2018年人教版高中数学必修四第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式导学案2018年新人教A版高中数学必修4导学案
3.1.1 两角差的余弦公式
学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.
知识点一 两角差的余弦公式的探究
思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明.
答案 不正确.
例如：当α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,4)时，cos(α－β)＝...
2018年新人教A版高中数学必修4导学案
3.1.1 两角差的余弦公式
学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.
知识点一 两角差的余弦公式的探究
思考1 如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举出两例加以说明.
答案 不正确.
例如：当α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,4)时，cos(α－β)＝cos eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，
而cos α－cos β＝cos eq \f(π,2)－cos eq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，
故cos(α－β)≠cos α－cos β；
再如：当α＝eq \f(π,3)，β＝eq \f(π,6)时，cos(α－β)＝cos eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，
而cos α－cos β＝cos eq \f(π,3)－cos eq \f(π,6)＝eq \f(1－\r(3),2)，
故cos(α－β)≠cos α－cos β.
思考2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.
①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝________；
②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝________；
③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝________；
④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝________.
猜想：
cos αcos β＋sin αsin β＝________，
即____________________________________________.
答案 ①1 ②eq \f(\r(3),2) ③0 ④eq \f(1,2)
cos(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
知识点二 两角差的余弦公式
思考1 单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？eq \o(OA,\s\up6(→))与eq \o(OB,\s\up6(→))的夹角是多少？
答案 A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β).
eq \o(OA,\s\up6(→))与eq \o(OB,\s\up6(→))的夹角是α－β.
思考2 请根据上述条件推导两角差的余弦公式.
答案 ①eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝|eq \o(OA,\s\up6(→))||eq \o(OB,\s\up6(→))|cos(α－β)＝cos(α－β)，
②eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝cos αcos β＋sin αsin β.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
梳理 C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.
(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.
类型一 利用两角差的余弦公式化简求值
例1 计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
解 (1)方法一 原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
(2)原式＝cos(15°－105°)
＝cos(－90°)
＝cos 90°
＝0.
反思与感悟 利用两角差的余弦公式求值的一般思路：
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)cos 105°；
(2)cos 46°cos 16°＋sin 46°sin 16°.
解 (1)原式＝cos(150°－45°)
＝cos 150°cos 45°＋sin 150°sin 45°
＝－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)
＝eq \f(\r(2)－\r(6),4).
(2)原式＝cos(46°－16°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2).
类型二 给值求值
例2 已知α，β均为锐角，sin α＝eq \f(8,17)，cos(α－β)＝eq \f(21,29)，求cos β的值.
解 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin α＝eq \f(8,17)
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