学科:数学
教学内容:导数与微分知识拓展(一)
【知识拓展】
1.若函数y=f(x)是由参数方程所确定的,该怎样求它的导数?
前面我们讨论了显函数和隐函数的导数,但在某些情况下,因变量y与自变量x的关系是通过另一参变量t由参数方程
和
来给出的,对于这类函数,有时可以把它很简单地表示成显函数的形式,但有时就比较麻烦甚至不可能.因此,我们有必要找出这类函数的求导方法.
设
的反函数
,并设它满足反函数求导的条件,于是可把y看作复合函数.
由复合函数与反函数的求导法则,得
思路启迪 根据二阶导数的定义
因此要求
只要把y对x的导数
求出来,再将
与x=t-1联系,重复利用参数方程求导公式,求出
对x的导数,即
也即是我们要求y对x的二阶导数
如果函数y=f(x)是由极坐标方程γ=γ(θ)给出来的,则可把极坐标方程先化成参数方程,再求导数.
即x=γ(θ)cosθ,y=γ(θ)sinθ,从而
2.什么是罗尔定理?
我们先考察一个函数
,容易验证这个函数满足:
(Ⅰ)在闭区间[-1,1]上连续.
(Ⅱ)在开区间(-1,1)内可导.
(Ⅲ)f(-1)=f(1)=1.
这个函数的导数
得x=0∈(-1,1)即在开区间(-1,1)内存在点x=使得
(如图3-14).
一般地,我们有(即罗尔定理).
若函数f(x)满足条件(Ⅰ)在闭区间[a,b]上连续;(Ⅱ)在开区间(a,b)内可导;(Ⅲ)在区间[a,b]的两个端点的函数值相等,即f(a)=f(b),则至少存在一点
使得
罗尔定理的几何意义是:两个端点的纵坐标相等的处处存在切线(端点除外)的连续曲线y=f(x)上,至少有一点
的切线是水平的.如图3-15.
显然f(x)满足罗尔定理的三个条件,其中a=-1,b=3.存在点ξ=1∈(-1,3),使
即符合罗尔定理的结论.
3.什么是拉格朗日中值定理?
在罗尔定理的几何意义中,可以看出在罗尔定理的条件下,曲线上至少有一条切线是水平的,这时曲线的两个端点的连线也是水平的(f(a)=f(b)),因此也可以说成是至少有一点处的切线平行于两个端的连线.这个结论可以推广到更一般的情况,即有下面更一般的结论(即拉格朗日中值定理).
若函数f(x)满足:(Ⅰ)在闭区间[a,b]上连续;(Ⅱ)在开区间(a,b)内可导;则至少存在一点ξ∈(a,b),使
容易验证,F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点ξ∈(a,b),使
拉格朗日中值定理的几何意义是:处处存在切线(两个端点除外)的连续曲线y=f(x)上,至少有一条切线平行于两个端点的连线(如图3—16).
在拉格朗日定理的证明中,采用的方法是先作出一个辅助函数,故这种方法也称辅助函数法.辅助函数法也称为构造法.它是数学分析中一种重要的证题方法,这种方法的基本思想是先构造一个与欲证结果有关的辅助函数,然后再由已知条件、概念和定理,推断所要证明的结论的正确性.
拉格朗日定理是应用最广泛的微分中值定理,也是微分学中最重要的定理之一,它的结论常称为拉格朗日中值公式.为运用方便,可把这个公式写成下列几种形式.
对于这些公式要灵活运用,比如:①不必局限于a
规范
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证法 任取
,不妨设
,因为f(x)在(a,b)内可导,从而f(x)在
上连续,在
内可导,由微分中值定理,至少存在一点
,使得
即函数f(x)在(a,b)内是一个常数.
利用拉格朗日定理可以证明不等式,常用的步骤为:
(1)选择适当的函数f(x)及相应区间[a,b].
(2)验证条件,应用拉格朗日定理得
例2 设f(x)在[0,c]上定义,
存在且单调递减,f(0)=0.证明:对于0≤a≤b≤a+b≤c,恒有f(a+b)≤f(a)+f(b).
思路启迪 对函数f(x)在区间[0,a]与[b,a+b]上分别应用拉格朗日中值定理,再结合
的单调递减性即可证得.
规范证法 (1)若a=0时显然成立.
(2)若a>0时,
再由f(x)在[b,a+b]上应用拉格朗日定理得
因
单调递减,故对ξ
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