第2章正投影基础

2.1投影法2.2三视图的形成及其投影规律2.3点的投影2.4直线的投影2.5平面的投影空间物体的结构形状在 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 上采用投影的方法来表达，使空间物体表现为平面图形。而正投影法是工程制图的核心理论基础，反映了工程图样的基本投影规律。内容提要学习目标◎理解投影法的基本概念和分类。◎掌握平行投影尤其是正投影的基本性质。◎掌握三视图的形成及其投影规律。◎掌握点、直线、平面的投影规律。如何用平面图形来正确地表达空间物体的形状和大小？2.1.1投影法的基本概念物体在阳光或灯光的照射下，会在地面或墙面上留下影像，能在一定程度上反映物体的空间形状。通过对这种现象的总结和抽象，逐步形成了投影法。投影法就是投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。投影法2.1投影法根据投射线之间的关系，投影法可分为中心投影法和平行投影法。2.1.2投影法分类1.中心投影法投射线汇交于一点的投影法称为中心投影法。2.平行投影法投射线相互平行的投影法称为平行投影法。根据投射线与投影面的角度不同，又分为以下两种：①正投影法投射线与投影面相互垂直的平行投影法。②斜投影法投射线与投影面相互倾斜的平行投影法。中心投影法平行投影法正投影能真实地反映物体的形状和大小，并且度量性好、作图简便，因此在工程上应用最为广泛。1．真实性2.1.3正投影的基本性质直线或平面平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，这种投影特性称为真实性。2．积聚性直线或平面垂直于投影面时，直线的投影积聚成点，平面的投影积聚成直线，这种投影特性称为积聚性。3．类似性直线或平面倾斜于投影面时，直线的投影是小于实长的直线，平面的投影是原平面的类似形，但面积小于原平面，这种投影特性称为类似性。正投影的基本性质1．投影面的设立三投影面体系2.2.1三视图的形成3个相互垂直的投影面形成了三投影面体系。两投影面之间的交线称为投影轴。投影轴的交点O称为原点。2.2三视图的形成及其投影规律OX轴──V面和H面的交线。OY轴──H面和W面的交线。OZ轴──V面和W面的交线。2．三视图的形成3．投影面的展开要把3个视图画在同一张图纸上，就需要把3个投影面展开成一个平面。V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°。OY轴分解成两个，随H面的称为OYH，随W面的称为OYW。展开后三视图：俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。如此配置视图时不标注视图的名称，也不需要画出投影轴和表示投影面的边框。从物体的前面向后投影，在V面上得到的视图称为主视图。从物体的上面向下投射，在H面上得到的视图称为俯视图。从物体的左面向右投射，在W面上得到的视图称为左视图。主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度。三视图的方位关系和投影规律2.2.2三视图的投影规律俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度。左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。在俯视图和左视图中，靠近主视图的一边都反映物体的后面，远离主视图的一边则反映物体的前面。物体的宽度在俯视图中为竖直方向，在左视图中为水平方向。“长对正、高平齐、宽相等”是三视图画图和看图必须遵循的最基本的投影规律。主视图俯视图——长对正主视图左视图——高平齐俯视图左视图——宽相等过空间点A点向V面投射得到A点的正面投影a，向H面投射得到A点的水平投影a，向W面投射得到A点的侧面投影a。点的投影仍然是点，并且是唯一的。点的一个投影不能确定其空间位置，两个投影才能唯一确定一个点。2.3.1点的三面投影我们约定：空间点用大写字母表示，如A、B、C等；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′等；侧面投影用小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″等。2.3点的投影由于点的投影只与投影轴有关，而与投影面的大小无关，所以通常只画出投影轴，不需要画出表示投影面的边框。为了作图方便，常过O点作一条45°的辅助线平分YHOYW。点的三面投影图的形成1.点的直角坐标与投影规律点的投影和坐标的关系A点的3个直角坐标（XA,YA,ZA）与其3个投影a、a、a的关系如下。点A到H面的距离：Aa=a′aX=a″aYW=OaZ=ZA点A到V面的距离：Aa′=aaX=a″aZ=OaY=YA点A到W面的距离：Aa″=a′aZ=aaYH=OaX=XA点在三投影面体系中的投影规律：已知点的3个坐标可以作出点的投影，已知点的任意两个投影就能确定点的3个坐标，也必能作出其第三投影。点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即aa⊥OX。点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即aa⊥OZ。点的水平投影a到OX轴的距离等于侧面投影a到OZ轴的距离，即aaX=aaZ。【案例2-1】已知点B的V面投影b和W面投影b，求作点B的H面投影b。②过b作直线垂直于OYW轴与45°辅助线相交，过交点作直线平行于OX轴③过b作直线垂直于OX轴，与以上直线相交于点b，即为所求①求点B的H面投影b【案例2-2】已知点A（18,10,15），求作A点的三面投影①画出投影轴，在OX轴上量取18，得到aX②过aX作OX的垂线，在此垂线上向下量取10得a；向上量取15得a′③由投影a、a′作出a″2.特殊位置点的投影特殊位置点的投影（1）投影面上的点。一个坐标为0，一个投影在投影面上，另外两个投影分别在投影轴上。（2）投影轴上的点。两个坐标为0，有两个投影在投影轴上重合，另一个投影在原点。（3）与原点重合的点。3个坐标都为0，3个投影都与原点重合。1)．两点的相对位置两点相对位置投影2.3.2两点的相对位置空间两点的相对位置是指两点在空间的左右、前后、上下的位置关系，由两点的坐标差来决定。左右位置关系由正面和水平投影来判断，X坐标大的在左。前后位置关系由水平和侧面投影来判断，Y坐标大的在前。上下位置关系由正面和侧面投影来判断，Z坐标大的在上。若以A点为基准点，则B点对A点的一组坐标差分别如下:若Δx、Δy、Δz为正时，则B点在A点的左、前、上方。若Δx、Δy、Δz为负，则B点在A点的右、后、下方。X轴方向坐标差：Δx＝XB－XAY轴方向坐标差：Δy＝YB－YAZ轴方向坐标差：Δz＝ZB－ZA【案例2-3】已知点A的三面投影，点B在其右方14、上方12、前方8，求作B点的三面投影③求B点的三面投影①由aX沿X轴向右量取Δx=14，得到bX，过bX作直线垂直于OX轴，沿OYH轴向前量取Δy=8，得到b，沿OZ轴向上量取Δz=12，得到b′②由两个投影求出第三投影2)．重影点重影点的投影对正面、水平和侧面投影的重影点的可见性判别分别是前遮后、上遮下、左遮右。空间两点处于同一投射线上时，这两点在该投射线垂直的投影面上的投影重合，这两点称为对该投影面的重影点。重影点有两个坐标相同，可以由另一个不同的坐标来判断其可见性，不可见的投影须加注括号。直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为一点。可先画出直线两端点的投影，然后用直线连接其同面投影即可。2.4.1直线的三面投影2.4直线的投影1.一般位置直线2.4.2各种位置直线的投影与3个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线，对H、V、W这3个投影面的倾角分别用、、来表示，3个投影的长度如下。（1）一般位置直线的3个投影的长度均小于实长。（2）一般位置直线直线的3个投影都与投影轴倾斜，且与投影轴的夹角均不反映空间直线对投影面的倾角。ab=AB·cos＜ABab=AB·cos＜ABab=AB·cos＜AB2.投影面平行线平行于一个投影面、倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。投影面平行线又分为以下3种:正平线：平行于V面，倾斜于H、W面。水平线：平行于H面，倾斜于V、W面。侧平线：平行于W面，倾斜于V、H面。投影面平行线的投影特性：投影面平行线的三面投影特性可以概括为“一斜两平”，即三面投影中，一个是斜线，另两个与相应投影轴平行。（1）直线在所平行的投影面上的投影为反映实长的斜线，与投影轴的夹角等于直线对另外两个投影面的倾角。（2）其余两投影的长度均小于实长，并平行于相应的投影轴。3.投影面垂直线垂直于一个投影面、同时平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。投影面垂直线又可分为以下3种:正垂线：垂直于V面，平行于H、W面。铅垂线：垂直于H面，平行于V、W面。侧垂线：垂直于W面，平行于V、H面。投影面垂直线的投影特性投影特性可概括为：“一点两垂”，即三面投影中，一个积聚成点，另两个与相应投影轴垂直。（1）直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。（2）其余两投影反映线段实长，并分别垂直于相应的投影轴。直线上的点2.4.3直线上的点属于直线上的点，其投影仍属于直线的投影，且点分线段的比例投影后不变。如果点的各面投影都在直线的同面投影上，则该点一定在该直线上。若点在直线上，则点的各面投影必在该直线的同面投影上。【案例】已知直线AB的正面投影a′b′、水平投影ab以及直线上点K的正面投影k′，求其水平投影k。方法1：方法2：分析：由于直线AB是侧平线，不能直接由k′求出k，所以需根据点在直线上的投影性质及点分线段成定比的规律来求。1．求出AB的侧面投影a″b″1．过a点作辅助线2．求出K的侧面投影k″3．依投影规律，由k′、k″求出k2．量取ak0=a′k′，k0b0=k′b′3．连接b0b，过k0作b0b的平行线交ab于k点，即为所求1.两直线平行两直线平行2.4.4两直线的相对位置若空间两直线相互平行，则它们的各组同面投影必相互平行；若两直线的各组同面投影均相互平行，则两直线在空间必定相互平行。两直线平行的判定方法如下：两直线平行的判定（1）当两直线均为一般位置时，只要有两对同面投影互相平行就可判定两直线在空间平行。（2）当两直线均为某一投影面的平行线时，则需根据其在所平行的那个投影面上的投影是否平行来判定两直线是否平行。2.两直线相交两直线相交若空间两直线相交，则它们的各组同面投影都相交，且交点的投影符合点的投影规律；反之，若两直线的各组同面投影都相交，且交点的投影符合点的投影规律，则该两直线在空间必相交。3.两直线交叉两直线交叉从重影点入手画一根垂直于投影轴的直线到另一个投影，就可以得到重影点不重合的两个投影点，两个点中坐标值大的点为可见点，坐标值小的点为不可见点，不可见点的投影应加括号。如果空间两直线既不平行也不相交，则称为两直线交叉。交叉两直线的投影可能有1组、2组甚至3组都是相交的，但它们的交点不符合点的投影规律，是重影点的投影。平面的空间位置可由下列几种方法来确定。平面的表示法2.5.1平面的表示法不在同一直线上的3个点。直线及直线外一点。两平行直线。两相交直线。任意平面图形。2.5平面的投影1.一般位置平面一般位置平面及其投影一般位置平面的投影特征是：三个投影均为缩小的类似形，而且不反映该平面与投影面的倾角。2.5.2各种位置平面的投影对3个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，平面对H、V、W这3个投影面的倾角分别用、、γ表示2.投影面垂直面垂直于一个投影面、倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。投影面垂直面又分为以下3种。正垂面──垂直于V面，倾斜于H、W面。铅垂面──垂直于H面，倾斜于V、W面。侧垂面──垂直于W面，倾斜于V、H面。投影面垂直面的投影特性：（1）平面在所垂直的投影面上的投影积聚为斜线，与两投影轴的夹角分别反映平面对其他两投影面的倾角。（2）其他两面投影为缩小的平面图形的类似形。3.投影面平行面平行于一个投影面同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。投影面平行面又分为以下3种：正平面──平行于V面的平面。水平面──平行于H面的平面。侧平面──平行于W面的平面。投影面平行面的投影特性（1）平面在所平行的投影面上的投影反映实形。（2）其他两面投影积聚为直线，且分别平行于所平行的投影面上的两根投影轴。1.平面上的直线平面上的直线2.5.3平面上的直线和点直线在平面上的几何条件是：直线通过平面上的两点，或者直线通过平面上的一点且平行于平面上的另一直线。2.平面上的点平面上的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的任一直线上，则该点必在此平面上。两相交直线AB和BC决定一平面，点D在直线AB上，点E在直线BC上，因此点D、E均在AB和BC所决定的平面上。特殊位置平面上的点可利用积聚性直接求。在一般位置平面上求点应先在平面上作一条辅助直线，然后在辅助直线的投影上取得点的投影，这种作图方法称为辅助直线法。①已知平面上K点的正面投影k′②过k′点作平面内直线MN的投影m′n′③由k′点作OX轴的垂线，在mn上得到k点