《工程高等代数》习题解答7第七章线性空间与线性变换习题解答

习 题 七 A 组 1．填空题 （1）向量组 生成的向量空间的维数是　　　　． 解　 ． （2）设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为 ，则它的维数是　　　　． 　解　 ． （3）次数不超过 的多项式的全体构成线性空间 ，其中的元素 在基 下的坐标是　　　　． 　　　　解 ． 　（4）设 是向量空间 的一个基，则向量 在该基下的坐标是　　　　． 　　解 ． 　（5）二维向量空间 中从基 到另一个基 的过渡矩阵是　　　　． 解 ． 　（6）三维向量空间中的线性变换 在标准基 ， ， 下对应的矩阵是　　　　． 解 ． 2. 选择题 （1）下列说法中正确的是　　　　． （A）任何线性空间中一定含有零向量； （B）由 个向量生成的子空间一定是 维的； （C）次数为 的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间； （D）在 维向量空间 中，所有分量等于 的全体向量的集合构成 的子空间． （2）下列说法中错误的是　　　　． （A）若向量空间 中任何向量都可以由向量组 线性表示，则 是 的一个基； （B）若 维向量空间 中任何向量都可以由向量组 线性表示，则 是 的一个基； （C）若 维向量空间 中任何向量都可以由向量组 线性表示，则 不是 的一个基； （D） 维向量空间 的任一个基必定含有 个向量． （3） 下列 维向量的集合中，　　　　是 的子空间． 　（A） ； 　（B） ； 　（C） ； （D） . （4）在 中，下列向量集合构成子空间的是　　　　． （A） 组成的集合； （B） 组成的集合； （C）所有形如 的向量组成的集合； （D）满足 的所有 组成的集合． （5） 的下列变换　　　　不是线性变换． （A） ； （B） ， 是实数； （C） ； （D） ． 解 （1）A; （2）A; （3）C; （4）B；（5）C． 3．验证： （1）主对角线上元素之和等于 的 阶矩阵的全体 ； （2） 阶对称矩阵的全体 ， 对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基． 解　(1)任取 ， ， 其中 表示任意实数，则对于任意的 ，有线性运算的封闭性成立： ． 的一个基是 ． (2)任取 ，对于任意的 ，都满足运算成立： ． 的一个基是 ． 　　4．验证：与向量 不平行的全体 维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间． 证明　与向量 不平行的全体 维数组向量的集合记作 ， ，但 ，所以 不是线性空间． 　　5．设 是线性空间 的一个子空间，证明：若 与 的维数相等，则 EMBED Equation.DSMT4 ． 　　证明　设 是 的一个基，因为 ，所以 ．对于任意的 ，必定可被 线性表示，否则与“ 与 的维数相等”矛盾．由 的任意性知 ，从而 EMBED Equation.DSMT4 ． 6. 判断 的下列子集是否构成子空间，说明理由． (1) ； (2) ． 解 (1)不构成．由于 　但　 ， 即 对矩阵加法不封闭． (2) 构成．任取 ， 有 ， ． 于是 ， ． 对任意 ， ， ，所以 ． 对矩阵加法和数乘运算封闭，所以 构成子空间． 7. 判断 的下列子集是否构成子空间，说明理由． （1）由所有行列式为零的矩阵所组成的集合 ； （2）由所有满足 的矩阵组成的集合 ． 解　(1) 不构成．取 EMBED Equation.DSMT4 ， ，但是 因此 ，加法不封闭． (2) 不构成．取单位矩阵 ， ， ，但 ，所以 ，数乘不封闭． 　　8. 在 中求向量 在基 下的坐标． 　　解　设所求坐标为 ，则 ， 解得 ． 　　9． 中两个基为 ； ， 求由基 到基 的过渡矩阵． 　　解　设 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ． 　　10．在 中，取两个基 ； ， 　　（1）求由基 到基 的过渡矩阵； 　　（2）已知由基 到基 的过渡矩阵为 ，求 ； 　　（3）已知 在基 下的坐标为 ，求 在基 下的坐标． 解　（1）因为 ，所以基 到基 的过渡矩阵为 ． 　　（2）由于 ，故 ． 　　（3）设 在基 下的坐标为 ，则有 ，又　 ， 从而 ． 11．在 中取两个基 　　（1）求前一个基到后一个基的过渡矩阵； 　　（2）求向量 在后一个基下的坐标； 　　（3）求在两个基下有相同坐标的向量．　 解　(1) 因为 ，所以前一个基到后一个基的过渡矩阵为 ． (2) 设向量 在后一个基下的坐标为 ，则 ， 所以， EMBED Equation.DSMT4 ． (3) 设向量 在两个基下有相同的坐标，则 ， ， 所以 ，解得 ． 12．说明 平面上变换 的几何意义，其中 　　(1) ；　　 (2) ； 　　(3) ；　　　 　(4) ． 解　(1) ，关于 轴对称； (2) ，投影到 轴； (3) ，关于直线 对称； (4) ，顺时针旋转 ． 13． 阶对称矩阵的全体 对于矩阵的线性运算构成一个 维线性空间．给定 阶矩阵 ，以 表示 中的任一元素，变换 称为合同变换．证明合同变换 是 中的线性变换． 证明　设 ， ，则 ，所以 ， ．从而 与 是对称矩阵．又因为 ， ， 所以 是 中的线性变换． 　　14．设 中 是一个基，且线性变换 在此基下的矩阵为 ， 　　（1）证明 也是 的一个基； 　　（2）求线性变换 在此基下的矩阵． 证明 （1）令 ，可解得 ， ， 这说明了 和 可以相互线性表示，从而它们等价，所以 是 的一个基． （2）设线性变换 在基 下的矩阵是 ，并设从基 到基 的过渡矩阵是 ，则 ，由条件知 ，得 ，从而 ． 15．函数集合 对于函数的线性运算构成三维线性空间．在 中取一个基 ，求微分运算 在这个基下的矩阵． 　　解　因为 ， ， ， 所以微分运算 在这个基下的矩阵为 ． 16．二阶对称矩阵的全体 对于矩阵的线性运算构成三维线性空间．在 中取一个基 ，在 中定义合同变换 ， 求 在基 下的矩阵． 解　因为 ， ， ， ， 所以 在基 下的矩阵为 ． 17．设 是一个正定矩阵，向量 ．在 中定义内积 为 ．证明在这个定义之下， 是一个Euclid空间． 　　证明　按定义证明满足以下四条性质即可． 　　（1）对称性 ． 　　（2）线性加性 ． 　　（3）线性齐性 ． 　　（4）非负性 由于 是正定矩阵，所以 是个正定二次型，从而 ，当且仅当 时 ． 18．设 是一个 维Euclid空间， 是 中一固定向量，证明： 是 的一个子空间． 　　证明　因为 ，所以 非空．再证 对两种运算封闭． 任给 ，即 ，根据 的线性加性有 ，从而可知 ．另一方面，由 可知， ． 此即证得 是 的一个子空间． 　　 B 组 1．求二阶矩阵构成的线性空间 中元素 在基 ， ， ， 下的坐标. 解 设 ，则 解得 ，所求坐标为 . 　　2．在二阶矩阵构成的线性空间 中， 　　（1）求基 到基 的过渡矩阵； 　　（2）分别求向量 在基 和基 下的坐标； 　　（3）求一个非零向量 ，使得 在这两个基下的坐标相等． 　　解　（1）因为 ， ， ， ， 即 ， 所以，基 到基 的过渡矩阵为 ． 　　（2）显然 ，得到 在基 下的坐标为 ．设 在基 下的坐标为 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ， 得 EMBED Equation.DSMT4 ． 　　（3）解方程 ， 得 ，所以 ． 3. 设 是四维线性空间 的线性变换， 在 的基 下的矩阵为 求 在 的基 下的矩阵. 解 ，其中　 , 所求矩阵 . 4. 设 是 的一个基． (1) 证明 也是 的一个基； (2) 求由基 到基 的过渡矩阵； (3) 求向量 在基 下的坐标 和在基 ， ， ， ， 下的坐标 间的变换公式. 解 (1) 因为 ， 所以 ， ， 可逆，从而向量组 ， ， ， ， 与向量组 等价，而 是 的一个基，所以 ， ， ， ， 也是 的一个基． (2) 由基 到基 ， ， ， ， 的过渡矩阵为 ． (3) 坐标变换公式为 ． 5. 设 是 的一个基，且 ，证明 是 的一个基的充分必要条件是矩阵 为可逆矩阵． 证明　由于 线性无关，注意到 ， 可得 是 的一个基 线性无关 EMBED Equation.DSMT4 时，必定有 EMBED Equation.DSMT4 时，必定有 EMBED Equation.DSMT4 时，必定有 齐次线性方程组 只有零解 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 是可逆矩阵． 6. 设 是线性空间 的两个不同的子空间，且 ， ，证明在 中存在向量 ，使得 同时成立． 证明　由于 ， ，于是在 中存在向量 ，使得 成立． 若 ，则 即为所求． 若 ，则对任意数 ，有 ．否则，由于 和 ，可得 ，与假设矛盾． 于是，取 ，则 与 不能同时成立，否则 ， 有 ，矛盾． 　　故 与 至少有一个成立，不妨设 ，又 ，因此 即为所求． 　　7. 设 与 是 维线性空间 的两个基，证明 　　（1）在两组基下坐标完全相同的全体向量的集合 是 的子空间； 　　（2）设基 到基 的过渡矩阵是 ，若 ，则 ； 　　（3）若 中的每个向量在这两个基下的坐标完全相同，则 ． 　　证明 （1）设 ，即 ， ． 则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ， 在这两个基下的坐标也完全相同，于是 ， ，从而 是 的子空间． （2）设 是 中任一向量，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 于是， 在两个基下的坐标存在关系 ， ， 即 ．由于 ，故此齐次线性方程组的解向量的全体构成 维空间，从而 的全体即 的维数是 ． 　　（3） EMBED Equation.DSMT4 在基 下的坐标为 （第 个分量为 ，余皆为 ），即 ，　 ． 而由条件， EMBED Equation.DSMT4 在基 下的坐标也是 ，即 ， ， 从而有 ， ． PAGE 1 _1121210821.unknown _1232582289.unknown _1232584111.unknown _1232660753.unknown _1232660825.unknown _1232661239.unknown _1232661476.unknown _1232661608.unknown _1232661881.unknown _1232662124.unknown _1232662146.unknown _1232662107.unknown _1232661618.unknown _1232661496.unknown _1232661528.unknown _1232661576.unknown _1232661505.unknown _1232661489.unknown _1232661299.unknown _1232661407.unknown _1232661428.unknown _1232661356.unknown _1232661367.unknown _1232661310.unknown _1232661350.unknown _1232661254.unknown _1232661283.unknown _1232661249.unknown _1232660851.unknown _1232661203.unknown _1232661224.unknown _1232660992.unknown _1232660838.unknown _1232660845.unknown _1232660831.unknown _1232660790.unknown _1232660807.unknown _1232660814.unknown _1232660800.unknown _1232660777.unknown _1232660784.unknown _1232660769.unknown _1232660311.unknown _1232660563.unknown _1232660605.unknown _1232660620.unknown _1232660642.unknown _1232660614.unknown _1232660580.unknown _1232660360.unknown _1232660375.unknown _1232660353.unknown _1232660055.unknown _1232660249.unknown _1232660293.unknown _1232660092.unknown _1232660212.unknown _1232660071.unknown _1232584223.unknown _1232584473.unknown _1232584336.unknown _1232584362.unknown _1232584381.unknown _1232584395.unknown _1232584348.unknown _1232584272.unknown _1232584277.unknown _1232584235.unknown _1232584182.unknown _1232584134.unknown _1232584158.unknown _1232583150.unknown _1232583504.unknown _1232583878.unknown _1232583993.unknown _1232584026.unknown _1232583888.unknown _1232583688.unknown _1232583818.unknown _1232583837.unknown _1232583705.unknown _1232583571.unknown _1232583432.unknown _1232583465.unknown _1232583477.unknown _1232583454.unknown _1232583245.unknown _1232583388.unknown _1232583413.unknown _1232583419.unknown _1232583402.unknown _1232583257.unknown _1232583235.unknown _1232582903.unknown _1232583076.unknown _1232583100.unknown _1232583113.unknown _1232583087.unknown _1232582953.unknown _1232583060.unknown _1232582940.unknown _1232582791.unknown _1232582848.unknown _1232582859.unknown _1232582818.unknown _1232582632.unknown _1232582747.unknown _1232582769.unknown _1232582733.unknown _1232582605.unknown _1232581245.unknown _1232581882.unknown _1232582107.unknown _1232582170.unknown _1232582212.unknown _1232582288.unknown _1232582194.unknown _1232582124.unknown _1232582143.unknown _1232582108.unknown _1232581918.unknown _1232581996.unknown _1232582106.unknown _1232582105.unknown _1232581986.unknown _1232581893.unknown _1232581907.unknown _1232581890.unknown _1232581707.unknown _1232581806.unknown _1232581854.unknown _1232581866.unknown _1232581834.unknown _1232581819.unknown _1232581749.unknown _1232581793.unknown _1232581718.unknown _1232581423.unknown _1232581646.unknown _1232581696.unknown _1232581669.unknown _1232581624.unknown _1232581334.unknown _1232581384.unknown _1232581333.unknown _1121221412.unknown _1122038705.unknown _1232580957.unknown _1232581162.unknown _1232581191.unknown _1232581203.unknown _1232581122.unknown _1232581089.unknown _1232580843.unknown _1232580910.unknown _1232580930.unknown _1232580853.unknown _1218563451.unknown _1232580796.unknown _1232580821.unknown _1232580772.unknown _1218559796.unknown _1218559958.unknown _1218559963.unknown _1218559888.unknown _1218559911.unknown _1122038797.unknown _1122038917.unknown _1121234851.unknown _1121237232.unknown _1121237333.unknown _1121237631.unknown _1121237676.unknown _1122038673.unknown _1121237655.unknown _1121237613.unknown _1121237290.unknown _1121234880.unknown _1121237151.unknown _1121234908.unknown _1121234865.unknown _1121230311.unknown _1121234724.unknown _1121234773.unknown _1121234802.unknown _1121230646.unknown _1121230679.unknown _1121231679.unknown _1121230664.unknown _1121230551.unknown _1121223668.unknown _1121230215.unknown _1121230216.unknown _1121230011.unknown _1121223060.unknown _1121223130.unknown _1121223187.unknown _1121223523.unknown _1121223080.unknown _1121222599.unknown _1121222786.unknown _1121222948.unknown _1121222564.unknown _1121211561.unknown _1121212352.unknown _1121213092.unknown _1121213330.unknown _1121213388.unknown _1121213783.unknown _1121213660.unknown _1121213353.unknown _1121213195.unknown _1121213228.unknown _1121213115.unknown _1121212706.unknown _1121212835.unknown _1121212374.unknown _1121211726.unknown _1121211783.unknown _1121211949.unknown _1121211770.unknown _1121211586.unknown _1121211653.unknown _1121211572.unknown _1121211044.unknown _1121211464.unknown _1121211489.unknown _1121211528.unknown _1121211481.unknown _1121211412.unknown _1121211426.unknown _1121211090.unknown _1121210900.unknown _1121210920.unknown _1121211026.unknown _1121210910.unknown _1121210860.unknown _1121210880.unknown _1121210841.unknown _1121170016.unknown _1121199480.unknown _1121205267.unknown _1121207957.unknown _1121208563.unknown _1121210699.unknown _1121210792.unknown _1121210798.unknown _1121210790.unknown _1121210791.unknown _1121210789.unknown _1121209324.unknown _1121210023.unknown _1121210685.unknown _1121209496.unknown _1121209583.unknown _1121209344.unknown _1121208676.unknown _1121208800.unknown _1121209318.unknown _1121208623.unknown _1121208092.unknown _1121208148.unknown _1121208399.unknown _1121208473.unknown _1121208122.unknown _1121207978.unknown _1121208040.unknown _1121206618.unknown _1121207833.unknown _1121207876.unknown _1121207803.unknown _1121207498.unknown _1121205644.unknown _1121206266.unknown _1121205390.unknown _1121201484.unknown _1121203680.unknown _1121204171.unknown _1121204623.unknown _1121204730.unknown _1121205188.unknown _1121204718.unknown _1121204621.unknown _1121204622.unknown _1121204212.unknown _1121204111.unknown _1121203445.unknown _1121203469.unknown _1121201668.unknown _1121203371.unknown _1121201498.unknown _1121200565.unknown _1121201340.unknown _1121201354.unknown _1121200828.unknown _1121199995.unknown _1121200564.unknown _1121199735.unknown _1121177174.unknown _1121194258.unknown _1121194642.unknown _1121199136.unknown _1121199267.unknown _1121194704.unknown _1121194749.unknown _1121194949.unknown _1121194669.unknown _1121194322.unknown _1121194597.unknown _1121194314.unknown _1121191736.unknown _1121191886.unknown _1121177186.unknown _1121182802.unknown _1121172220.unknown _1121172309.unknown _1121176311.unknown _1121176974.unknown _1121172531.unknown _1121172573.unknown _1121172452.unknown _1121172258.unknown _1121171310.unknown _1121171853.unknown _1121171992.unknown _1121171395.unknown _1121170074.unknown _1121171151.unknown _1121170138.unknown _1121170049.unknown _1121077685.unknown _1121081673.unknown _1121083520.unknown _1121083655.unknown _1121169791.unknown _1121169960.unknown _1121169929.unknown _1121085209.unknown _1121085232.unknown _1121084267.unknown _1121085172.unknown _1121083629.unknown _1121083647.unknown _1121083583.unknown _1121082056.unknown _1121082137.unknown _1121083132.unknown _1121082084.unknown _1121082011.unknown _1121082012.unknown _1121081840.unknown _1121079598.unknown _1121081565.unknown _1121081635.unknown _1121081525.unknown _1121077800.unknown _1121077907.unknown _1121078027.unknown _1121077827.unknown _1121077699.unknown _1121074822.unknown _1121076761.unknown _1121077354.unknown _1121077645.unknown _1121076969.unknown _1121075236.unknown _1121075820.unknown _1121076742.unknown _1121075780.unknown _1121075166.unknown _1121056345.unknown _1121065604.unknown _1121074160.unknown _1121074180.unknown _1121074524.unknown _1121066669.unknown _1121074020.unknown _1121074116.unknown _1121074141.unknown _1121074054.unknown _1121067059.unknown _1121067245.unknown _1121073996.unknown _1121067982.unknown _1121067178.unknown _1121067230.unknown _1121067043.unknown _1121065799.unknown _1121066310.unknown _1121066416.unknown _1121066111.unknown _1121065682.unknown _1121064694.unknown _1121065380.unknown _1121065502.unknown _1121065548.unknown _1121065563.unknown _1121065422.unknown _1121065443.unknown _1121065144.unknown _1121065218.unknown _1121065251.unknown _1121065181.unknown _1121064842.unknown _1121065110.unknown _1121064813.unknown _1121058390.unknown _1121058435.unknown _1121064518.unknown _1121064673.unknown _1121058529.unknown _1121058434.unknown _1121056500.unknown _1121056640.unknown _1121058368.unknown _1121056407.unknown _1121054280.unknown _1121055607.unknown _1121056071.unknown _1121054293.unknown _1121054224.unknown _1121054251.unknown _1121054212.unknown