矩阵论清华大学方保镕教材以及课后习题答案习题解答习题 8

习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 8 1. 解： 若 ，则A为单调矩阵，其充要条件是可从 推出 ，这里X是列向量. 事实上，因为A是单调矩阵，所以 .若 ，则必有 ，从而 . 反之，若可从 推出 ，则A为非奇异.事实上，设 有解 ，即 ，于是 ，由假设知 ；再由 ，又可推出 .从而 仅有零解，所以A非奇异，即 存在. 记 为 的第j列（ ，则 .则假设有 ，这就是说 的第j列 为非负向量，故 .这就证明了A为单调矩阵. 2. 证：（1）设 ，由于 ，即A为正矩阵 ，又由 且 ，即X为非零的非负向量， ，故 . (2) ， 如果 由上题知 ；如果 ，则 ，即 .故有 . （3）反证.若不然，对所有 ，即 时，有 ，即 ，则当X有一个分量 时都有 ，即AX＜0 这与假设总有 矛盾.故 . 3. 证：因为 ，由Perron定理知 是A的单特征值，且A的任一不等于 的特征值λ必有 ，即只有1个模为 的特征值，故A为素矩阵.但反之不真，因为例如 就是素矩阵（不难验证 ），显然A不是正矩阵. 4. 证：因为 ，所以由非负矩阵谱半径的估计式 又因为A是素矩阵，即存在正整数m，使得 ，因而 ，显然 ，故 . 5. 证：必要性.设A是非负素矩阵，则 是A的正特征值，且A的任何一个其他特征值 ，都有 ，而 的模 ，显然 就不是A的特征值，故 ，即 非奇异. 充分性.设 ，则 不是A的特值.由题设A是n阶不可约非负对称矩阵，那么它的特征值全为实数，且由Perron-Frobenius定理知 为A的（正的）单特征值，而 又不是A的特征值，所以模等于 的实特征值只能是 一个，再不会有第二个，即 ，故A为素矩阵. 6. 解： ； A对应于特征值 =9的正特征向量 ； 对应于特征值 的正特征向量 . 则 . 7. 证：显然，可以选取n阶不可约非负矩阵B，使得 .于是 . 8. 解：若 是单调矩阵，则 （非负）. 9. 证：注意到 和A有相同的特征值，可以转而考虑 的谱半径.根据随机矩阵A应满足的条件 ，显然 是 的特征向量，而且1是 的特征值， 是相应于特征值1的特征向量. 另一方面，由于A是正矩阵， 也是正矩阵，又 ，依Perron-Frobenius定理知， 是 的优势特向量，即 是相应于优势特征值 的特征向量，因此 . 10. 解： 若A和 都是M矩阵，则A必为对角矩阵. 11. 解：应当 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 述为矩阵 满足 ，则A为M矩阵的充要条件是 ，且矩阵 满足 ，这里 .（因为M矩阵只不过是Z矩阵 的特殊情况，所以应先强调A是Z矩阵，这样更合适些.） 12. 解：若矩阵A和B都是M矩阵，但和A+B不一定是M矩阵，例如，设 ， 容易验证A和B都是M矩阵，但 是奇异的， 不存在，所以A+B不是M矩阵（不作特别声明时，M矩阵指的是非奇异M矩阵. 13. 证：设 ，则由A是M矩阵满足 推出 . 14. 证： 因为A为非奇异M矩阵等价于A的所有主子式为正数；而在A是实对称的条件下，A的所有主子式是正的等价于A是正定的. 15. 提示：证明很容易，考察 有 . PAGE 5 _1143719883.unknown _1143720351.unknown _1143721464.unknown _1143722922.unknown _1143723314.unknown _1147251309.unknown _1149763548.unknown _1149764188.unknown _1149764383.unknown _1147251463.unknown _1147251516.unknown _1147251331.unknown _1143723444.unknown _1143723622.unknown _1143723656.unknown _1143723872.unknown _1143724051.unknown _1143723639.unknown _1143723507.unknown _1143723528.unknown _1143723465.unknown _1143723353.unknown _1143723398.unknown _1143723334.unknown _1143723107.unknown _1143723213.unknown _1143723259.unknown _1143723292.unknown _1143723236.unknown _1143723143.unknown _1143723173.unknown _1143723129.unknown _1143723039.unknown _1143723050.unknown _1143723083.unknown _1143723025.unknown _1143723014.unknown _1143721683.unknown _1143721995.unknown _1143722798.unknown _1143722889.unknown _1143722906.unknown _1143722814.unknown _1143722752.unknown _1143722767.unknown _1143722030.unknown _1143721788.unknown _1143721966.unknown _1143721977.unknown _1143721824.unknown _1143721936.unknown _1143721709.unknown _1143721550.unknown _1143721596.unknown _1143721634.unknown _1143721576.unknown _1143721509.unknown _1143721534.unknown _1143721500.unknown _1143720641.unknown _1143721085.unknown _1143721215.unknown _1143721376.unknown _1143721388.unknown _1143721238.unknown _1143721132.unknown _1143721185.unknown _1143720737.unknown _1143720993.unknown _1143721033.unknown _1143721060.unknown _1143720848.unknown _1143720673.unknown _1143720685.unknown _1143720651.unknown _1143720550.unknown _1143720596.unknown _1143720624.unknown _1143720568.unknown _1143720475.unknown _1143720517.unknown _1143720461.unknown _1143720141.unknown _1143720265.unknown _1143720307.unknown _1143720327.unknown _1143720276.unknown _1143720184.unknown _1143720208.unknown _1143720164.unknown _1143719965.unknown _1143720002.unknown _1143720035.unknown _1143719980.unknown _1143719916.unknown _1143719939.unknown _1143719901.unknown _1143719621.unknown _1143719742.unknown _1143719801.unknown _1143719831.unknown _1143719783.unknown _1143719643.unknown _1143719659.unknown _1143719627.unknown _1143719543.unknown _1143719576.unknown _1143719595.unknown _1143719559.unknown _1143719521.unknown _1143719522.unknown _1143719429.unknown