的最大值。 3 已知 ， ，求 的值。 几个恒等式： 1 2 3 例3 运用相似性探索解题途径 设A、B、C是一直线上的顺次三点，P是直线外一点，过P的一圆交PA、PB、PC于E、F、G。求证： 。 例4 勾股定理的类比推广 问题：你能联想到勾股定理的类比推广的结论 1 长方体中的对角线（与三度关系，与面对角线关系） 2 直角四面体中的关系（面积关系、二面角关系） 直角三角形性质 直角四面体的性质 H为Rt△ABP的直角顶点P在斜边AB上的射影。 H为直角四面体P－ABC的直角顶点P在斜面△ABC上的射影。 若 ，则 时， 若 ，则 时， 例5 三角形与四面体的类比 性质 0维点 1维线 2维面 3维体 线段 最简单的一维有界图形，线段是三角形的组成部分。 2 1 三角形 最简单的多边形，三角形在平面上，三角形是四面体的组成部分。 3 3 1 四面体 最简单的多面体，四面体在空间中 4 6 4 1 第九节 探索归纳的思维方式 归纳是通过对某类事物中的若干特殊情形的分析而得出一般结论的思维方法，归纳法是科学思维的基本方法之一。归纳法的认识基础在于特殊事物蕴含一般事物的同一性或共性。 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。数学归纳法的实质是演绎推理，但思想是归纳思想，属于完全归纳法的一种。数学中的归纳法不同于一般归纳法，它是对数学对象由若干个别情形定量精确地概括出共同的或一般的数学性质。它与类比思维也不同，它是侧重于同一性的考察，而类比思维则侧重于相似性的分析。归纳法常常在探索数学对象的特征和规律时使用，表现为作出假说或猜想，再加以证明。当然，探索性思维未必要用归纳法，而且关于运用包括观察、实验、分析、综合、演绎、类比、一般化等内在的其它方法。归纳法是探索性思维的根本方法。因此，把探索与归纳联结在一起作为一种基本的数学思维方式，就使归纳思想的范围更为开阔，思想方向也更明朗。它可以包括直观归纳（通过观察）、经验归纳（通过思想实验或模型检验等进行不完全归纳），完全归纳及无穷归纳（即数学归纳法）等各种思想方法。 中学数学中的归纳猜想思维方式在数列部分体现得特别明显。一个数列公式往往可以通过特殊项的特征，归纳出通项公式，然后再加以证明。 例1 回答下列两个问题 问题1 你怎样推导等差数列的通项公式？其中体现何种思维方式，你准备如何去体现？ 问题2 你怎样推导等比数列的通项公式？其中体现何种思维方式，你准备如何去体现？ 例2 （03 高考） 已知数列 ，满足 ， 。 （I）求 ， ；（II）求通项公式并证明之。 例3 思考问题 n个平面最多把空间分为几个部分？ 第十节 反例反驳思维方式 用反例进行反驳在现实中很多，这样往往给人以印象深刻，出人意料的作用。比如，有人问“2－1等于多少”，你回答说1，那么我可以举一个反例来反驳你：如果树上两中鸟，一声枪响，那么还剩几只？一般情况下，当然是没有了，似乎就构成了一个2－1＝0的例子；这时你要反驳的话，同样可以举一个反例，假如另外一只鸟儿是聋子，那么就还是剩下一只。如果问“1＋1等于几？”，你同样可以举出“一群羊加一群要等于一群羊”的反例。 象这样生活中用反例来反驳的幽默的例子非常多，这些例子可能还算不上数学上的反例，不过思想是一致的。数学中的反例是针对特定和确定的数学对象，并在严密的逻辑关系下来讨论的。反例反驳的思维方式是一种重要的思维方式。 英国数学家B.R.盖尔鲍姆和J.M.H.奥姆斯特德在《分析中的反例》一书中指出：“数学由两大类——证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例。”英国著名数学史家的博士论文则直接是《证明与反驳——数学发现的逻辑》，这已经成为世界名著。 数学中的反例反驳思维方式可以广泛地包括：反例与特例，反驳、反设、反证、证伪，极端原理，补集方法、逆向思维、发散思维、悖向思维等这些方法已经在中学数学解题中广泛运用。作为数学猜想、数学证明、数学解题的补充和思维工具，这种思维方式值得从教育角度深入挖掘。 一 数学史上著名的反例例子 1 费马猜想： 是质数 2 梅森素数： 是质数 3 维尔斯特拉斯 ，其中b为奇整数， ，且 。 二 中学数学中的例子 例1 原函数 与反函数 ，如果他们的图像有交点，那么交点一定在 上。 例2 已知两平面内分别有一条直线，两直线垂直，那么这两个平面垂直。 例3 有三内角是直角的空间四边形是矩形。 例4 用一个平面去截割一个正四面体，使其分成的两个几何体形状相同，体积相等。则这样的平面有（ ） A 3个 B 6个 C 9个 D 无穷多个 第四章 数学问题解决的思维策略 问题是数学的心脏——哈尔莫斯 数学的发展过程就是不断突出问题、分析和解决问题并不断引申、推广问题的过程。因此，研究问题解决与数学思维的关系是数学方法论中的一个基本问题。 第一节 问题解决与神经学思维 一 数学问题解决的历史与今天 二 对数学问题的理解 例子：有三堆足够多的颜色分别为红、黄、兰的袜子，若从其中抽出袜子进行配对（颜色相同的为一对）问，至少需要多少只袜子才能保证有十双袜子？ 三 数学思维策略的含义 例子： 1 你如何从10个苹果中数出9个来？ 2 吃沙拉如何付款？ 第二节 模式识别 一 有关模式把的含义 二 模式识别在中学数学中的运用 1 建构学生的知识组块 例1 射影定理的模型 例2 相交弦的模型 例3 设P是△ABC内的一点，P点到三角形三边BC、CA、AB的距离分别为m、n、p，求出时 的最小值，及其此时P点的位置。（IMO－22，1981） 第三节 变换映射 一 有关理解 二 例子 例1 解方程 例2 设a、b、c是△ABC三边，求证： 。（IMO－24，1983）（参见《竞赛专题研究》P96）。 第四节 差异消减 一 有关理解 二 有关例子 例1 面积推广，不等化等 例2 已知数列 是等差数列，且 ， ，求使得 最小的n值。 例3 已知△ABC及其外接圆，P、Q、R分别是BC、CA、AB弧的中点，PR交AB于D，PQ交AC于E，求证：DE∥BC。 第五节 数形结合 一 有关理解 问题：在中学数学中哪些地方体现了数形结合的思想？ 二 有关例子 例1 已知复数z满足 ，又 ，求 的最大值与最小值。 例2 C是⊙O直径上的任意一点，D为圆上一定点，从点C作切于点D的切线的垂线CE。求证： 。 例3 已知a>0，且 ，求 的最大值。 总之：函数与图像，解析几何，复数，向量运算，线性规划……等数形结合用的多。 第六节 进退互用 一有关理解 二有关例子 例1 在直角△ABC中，c是斜边，求证： 。 例2 求证：任何整数可表示为5个整数的立方和的形式。 第七节 分合相辅 一 有关理解 二 有关例子 例1 试证对任意自然数n，必有 。 例2 给定顶点为S的正四棱锥S－ABCD，过点A、B及棱SD的中点E作一平面，求这个平面将棱锥分成的两个部分的体积之比。 例3 今有1元币1张，2元币1张，5元币1张，10元币5张，50元币2张，问共可组成多少种不同款额的币值？ 第八节 动静转换 一 有关理解 二 有关例子 例1 已知正△ABC内有一点P，P到三顶点的距离分别是a、b、c，求△ABC的面积。 例2 已知椭圆长轴为2a，短轴为2b，椭圆在直角坐标系第一象限运动，保持它始终与两坐标轴相切。试求椭圆中心的轨迹。 例3 等腰直角△ABC，AB＝BC＝a，A、B分别在x、y轴上，求OC的最大值和最小值。 第九节 正反沟通 一 有关理解 二 有关例子 例1 求方程 易知 ，从最里面的根号开始，分别设每个根号内的数分别为： ，则 ， ，……， ， ，得 ，在分析x与 的关系。 例2 证明：平面上不存在整数格点的正三角形。 反证法 思路1 利用一个顶点在原点，然后利用另外两个顶点的坐标关系推出矛盾； 理路2 利用两条边的斜率，然后求交角的正切； 理路3 利用面积关系。 例3 二次方程 有两个虚根，求 的值。 第十节 引辅增设 一 有关理解 二 有关例题 例1 求证： ，则 （见第三章第八节“相似类比思维模式”） 例2 已知面积为32平米的平面凸四边形中的一组对边与一条对角线长的和为16，试确定另一条对角线的所有可能的长度。（见《竞赛专题研究》P21例16） 例3 外森伯克的加强不等式： 。（见《竞赛专题研究》P104第5题） 第十一节 以美启真 一 有关理解 二 有关例题 例 三角形的外接圆和内切圆的关系的引申 第五章 数学思维教育问题选析 第一节 数学教学过程思维设计的案例分析 数学教学是数学思维活动教学。如何促进学生通过数学思维活动来获取数学知识，增进数学能力是数学教学的中心任务。在设计数学教学时，教师应该学生在学习数学知识时，常常需要进行精心的教学设计，推动学生思维活动，达到培养学生数学能力的目的。下面我们通过案例来对此进行探讨。 案例：球的体积公式的推导 【教材素材】 1 球的体积公式推导，基本思想是应用祖暅原理，给出半球体积计算的参照体，得出的球的体积公式。 2 球的体积公式的应用。包括一 道例题和两个练习。 参照图： 图 1 推导过程（略） 【教学设计】 教学过程（环节） 设计思路说明 1 提出问题：如何求出球的体积 问题引起思维活动 2 分析等底、等高的圆锥、半球、圆柱之间的体积大小关系 设计问题情景，通过观察进行类比（相似性） 3 引导学生进行猜想 由类比推向猜想，发现数量关系 4 通过实验验证才行 通过实验验证，强化感性认识 5 构造参照体，应用祖暅原理证明猜想 变给出证明为构造模型，突出思维模型 6 记忆公式，新旧联系，进行数学美的教育 通过理解记忆，加强新旧联系，领会数学的和谐美 7 讲解例题，巩固练习，布置作业 一个7个环节是设计思路，具体操作过程如下： 【教学过程】 1 已知球的半径为R，怎样求出球的体积？（提示：联想已有知识：柱、锥、台、拟柱体的体积公式，祖暅原理等；将问题转化为求半球体积问题的思考） 2 为了求出半球体积，需要化未知为已知，练习形状类似或相近的已知几何体。观察等底等高的圆锥与圆柱（如图）。 图 2 通过类比，得出上述三个体积之间的大小关系： 具体数量关系为： 猜想出： 。 4 猜想是否正确呢？为了验证，我们做一个实验，将三个立体做成容器，装入细纱，可以验证。 5 如何证明这一结论呢？ 将容器拼成如图1，则启发我们用祖暅原理来解决，为什么呢？ 应用祖暅原理的两个条件： 第一，参照体的计算公式是已知的； 第二，两个几何体夹在两个两个平行平面之间，上、下底面年角恰好分别相等。 如果能够证明等距截面面积相等，则问题就解决了。 6 通过前后联系，有以下集中记忆方法： （1） （2） （3）可以看成拟柱体的特例： （4）可以看成无数顶点是球心的小锥体体积之和，所有锥体的高可以看成是半径，底面积之和就是球的表面积，于是 7 例题、练习与作业 【分析】 本案例是将教材内容的两个基本环节，补充扩展为7个环节。补充的环节正是将形成数学知识背后的思维过程给挖掘出来了。具体地说，环节1－4体现了思维外感过程，环节5－6体现了思维的类还过程，环节6体现了数学形式的和谐美，无限和有限的辩证转化关系。最后环节7是思维的再次外化，使学生在掌握球的体积公式以及应用方面等得到巩固，发展学生稳定的认识结构，从而实现教学目标。 整个过程学生需要运用模型化、空间想象、无穷分析、相似类比、数觉审美等思维方式，表现了数学形象、数学直觉、数学猜想等数学思维形式，从而培养了学生在解决问题时进行观察、类比、猜想、分析、构造和论证等数学能力。 第二节 数学直觉思维的培养 数学直觉思维是一种敏锐快速的综合思维，既需要知识组块和逻辑推理的支持，也需要形象、经验和似真推理的推动。培养数学直觉的重点是重视数学直觉。我们可以从以下几个方面来培养数学直觉： 第一，重视数学基本问题和基本方法的掌握和应用，以形成丰富的数学知识组块。 知识组块是由数学中的基本知识，如定义、定理、公式、法则等，集中于一些基本问题、典型题型或者方法模式中所形成的认知思维结构。比如，一系列问题的解决往往可以归结成一个或几个基本问题，化归为某类型典型例题或者运用某种方法模式。 例1 张角定理及其运用 定理 思考：本定理反映了哪些特征？ 应用 1 正五边形ABCDE中，AC交BE于F，求证：AC＝AB＋BF。 2 △ABC中，∠A的平分线AD，求证： 。 3 Menelaus定理 4 已知四边形ABCD的两组对边分别交于K和L，对角线AC、BD的延长线分别交KL所在直线G、F，求证： 、 、 成等差数列。 第二，强调数形结合，发展几何思维与类几何思维。 数学形象直感是数学直觉思维的源泉之一，而数学形象直感是一种几何直觉或空间观念的表现。对于几何问题要培养几何自身的变换、变形的直感感受能力。对于非几何问题则要用几何眼光去审视分析就能逐步过渡到类几何思维。 例如：等式 用代表什么样的几何意义？ 函数 的几何含义？ 象这样用数形结合的方式观察和分析数学问题，直观得出结论的数觉思维就会得到良好的发展。 第三，重视整体分析，提出块状思维。 在解决数学问题时要学会从宏观上进行整体分析，抓住问题的框架结构和本质关系，从思维策略的角度确定解题的入手方向或总体思路。在整体分析的基础上，联系相应的基础知识和有关经验，能够熟练地变更和化归问题，分析和辨认组成问题的知识集成块，培养思维跳跃的能力。在练习中注意方法的探求、思路的寻找和类型的识别，简缩逻辑推理过程，迅速作出直觉判断的洞察能力。 美国数学教育家G.波利亚在著名的“怎样解题标”中已经提出了许多与知识组块思想关联的启发性问题。比如“与此有关的问题是什么”、“相同的问题而形式稍有不同而更熟悉的问题”、“用不同的方法重新叙述这个问题”、“更容易着手的有关问题”、“更普遍的问题”、“更特殊的问题”、“类比的问题”等。 例2 任给7个实数，求证：其中至少有两数x、y满足关系： 例3 I为△ABC内心，AI、BI、CI的延长线分别交△ABC的外接圆于D、E、F，求证： 。 第四，鼓励大胆猜测，养成善于猜想的数学思维习惯。 猜想也是一种合情推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成，猜想有利于解题思路的形成。数学猜想是有一定规律的，并且要以数学知识和经验为支柱。培养敢于猜想、善于探索的思维习惯是形成数学直觉、发展数学思维、获得数学发现的重要因素。因此，数学教学中既要强调思维的严密性、结果的正确性，也不应忽视思维的探索性和发现性，即应重视数学直觉猜想的合理性和必要性。 例4 已知射线OP于OQ之间的夹角为 ，且 ,若在OP、OQ上分别有动点B、C满足关系式 （k为正常数），求证：线段BC必通过一定点D。 第三节 数学发散思维的培养 发散思维又称求异思维，指对已知信息进行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题、探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式。它的特点是思路广阔，寻求变异，对已知信息通过转换或改造进行扩散派生以形成各种新信息。含山思维在思维方向上具有逆向性、侧向性（或横向性）和多向性。在思维内容上具有变通性和开放性。它对推广原问题、引申旧知识、发行新方法等具有积极的开拓作用，因此发散思维多为创造能力的体现。 逆向思维是发散思维的一种重要形式。它是从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题。如，逆向用公式、定理、定义等；逆向推理；反向证明。逆向思维反映了思维过程的间断性、突变性和反联结性。它是摆脱思维定时、突破就有思维框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式。 侧向思维（又称横向思维）是发散思维的另一种形式。它是从知识之间的横向相似练习出发，即从数学的不同分支，如代数，几何，三角或分析之间的关系去考察对象，或者从不同学科，如物理学、生物学等有关原理或规律出发去模拟、仿造或分析问题的思维方式。侧向思维利用了事物之间的相似性。它要求不同分支或不同学科的知识与方法交叉起来，用其它领域的知识与方法来解决本领域的问题。从侧向或横向的练习中得到启发，从而具有发现知识或方法的开放性，以及解决问题的灵活性。 多向思维是发散思维的典型形式。它是从尽可能多的角度来考察同一问题或对象，使思维不局限于一种模式或一个方面，从而获得多种解答或多种结果的思维方式。中学数学中的多向思维在解决问题中具有三种基本形式：即“一题多解”，“一法多用”，“一题多变”。在教学中常常通过对这些问题特点分析，生成“解法链”或“命题链”，通过“一题多问”的方式来展开。 三种发散思维过程均包含了两个基本环节：发散对象（或发散点）和发散方式。发散对象是多方面的，如：对数学概念的拓广，对数学命题的推广与引申（其中又可分为对条件、结论或关系的发散），对方法(解题方法、证明方法)的发散运用等。 例1 已知双曲线的两个焦点 ， ，且与双曲线与y轴相切，求双曲线方程。 例2 长、短轴分别在x、y轴上的椭圆经过点 ，且与直线 ，相切，求此椭圆的方程。 例3 求方程 在 内的实数根。 例4 下面一组发散引出的命题链（问题链）： （一）条件不变，而对结论及解题方法进行发散 平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，那么 （1）这n条直线相互分割成多少段？（ ） （2）有多少个交点？（ ） （3）把平面分割成几个部分？（ ） （二）条件发散 （1）平面内有n个圆两两相交，任何三圆不过同一点，则交点个数为多少？（ ），平面改为球面呢？ （2）空间中n个平面，其中任两个不平行，任三个不过同一直线，任四个不过同一点，则交点数学为（ ）；交线数为（ ）；把空间划分为（ ） （3）平面内有n(n>2)条直线，其中 条相互平行，任三条不过同一点，则交点数为（ ） （4）平面内有n(n>2)条直线，任意两条不平行，其中 条过同一点，二其余各条均无三线过同一点，则交点数为（ ） （5）平面内有n(n>2)条直线，任意两条不平行，且有 相交于 ，有 相交于 ，……有 相交于 ，其中 ，则这k条线束的交点总数为（ ） 集中思维和发散思维在数学思维过程中是紧密练习、交替使用的。就解决数学问题而言，总体的目标是寻求最佳答案，这是集中的，但就思维过程的局部而言，主题需要运用题目的条件和结论给出的信息进行广泛的联想，这是发散。 …… 第四节 数学猜想思维的培养 数学猜想是指依据已知的数学知识和已知事实，对数学的未知量及其关系作出的猜测和判断。 数学猜想不是随意的猜测，而是以知识和事实为基础，在科学方法、逻辑思维方法和数学经验的指导下，通过形象直觉方式对尚未证实和证明的结论进行大胆而又合理的判断，表现了人丰富的想象力和深邃的洞察力。 在数学的历史长河中，数学猜想对数学的发展起到了重要的作用。一些重要的猜想引导了数学的前进。尽管有些猜想被证明是假的，有些猜想仍未被证明，但是在探讨的过程中，数学家们创造了大量的数学方法和数学成果。 数学猜想在数学教育中也是一种重要的探索性思维方式。尽管数学教育中运用数学猜想得到的结论未必是原创性结论，但是它对于培养学生的探索性思维，启发解题思路，仍然具有重要的作用。 一 数学猜想的方法 一般来说，有以下几种数学方法。 第一，通过不完全归纳提出猜想，从一些特殊的事实归纳推测一般的结论。这种方式在初等数学中仍然大量存在，如数列问题中，我们常常通过一些特殊项来推测数列的通项；在判断一般性结论时，我们常常可以通过特殊值和特殊位置来验证。 第二，由相似类比提出猜想。比如，由三角形的性质推测三面角的性质等。 第三，通过强化和减弱定理的条件提出猜想。 第四，通过逆向思维和悖向思维提出猜想，即从反方向上提出一些新的认识。比如，负数、无理数和虚数的建构都需要逆向思维，在批判和矛盾中来肯定。 第五，通过观察和经验概括，模型模拟，直观想象，审美直觉等途径提出猜想。比如，扩大平面的建立，就是要把平行的情形和相交的情形统一起来，由此引申出原有的不对称关系变得对称起来。 二 如何证明或否定猜想 第一，反例法。一个结论只需要一个反例即可证明其不真。比如，费马猜想。 第二，逐次逼近法。歌德巴赫猜想的证明途径就是典型。 第三，命题转化法。如第五公设的转化。 第四，反证法。比如，猜想素数有无穷多个。 三 如何教猜想 第一，老师要有猜想意识，在数学教学中经常要以启发的方式探究数学概念，形成数学解题思路和发现数学结论。当然，在思维活动的发展过程中，要体现数学思维特点和基本形式，综合运用各种数学思维方式和思维策略来解决问题，思考问题。 第二，教师要教会学生进行数学猜想的基本方法。这些方法应该自然渗透和贯穿在数学学习过程中，而不是教条式地生搬硬套方法。 第三，适时、适当地把数学史上数学猜想的典型例子与数学教学相结合，激发学生数学猜想的兴趣和欲望。 第四，把数学猜想贯穿于数学教学的整个过程，从大处着眼，小处下手，不同程度地进行直觉猜想。比如，在解决数学选择题、填空题等小问题中体验观察、估算、逼近、类比、归纳、特殊化、极端化、反例、反证、直观想象和直觉判断解决问题。 第五，在教学内容安排上，可以适当补充一些数学开放性题目，通过变换条件或结论来培养学生具体的猜想技巧，使学生获得自己的解题猜想经验。 第五节 数学创造性思维的培养 创造性思维与它的结果，即发现、发明或创造，是人类智慧的花朵和文明结晶。所谓创造，一般是指发现新事物、揭示新规律、获得新成果、建立新方法、发明新技术、研制新产品、做出新成绩或解决新问题等。因此创造设计的范围非常广泛。一般说来，只要思维的结果具有创新性质，则它的思维过程就是创造性思维。 创新有两种不同的层次。 第一层次是指相对于人类认识史第一次产生的、前所未有的，具有社会价值或社会意义的思维活动。 第二层次，是指相对于思维主体（个体）而言，具有一定自身价值或认识意义的新颖独特的思维活动。这种创造通常称为“再创造”。 当然个体的再创造活动是创造思维的基础，通过再创造式的结论才可能产生真正的创造。因此，教育中的创造一般是指再创造活动。这种创造活动在教学活动中运用领域非常广泛。 比如，“鸡兔同笼”问题。 创造性思维是人类最高层次的思维活动，它的产生是多因素、多变量、多层次的交互作用促成的。因此，创造性思维的实质是合理、协调地运用逻辑思维、形象思维以及直觉思维等多种思维方式，使有关信息有序化以产生积极的效果或成果。就其产生过程的结构而言，有4个环节，即创造诱因、信息储备、序化方式和创造结果。 数学中的创造性思维是在丰富扎实的数学知识与经验的基础上，灵活运用数学思维方式与方法，特别是发散思维、猜想思维和直觉审美思维等，同时富于科学发现激情和执着的探索钻研精神，善于提出新问题等活动中产生。 培养学生的创造性思维可以从下列三个方面入手： 1 启发创造诱因。 2 储存丰富的数学知识和经验，促进其系统化、条理化，并吸收其它学科的知识。 3 充分重视形象思维、发散思维和直觉思维以及猜想思维的培养，并注意各种思维方式的辩证运用。 第六节 提出数学问题能力的培养 一 问题的含义与价值 二 数学问题的几种形式 1 性质链 2 推广链 3 引申链 4 综合链 原象关系R 映射关系R’ 映射M 求得原象x 求得映像x’ E 反演I＝M-1 一定要努力学习 定要努力学习 要努力学习 努力学习 力学习 学习 习 例6图 �下面几种观点均转引自：任樟辉. 数学思维论[M]. 南宁:广西教育出版社,1996：8 � 李怀春等. 现代思维方式与领导活动[M]. 北京：求实出版社，1987：93 � 钱学森主编. 关于思维科学[C]. 上海：上海人民出版社，1986：129，143 � 钱学森，陈信. 人体科学是现代科学技术体系中的一个大部门[J]. 自然杂志，1988（5） � 胡寄南. 人的意识和意识活动的产物[C]. 胡寄南心理学文选[A]. 北京：学林出版社,1985:9 � 王南. 论形象思维的普遍性[A]. 钱学森主编. 关于思维科学[C]. 上海：上海人民出版社，1986：115 �参见：郑毓信，肖柏荣，熊萍.数学教育思维与数学方法论[M]. 成都：四川教育出版社，2001：9～19 �任樟辉. 数学思维理论[M]. 南宁:广西教育出版社,2001：2 � 这是荷兰著名数学教育家提出的一个数学教育中关于学生数学活动的概念，是指在学生数学学习过程是一个不断组织不同层次的数学经验的过程，每一个层次都是在上一个层次不断的组织过程中发展的，这个过程就是一个再创造的过程。参见：[荷兰]弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学[M]. 上海：上海教育出版社，1995：102，第六章《再创造》。 � 可参见：郑毓信，肖柏荣，熊萍.数学教育思维与数学方法论[M]. 成都：四川教育出版社，2001：208～350，第四章《数学概念的生成、分析与组织》；第五章《概念学习过程中的思维活动》。 � 关于函数概念的8次扩张，可以参见：徐品方，张红，宁锐. 中学数学简史[M]. 北京：科学出版社，2007：241～249，第六节 函数概念的产生与发展. � 以下主要参考：王林全主编. 中学数学思想方法概[M]. 广州：暨南大学出版社，2005：169～183，第二节《形式逻辑方法与辩证逻辑方法》. � 数学逻辑基础有关知识可参见：翁凯庆主编. 数学教育概论[M]. 成都：四川大学出版社，2007：139～166，第6章《逻辑基础与数学教学》. � 关于一个5岁女孩由此的格式塔式的思维活动研究例子，请参见郑毓信等《数学思维与数学方法论》P126－128。 � 本案例是以传统教材为基础，由特级教师马明设计（有所改编）。 PAGE 4 _1268118669.unknown _1268459082.unknown _1269634059.unknown _1270234982.unknown _1270272698.unknown _1270273977.unknown _1270274266.unknown _1270274335.unknown _1270274362.unknown 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