辽宁省沈阳市东北育才学校2020学年高一数学下学期第二次段测试题（含解析）

PAGE2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一（下）第二次段测数学试卷　一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出，涂在答题卡上.1．向量=（3，4），=（x，2），若•=||，则实数x的值为（　　）A．﹣1B．C．D．12．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如图所示茎叶图，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①极差是12；②众数是85；③中位数是84；④平均数是85，正确的是（　　）A．①②B．②④C．①③D．③④3．设集合A，B，则A⊆B是A∩B=A成立的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．一个算法的程序框图如图，则其输出结果是（　　）A．0B．C．D．5．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为（　　）A．B．C．D．6．如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有，则（　　）A．f（x）在上是减函数B．f（x）在上是减函数C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数7．下列有关命题的说法正确的是（　　）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题8．设P为锐角△ABC的外心（三角形外接圆圆心），=k（+）（k∈R）．若cos∠BAC=，则k=（　　）A．B．C．D．9．设集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，若动点P（x，y）∈M，则x2+（y﹣1）2的取值范围是（　　）A．B．C．D．10．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（　　）A．B．C．6D．511．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形ABC的（　　）A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心D．AB边的中点12．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数是（　　）①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个　二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若命题，则其否定是　　．14．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量=（4，a2+b2﹣c2），=（）满足∥，则∠C=　　．15．设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则=　　．16．给出下列命题，其中所有正确命题的序号为　　①②若③函数是偶函数④x=的一条对称抽方程⑤若α，β是第一象限的角且，α＞β，则sinα＞sinβ⑥．　三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．18．某校为了了解高一年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，结合统计图回答下列问题：（1）这次共抽调了多少人？（2）若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？（3）如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？19．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求∠B；（2）求函数的值域及单调递减区间．20．某校一模考试数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选2人进行交流，求交流的2名学生中，恰有一名成绩位于[70，80）分数段的概率．21．在△ABC三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=（cosB，cosC），=（2a+c，b），且⊥．（Ⅰ）求角B的大小及y=sin2A+sin2C的取值范围；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．22．如图，已知等边△ABC的边长为2，圆A的半径为1，PQ为圆A的任意一条直径．（1）判断的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由．（2）求的最大值．　2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一（下）第二次段测数学试卷参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 与 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 解析　一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出，涂在答题卡上.1．向量=（3，4），=（x，2），若•=||，则实数x的值为（　　）A．﹣1B．C．D．1【考点】9R：平面向量数量积的运算；93：向量的模．【分析】利用向量的数量积的坐标运算和模的计算公式即可得出．【解答】解：∵，，∴，=5．又，∴3x+8=5，解得x=﹣1．故选A．　2．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如图所示茎叶图，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①极差是12；②众数是85；③中位数是84；④平均数是85，正确的是（　　）A．①②B．②④C．①③D．③④【考点】BA：茎叶图．【分析】根据统计知识，将数据按从小到大排列，求出相应值，即可得出结论【解答】解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：极差是91﹣78=13①是错误的；众数是83，②是错误的；中位数是=84，∴③是正确的；=85，∴④是正确的．错误的是③④；故选D　3．设集合A，B，则A⊆B是A∩B=A成立的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据子集的概念，交集的概念以及充要条件的概念，即可找出正确选项．【解答】解：若A⊆B，则A的元素都是集合B的元素，∴A∩B=A；∴A⊆B是A∩B=A的充分条件；若A∩B=A，则A的元素都是集合B的元素，∴A⊆B；∴A⊆B是A∩B=A的必要条件；∴A⊆B是A∩B=A成立的充要条件．故选：C．　4．一个算法的程序框图如图，则其输出结果是（　　）A．0B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】程序运行的功能是求S=sin+sin+sin+…+sin的值，利用三角函数的周期性与诱导公式求得S的值．【解答】解：由程序框图知：程序运行的功能是求S=sin+sin+sin+…+sin的值，∵sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin﹣sin﹣sin﹣sin﹣sin=0，2020=8×251+6，∴S=251×0+sin+sin+sin+sin+sin+sin=．故选：B．　5．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为（　　）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k∈A={﹣1，1，2}，b∈B={﹣2，1，2}得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率P=．故选A．　6．如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有，则（　　）A．f（x）在上是减函数B．f（x）在上是减函数C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，求得a+b=﹣φ，再根据f（a+b）=2sinφ=，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：由函数图象的一部分，可得A=2，函数的图象关于直线x==对称，∴a+b=x1+x2．由五点法作图可得2a+φ=0，2b+φ=π，∴a+b=﹣φ．再根据f（a+b）=2sin（π﹣2φ+φ）=2sinφ=，可得sinφ=，∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．在上，2x+∈（﹣，），故f（x）在上是增函数，故选：C．　7．下列有关命题的说法正确的是（　　）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】2J：命题的否定；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故答案选择D．　8．设P为锐角△ABC的外心（三角形外接圆圆心），=k（+）（k∈R）．若cos∠BAC=，则k=（　　）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，取BC的中点D，连接PD，AD．可得PD⊥BC，．由满足=k（+）（k∈R），可得，A，P，D三点共线，得到AB=AC．因此cos∠BAC=cos∠DPC===．即可得出．【解答】解：如图所示，取BC的中点D，连接PD，AD．则PD⊥BC，，∵满足=k（+）（k∈R∴，∴A，P，D三点共线，∴AB=AC．∴cos∠BAC=cos∠DPC===．∴．∴，解得k=．故选：A．　9．设集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，若动点P（x，y）∈M，则x2+（y﹣1）2的取值范围是（　　）A．B．C．D．【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，可以画出其可行域，目标函数z=x2+（y﹣1）2表示可行域中的点到圆心（0，1）距离的平方，从而进而求解；【解答】解：集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，可以若x＞0，﹣x≤y≤x；若x＜0可得，x≤y≤﹣xM=A∩B，可以画出可行域M：目标函数z=x2+（y﹣1）2表示可行域中的点到圆心（0，1）距离的平方，由上图可知：z在点A或C可以取得最小值，即圆心（0，1）到直线y=x的距离的平方，zmin=d2=（）2=，z在点B或D处取得最大值，zmax=|0B|2=（）2+（）2=，∴≤z≤，故选A；　10．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（　　）A．B．C．6D．5【考点】7F：基本不等式．【分析】已知式子可化为=1，进而可得3x+4y=（3x+4y）（）++，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1，即=1，∴3x+4y=（3x+4y）（）=++≥+2=5当且仅当=即x=1且y=时取等号，∴3x+4y的最小值为：5故选：D　11．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形ABC的（　　）A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）C．重心D．AB边的中点【考点】L%：三角形五心．【分析】根据O是三角形的重心，得到三条中线上对应的向量的模长之间的关系，根据向量加法的平行四边形法则，求出向量的和，根据共线的向量的加减，得到结果．【解答】解：设AB的中点是E，∵O是三角形ABC的重心，∴=（+2）∵∴==∴P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选B．　12．若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数是（　　）①ab≤1；②；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】7F：基本不等式．【分析】题目给出了两个和为常数2的正数a，b，我们可以借助于基本不等式及其变形式直接推导出其中①③⑤是正确的，②④可以通过举反例说明不正确．【解答】解：由a＞0，b＞0，a+b=2，则（当且仅当a=b=1时等号成立），所以，①正确；由，所以，，所以，，所以，②正确；由=（当且仅当a=b=1时等号成立），所以，③正确；若a=b=1，满足a＞0，b＞0，a+b=2，但a3+b3=13+13=2＜3，所以，④不正确；因为，而，则，所以（当且仅当a=b=1时等号成立），所以，⑤正确．所以，正确的是①②③⑤．故选D．　二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若命题，则其否定是　存在x0∈R使≤0　．【考点】2J：命题的否定；2H：全称命题．【分析】根据全称命题和特称命题、命题的否定的定义，求出命题的否定．【解答】解：根据“命题的否定”的定义，若命题，则它的否定为：存在x0∈R使≤0，或x02+x0+1=0，故答案为存在x0∈R使≤0．　14．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量=（4，a2+b2﹣c2），=（）满足∥，则∠C=　　．【考点】HR：余弦定理；96：平行向量与共线向量．【分析】通过向量的平行的坐标运算，求出S的表达式，利用余弦定理以及三角形面积，求出C的正切值，得到C的值即可．【解答】解：由∥，得4S=（a2+b2﹣c2），则S=（a2+b2﹣c2）．由余弦定理得cosC=，所以S=又由三角形的面积公式得S=，所以，所以tanC=．又C∈（0，π），所以C=．故答案为：．　15．设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则=　10　．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知中E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，我们可以以A为坐标原点，AB、AC方向为X，Y轴正方向建立坐标系，分别求出向量，的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案．【解答】解：以A为坐标原点，AB、AC方向为X，Y轴正方向建立坐标系∵AB=3，AC=6，则A（0，0），B（3，0），C（0，6）又∵E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，则E（2，2），F（1，4）则=（2，2），=（1，4）∴=10故答案为：10　16．给出下列命题，其中所有正确命题的序号为　③④⑥　①②若③函数是偶函数④x=的一条对称抽方程⑤若α，β是第一象限的角且，α＞β，则sinα＞sinβ⑥．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，结合二倍角的正弦公式和正弦函数的值域，即可判断①；由向量共线的坐标表示和辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可判断②；运用诱导公式和余弦函数的奇偶性，即可判断③；由代入法，求得最值，即可判断④；可令α=390°，β=30°，求出正弦值，即可判断⑤；由两角和的正切公式，结合条件，即可判断⑥．【解答】解：对于①，由=（sinα，1），=（cosα，﹣1），⊥，可得•=sinαcosα﹣1=0，即sin2α=2，不成立，故①错；对于②，由=（2，2），=（sinα﹣1，﹣cosα），∥，可得2（﹣cosα）=2（sinα﹣1），即有sinα+cosα=，由sinα+cosα=sin（α+）≤，可得α不存在，故②错；对于③，函数=﹣cosx是偶函数，故③对；对于④，由sin（2×+）=sin=﹣1，为最小值，则x=的一条对称抽方程，故④对；对于⑤若α，β是第一象限的角且α＞β，可令α=390°，β=30°，则sinα=sinβ，故⑤错；对于⑥，若α，β∈（，π），tanα＜，则tanα＜0，tanβ＜0，即为＜0，可得tanαtanβ﹣1＞0，tan（α+β）=＞0，由α，β∈（，π），可得π＜α+β＜2π，结合tan（α+β）＞0，可得π＜α+β＜π，故⑥对．故答案为：③④⑥．　三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．【考点】HR：余弦定理；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先由已知条件圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，连接对角线然后由边长求得夹角的度数，再分别求得三角形的面积，再求解即可得到答案．【解答】解：如图：连接BD，则有四边形ABCD的面积，．∵A+C=180°，∴sinA=sinC．∴=．由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=22+42﹣2×2×4cosA=20﹣16cosA，在△CDB中BD2=CB2+CD2﹣2CB•CDcosC=62+42﹣2×6×4cosC=52﹣48cosC，∴20﹣16cosA=52﹣48cosC∵cosC=﹣cosA，∴64cosA=﹣32，，∴A=120°，∴．故答案为．　18．某校为了了解高一年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后作出如下统计图，甲同学计算出前两组的频率和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，结合统计图回答下列问题：（1）这次共抽调了多少人？（2）若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？（3）如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据题意：结合各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1；易得第二组的频率0.08；再由频率、频数的关系频率=；可得总人数．（2）根据题意：从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15，和（1）的结论；容易求得各组的人数，这样就能求出优秀率．（3）由中位数的意义，作答即可．【解答】解：（1）第一组的频率为1﹣0.96=0.04，第二组的频率为0.12﹣0.04=0.08，故总人数为=150（人），即这次共抽调了150人；（2）第一组人数为150×0.04=6（人），第三、四组人数分别为51人、45人，这次测试的优秀率为×100%=24%；（3）前三组的人数为69，而中位数是第75和第76个数的平均数，所以成绩为120次的学生至少有7人．　19．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求∠B；（2）求函数的值域及单调递减区间．【考点】HR：余弦定理；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】（1）已知等式右边变形后，利用余弦定理化简，整理求出sinB的值，根据B为锐角，求出B的度数；（2）把sinB的值代入f（x）解析式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出值域，利用正弦函数的单调性求出f（x）的递减区间即可．【解答】解：（1）∵cosB=，即=，代入已知等式得：tanB=，即=，∴sinB=，∵△ABC是锐角三角形，∴B=；（2）把sinB=代入得：f（x）=sinx+2sinBcosx=sinx+cosx=2sin（x+），∵x∈[0，]，∴x+∈[，]，∴≤sin（x+）≤1，即1≤2sin（x+）≤2，∴f（x）的值域为[1，2]，∵+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，∴+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，当k=0时，≤x≤，又0≤x≤，∴f（x）在x∈[0，]上的单调减区间为[，]．　20．某校一模考试数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选2人进行交流，求交流的2名学生中，恰有一名成绩位于[70，80）分数段的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）由茎叶图和直方图可知分数在[50，60）的频数为4人，可得频率为0.08，进而可得参数人数为50，计算50﹣（4+14+8+4）可得；（2）可得人数分别为5、2、1，分别记为1、2、3、4、5，a、b，A，列举可得总的基本事件共28个，其中恰有一名成绩位于[70，80）分数段的有15个，由概率公式可得．【解答】解：（1）由茎叶图和直方图可知分数在[50，60）的频数为4人，故频率为0.008×10=0.08，故参数人数为=50，∴分数在[70，80）之间的频数为50﹣（4+14+8+4）=20；（2）按分层抽样三个分数段的频数之比为5：2：1，可得人数分别为5、2、1，分别记为1、2、3、4、5，a、b，A，从中任选2人进行交流有（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，a）（1，b）（1，A）（2，3）（2，4）（2，5）（2，a）（2，b）（2，A）（3，4）（3，5）（3，a）（3，b）（3，A）（4，5）（4，a）（4，b）（4，A）（5，a）（5，b）（5，A）（a，b）（a，A）（b，A）共28个，其中恰有一名成绩位于[70，80）分数段的有（1，a）（1，b）（1，A）（2，a）（2，b）（2，A）（3，a）（3，b）（3，A）（4，a）（4，b）（4，A）（5，a）（5，b）（5，A）共15个，故交流的2名学生中，恰有一名成绩位于[70，80）分数段的概率P=．　21．在△ABC三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=（cosB，cosC），=（2a+c，b），且⊥．（Ⅰ）求角B的大小及y=sin2A+sin2C的取值范围；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据两个向量垂直，利用向量积的运算和正弦定理求得cosB的值，进而求得B．（Ⅱ）利用余弦定理求得ac，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】（Ⅰ）∵⊥，∴cosB•（2a+c）+cosC•b=0∴2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosB=0，整理得cosB=﹣，∠B=，∵y=sin2A+sin2C=2sin（）cos（）=2sin（A+C）cos（A﹣C）=2sinBcos（A﹣C）=cos（A﹣C），∵0＜∠A=﹣∠C＜，＞∠C＞0∴﹣＜﹣C＜∴＜cos（A﹣C）≤1∴＜y≤．Ⅱ）由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB，∴13=a2+c2+ac=（a+b）2﹣2ac+ac=16﹣ac，∴ac=3，∴S△ABC=acsinB=×3×=　22．如图，已知等边△ABC的边长为2，圆A的半径为1，PQ为圆A的任意一条直径．（1）判断的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由．（2）求的最大值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）将，利用平面向量基本定理化简成：﹣2+•，再结合向量的数量积公式即可得出不会随点P的变化而变化，值为1；（2）先结合图形利用平面向量基本定理将向量，分别用向量+，+表示，再利用题中条件化成1+2cosθ，最后结合三角函数的性质求的最大值．【解答】解：（1）由于=（﹣）•（﹣）﹣•（﹣），=﹣．=（﹣）•（﹣﹣）﹣•（﹣）=﹣2+•=﹣1+2×2×=1．所以=1，即不会随点P的变化而变化，值为1．（2）=（+）•（+）=•+•+•+•=2×2×+•（﹣）﹣2=2﹣1+•=1+1×2cosθ（其中θ为，的夹角）所以θ=0时，取最大值3．