第１章 三角形的证明单元复习(一) 三角形的证明1．(2016·永州)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BD＝CED．BE＝CD2．(2016·台湾)如图，在△ABC中，D，E两点分别在AC，BC上，DE为BC的垂直平分线，BD为∠ADE的角平分线，若∠A＝58°，则∠ABD的度数为()A．58°B．59°C．61°D．62°DD3．(2015·湖州)如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于()A．10B．7C．5D．4CBAC二、填空
题
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7．(2016·长沙)如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为____．8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是CD，AD上的点，且CE＝AF.如果∠AED＝62°，那么∠DBF＝____．1328°18120°45°11．如图，∠A＝52°，O是AB，AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB＝____．12．(2016·南京)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中正确结论的序号是．38°①②③解：(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，又∵BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C，即AB＝AC (2)由(1)得AB＝AC，∵BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，∴AC＝2CD，由AD2＋CD2＝AC2得(2)2＋CD2＝(2CD)2，解得CD＝2，∴AC＝2CD＝414．(2016·菏泽)如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数．解：(1)∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－50°×2＝80°，∵∠ACD＋∠DCB＝∠BCE＋∠DCB＝80°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE (2)由(1)得△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，又∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠ADC＝180°－50°＝130°，∴∠BEC＝130°，∴∠AEB＝130°－50°＝80°15．(2016·呼和浩特)如图，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.证明：∵∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，又∵CE＝CD，CA＝CB，∴△ACE≌△BCD(SAS) (2)由(1)中△ACE≌△BCD得AE＝BD，∠EAC＝∠B＝45°，∴∠EAD＝45°＋45°＝90°，在Rt△AED中，DE2＝AE2＋AD2＝AD2＋BD2，在Rt△ECD中，ED2＝CD2＋CE2＝2CD2.即2CD2＝AD2＋DB216．(2015·孝感)我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.解：∵AB＝CB，AD＝CD，∴BD是AC的垂直平分线．∵AB＝CB，OB⊥AC，∴OB平分∠ABC，又∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴OE＝OF17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．解：(1)∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，∴∠ECB＋∠DBC＝90°，∠ABD＋∠DBC＝90°，∴∠ECB＝∠ABD，又∵BA＝CB，∠BAD＝∠CBE＝90°，∴△BAD≌△CBE(ASA)，∴AD＝BE (2)设AC与ED交于点M，∵E是AB的中点，∴EB＝EA，∵AD＝BE，∴AE＝AD.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝∠DAC，又∵AD＝AE，∴AM⊥DE且EM＝DM，即AC是线段ED的垂直平分线 (3)△DBC是等腰三角形，理由：由(2)得CD＝CE，由(1)中△BAD≌△CBE得BD＝CE，∴CD＝BD，∴△DBC是等腰三角形
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