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专题十三 导数与微分导数与微分知识拓展(一)

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专题十三 导数与微分导数与微分知识拓展(一) 学科:数学 教学内容:导数与微分知识拓展(一) 【知识拓展】 1.若函数y=f(x)是由参数方程所确定的,该怎样求它的导数? 前面我们讨论了显函数和隐函数的导数,但在某些情况下,因变量y与自变量x的关系是通过另一参变量t由参数方程 和 来给出的,对于这类函数,有时可以把它很简单地表示成显函数的形式,但有时就比较麻烦甚至不可能.因此,我们有必要找出这类函数的求导方法. 设 的反函数 ,并设它满足反函数求导的条件,于是可把y看作复合函数. 由复合函数与反函数的求导法则,得 思...

专题十三 导数与微分导数与微分知识拓展(一)
学科:数学 教学内容:导数与微分知识拓展(一) 【知识拓展】 1.若函数y=f(x)是由参数方程所确定的,该怎样求它的导数? 前面我们讨论了显函数和隐函数的导数,但在某些情况下,因变量y与自变量x的关系是通过另一参变量t由参数方程 和 来给出的,对于这类函数,有时可以把它很简单地表示成显函数的形式,但有时就比较麻烦甚至不可能.因此,我们有必要找出这类函数的求导方法. 设 的反函数 ,并设它满足反函数求导的条件,于是可把y看作复合函数. 由复合函数与反函数的求导法则,得 思路启迪 根据二阶导数的定义 因此要求 只要把y对x的导数 求出来,再将 与x=t-1联系,重复利用参数方程求导公式,求出 对x的导数,即 也即是我们要求y对x的二阶导数 如果函数y=f(x)是由极坐标方程γ=γ(θ)给出来的,则可把极坐标方程先化成参数方程,再求导数. 即x=γ(θ)cosθ,y=γ(θ)sinθ,从而 2.什么是罗尔定理? 我们先考察一个函数 ,容易验证这个函数满足: (Ⅰ)在闭区间[-1,1]上连续. (Ⅱ)在开区间(-1,1)内可导. (Ⅲ)f(-1)=f(1)=1. 这个函数的导数 得x=0∈(-1,1)即在开区间(-1,1)内存在点x=使得 (如图3-14). 一般地,我们有(即罗尔定理). 若函数f(x)满足条件(Ⅰ)在闭区间[a,b]上连续;(Ⅱ)在开区间(a,b)内可导;(Ⅲ)在区间[a,b]的两个端点的函数值相等,即f(a)=f(b),则至少存在一点 使得 罗尔定理的几何意义是:两个端点的纵坐标相等的处处存在切线(端点除外)的连续曲线y=f(x)上,至少有一点 的切线是水平的.如图3-15. 显然f(x)满足罗尔定理的三个条件,其中a=-1,b=3.存在点ξ=1∈(-1,3),使 即符合罗尔定理的结论. 3.什么是拉格朗日中值定理? 在罗尔定理的几何意义中,可以看出在罗尔定理的条件下,曲线上至少有一条切线是水平的,这时曲线的两个端点的连线也是水平的(f(a)=f(b)),因此也可以说成是至少有一点处的切线平行于两个端的连线.这个结论可以推广到更一般的情况,即有下面更一般的结论(即拉格朗日中值定理). 若函数f(x)满足:(Ⅰ)在闭区间[a,b]上连续;(Ⅱ)在开区间(a,b)内可导;则至少存在一点ξ∈(a,b),使 容易验证,F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点ξ∈(a,b),使 拉格朗日中值定理的几何意义是:处处存在切线(两个端点除外)的连续曲线y=f(x)上,至少有一条切线平行于两个端点的连线(如图3—16). 在拉格朗日定理的证明中,采用的方法是先作出一个辅助函数,故这种方法也称辅助函数法.辅助函数法也称为构造法.它是数学分析中一种重要的证题方法,这种方法的基本思想是先构造一个与欲证结果有关的辅助函数,然后再由已知条件、概念和定理,推断所要证明的结论的正确性. 拉格朗日定理是应用最广泛的微分中值定理,也是微分学中最重要的定理之一,它的结论常称为拉格朗日中值公式.为运用方便,可把这个公式写成下列几种形式. 对于这些公式要灵活运用,比如:①不必局限于a 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 证法 任取 ,不妨设 ,因为f(x)在(a,b)内可导,从而f(x)在 上连续,在 内可导,由微分中值定理,至少存在一点 ,使得 即函数f(x)在(a,b)内是一个常数. 利用拉格朗日定理可以证明不等式,常用的步骤为: (1)选择适当的函数f(x)及相应区间[a,b]. (2)验证条件,应用拉格朗日定理得 例2 设f(x)在[0,c]上定义, 存在且单调递减,f(0)=0.证明:对于0≤a≤b≤a+b≤c,恒有f(a+b)≤f(a)+f(b). 思路启迪 对函数f(x)在区间[0,a]与[b,a+b]上分别应用拉格朗日中值定理,再结合 的单调递减性即可证得. 规范证法 (1)若a=0时显然成立. (2)若a>0时, 再由f(x)在[b,a+b]上应用拉格朗日定理得 因 单调递减,故对ξ
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