最新差商及其性质精品课件

最新差商及其性质精品课件4.1差商（均差(jūnchà)）及性质1差商（均差(jūnchà)）已知y=函数表则在上平均变化率分别为：即有定义(dìngyì)：定义为f(x)的差商§4差商与牛顿插值多项式第一页，共21页。定义(dìngyì)4为函数在的一阶差商（一阶均差）；称为y=在点的二阶差商（二阶均差）；（3）一般由函数y=的n－1阶差商表可定义函数的n阶差商。称为函数y=在点的n阶差商（n阶均差）。，称（1）对于的一阶差商表，再作一次差商，即（2）由函数y=即n－1阶差商第二页，共21页。2基本(jīběn)性质定理(dìnglǐ)...

4.1差商（均差(jūnchà)）及性质1差商（均差(jūnchà)）已知y=函数表则在上平均变化率分别为：即有定义(dìngyì)：定义为f(x)的差商§4差商与牛顿插值多项式第一页，共21页。定义(dìngyì)4为函数在的一阶差商（一阶均差）；称为y=在点的二阶差商（二阶均差）；（3）一般由函数y=的n－1阶差商表可定义函数的n阶差商。称为函数y=在点的n阶差商（n阶均差）。，称（1）对于的一阶差商表，再作一次差商，即（2）由函数y=即n－1阶差商第二页，共21页。2基本(jīběn)性质定理(dìnglǐ)5（2）k阶差商关于节点是对称的，或说均差与节点顺序(shùnxù)无关，即例如：共6个的线性组合，即的k阶差商是函数值（1）第三页，共21页。分析(fēnxī)：当k=1时,(1)可用归纳法证明(zhèngmíng)。(2)利用(1)很容易得到。只证(1)证明(zhèngmíng)：（1）当k=1时,第四页，共21页。第五页，共21页。(0阶差商)一阶差商二阶差商三阶差商k阶差商表2.43差商表计算顺序:同列维尔法，即每次用前一列同行(tóngháng)的差商与前一列上一行的差商再作差商。第六页，共21页。4.2牛顿(niúdùn)插值多项式已知函数表（4.1）,由差商定义(dìngyì)及对称性，得1牛顿(niúdùn)插值多项式的推导第七页，共21页。将(b)式两边同乘以,抵消抵消抵消(d)式两边同乘以,把所有(suǒyǒu)式子相加,得,(c)式两边同乘以第八页，共21页。记---牛顿(niúdùn)插值多项式---牛顿(niúdùn)插值余项可以验证，即满足插值条件,因此可得以(déyǐ)下结论。第九页，共21页。定理(dìnglǐ)6则满足插值条件的插值多项式为：（牛顿(niúdùn)插值多项式）其中，---牛顿插值多项式---牛顿插值余项2n+1阶差商函数与导数(dǎoshù)的关系由n次插值多项式的唯一性，则有,牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式都是次数小于或等于n的多项式,只是表达方式不同.?因为而的基函数可为:已知函数表牛顿插值多项式系数牛顿插值多项式系数牛顿插值多项式系数第十页，共21页。阶导数(dǎoshù)存在时，由插值多项式的唯一性有余项公式n+1阶差商函数(hánshù)导数(dǎoshù)其中且为包含区间.依赖于则n阶差商与导数的关系为其中n+1阶差商函数与导数的关系定理7第十一页，共21页。计算(jìsuàn)步骤:(2)用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算.3牛顿插值多项式计算(jìsuàn)次数(当k=n时)(1)计算差商表(计算的系数)(0阶差商)一阶差商二阶差商三阶差商k阶差商除法(chúfǎ)次数(k=n):第十二页，共21页。(2)用秦九韶算法或着说用嵌套乘法计算.乘法(chéngfǎ)次数:n优点(yōudiǎn):(1)计算(jìsuàn)量小,较L-插值法减少了3-4倍.(2)当需要增加一个插值节点时,只需再计算一项,即---递推公式(适合计算机计算).乘除法次数大约为:第十三页，共21页。4两函数(hánshù)相乘的差商定理8（两函数(hánshù)相乘的差商）显然公式成立。事实上，一般(yībān)情况，可用归纳法证明。#设证明：阶差商为第十四页，共21页。5重节点(jiédiǎn)差商（通过差商极限(jíxiàn)定义）定义(dìngyì)5(重节点差商)若,的节点xi(i=0，1，…，n)定理7中互异，有了重节点差商的定义，该式中的节点可以相同。说明：?则定义类似的有第十五页，共21页。其中(qízhōng)---牛顿(niúdùn)插值多项式---牛顿(niúdùn)插值余项§4差商与牛顿插值多项式牛顿插值公式5重节点差商定义5(重节点差商)若,?则定义类似的有第十六页，共21页。证明(zhèngmíng)：(2)首先,由定义泰勒(tàilè)展开式第十七页，共21页。第十八页，共21页。本课重点(zhòngdiǎn)：1、理解(lǐjiě)差商定义P.857作业:3、会用牛顿插值多项式解简单(jiǎndān) 题目。2、掌握牛顿插值公式其中，---牛顿插值多项式---牛顿插值余项课本P.37例3编程:第十九页，共21页。一、Lagrange插值多项式，k=0,1,⋯,n.复习(fùxí)：过n+1个节点(jiédiǎn)，满足插值条件：Lj(xj)=yj(j=0,1,⋯,n)的n次插值或插值基函数(hánshù)含义直观形式对称优点：计算量大缺点：乘除法次数：多项式Ln(x)：第二十页，共21页。二、列维尔(Neville)方法(fāngfǎ)与埃特金(Aitken)方法(fāngfǎ)改进(gǎijìn)的方法①列维尔方法(fāngfǎ):②埃特金算法计算量：较L—插值减少了.第二十一页，共21页。

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