高三数学：直击2020之《高考风向标》第八章——平面向量

PAGE第八章平面向量知识网络向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积平面向量的基本定理及坐标表示向量的坐标运算物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件向量的夹角向量的模两点间的距离第1讲向量的概念与线性运算★知识梳理★1．平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示.特别提醒：模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或||.零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2．向量的线性运算1.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b特殊情况：对于零向量与任一向量a，有aaa（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______（3）运算律：____a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______2.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.已知向量a、b，求作向量∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作=a,=b,则=ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量注意：表示ab强调：差向量“箭头”指向被减数用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一abAABBB’OabaabbOAOBababBAOba∥b∥cab=a+(b)ab（2）法则：____三角形法则_______3.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.特别提醒：向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.★重难点突破★1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．3.重难点：.问题1:相等向量与平行向量的区别答案：向量平行是向量相等的必要条件。问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。问题3：对于两个向量平行的充要条件：a∥ba=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.问题4；向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段★热点考点题型探析★考点一：向量及与向量相关的基本概念题型1.概念判析[例1]判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向(2)若(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若，，则；(7)若，，则(8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9)的充要条件是且；[解题思路]：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。解析：解：(1)不正确，零向量方向任意,(2)不正确，说明模相等,还有方向(3)不正确，单位向量的模为1,方向很多(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式(5)正确，（6）正确，向量相等有传递性（7）不正确，因若，则不共线的向量也有，。(8)不正确,如图（9）不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到；【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。【新题导练】1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2．下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.考点二:向量的加、减法题型1:考查加加、减法运算及相关运算律[例2]化简[解题思路]：考查向量的加、减法，及相关运算律。解法一（统一成加法）==解法二（利用）===解法三（利用）设O是平面内任意一点，则===【名师指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律．题型2:结合图型考查向量加、减法[例3](2020·广州市一模)在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是()A．B．C．D．BCAP5-1-2[解题思路]：本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解．【解析】由,得,即,所以点是边上的第二个三等分点,如图所示.故．【名师指引】三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．【新题导练】3．若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.解析：记3ｍ＋2ｎ＝ａ①ｍ－３ｎ＝ｂ②3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ.∴ｎ＝ａ－ｂ④将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝ａ＋ｂ4．如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，eq\o(CA,\s\up6(→))=3a，eq\o(CB,\s\up6(→))=2b，求eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))．ABCDE解析：eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CB,\s\up6(→))=－3a+2b，因D、E为eq\o(AB,\s\up6(→))的两个三等分点，故eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))=－a＋b=eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))=3a－a＋b=2a＋b，eq\o(CE,\s\up6(→))=eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))=2a＋b－a＋b=a＋b．考点三:向量数乘运算及其几何意义题型1:三点共线问题[例4]设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值[解题思路]：证明存在实数，使得解析：,使得[例5]已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使eq\o(PC,\s\up6(→))=meq\o(PA,\s\up6(→))+neq\o(PB,\s\up6(→))，且m+n=1．[解题思路]：A、B、C三点共线的一个充要条件是存在实数λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→))．很显然，题设条件中向量表达式并未涉及eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))，对此，我们不妨利用eq\o(PC,\s\up6(→))=eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))来转化，以便进一步分析求证．解析：证明充分性，由eq\o(PC,\s\up6(→))=meq\o(PA,\s\up6(→))＋neq\o(PB,\s\up6(→))，m＋n=1，得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))=meq\o(PA,\s\up6(→))＋n（eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))）=（m＋n）eq\o(PA,\s\up6(→))＋neq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(PA,\s\up6(→))＋neq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))=neq\o(AB,\s\up6(→))．∴A、B、C三点共线．必要性:由A、B、C三点共线知，存在常数λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))+eq\o(PC,\s\up6(→))=λ（eq\o(AP,\s\up6(→))+eq\o(PB,\s\up6(→))）．eq\o(PC,\s\up6(→))=（λ－1）eq\o(AP,\s\up6(→))＋λeq\o(PB,\s\up6(→))=（1－λ）eq\o(PA,\s\up6(→))＋λeq\o(PB,\s\up6(→))，m=1－λ，n=λ，m＋n=1，eq\o(PC,\s\up6(→))=meq\o(PA,\s\up6(→))＋neq\o(PB,\s\up6(→))．【名师指引】1、逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识．2、这是一个重要结论，要牢记。题型2:用向量法解决几何问题[例6]已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4[解题思路]：由平行四边形的对角线互相平分和相等向AODCB量的定义可得。解析：证明：∵E是对角线AC和BD的交点∴==,==在△OAE中，+=同理+=，+=，+=以上各式相加，得+++=4【名师指引】用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译【新题导练】5-1-35．已知、是两个不共线的向量，若它们起点相同，、、t（+）三向量的终点在一直线上，则实数t=_________.【解析】如图,∵、、t（+）三向量的终点在一直线上,∴存在实数使:t（+）—=（—）得（t—）=（——t）又∵、不共线，∴t—=0且——t=0解得t=6．向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知四边形ABCD，AC与BD交于O，AO=OC，DO=OB，求证：ABCD是平行四边形。证：如图：∵又由已知∴，故AB与DC平行且相等，所以ABCD是平行四边形。★抢分频道★基础巩固训练1.判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）共线向量一定在同一条直线上。（）（2）所有的单位向量都相等。（）（3）向量共线，共线，则共线。（）（4）向量共线，则（）（5）向量，则。（）（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。（）解：（1）错。因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上。（2）错。单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意义。（3）错。注意到零向量与任意向量共线，当为零向量时，它不成立。（想一想：你能举出反例吗？又若时，此结论成立吗？）（4）对。因共线向量又叫平行向量。（5）错。平行向量与平行直线是两个不同概念，AB、CD也可能是同一条直线上。（6）错。平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反。2.(四川省成都市一诊)在四边形ABCD中，“EQ\o(AB,\s\up5(→))＝2\o(DC,\s\up5(→))”是“四边形ABCD为梯形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件答案：A四边形ABCD为梯形，但反之不成立.选A3．已知向量，若向量共线，则下列关系一定成立的是（）A、B、C、D、或答案：D提示：考虑情况要充分。4．．D、E、F分别是△ABC的BC、CA、AB上的中点，且，，给出下列命题，其中正确命题的个数是（）①②③④A、1B、2C、3D、4答案：D提示：结合图形及向量加减法的几何意义，易得4个命题均是正确命题。5．已知：，则下列关系一定成立的是（）A、A，B，C三点共线B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线D、B，C，D三点共线答案：C解析：，所以C，A，D三点共线6．（广东北江中学2020高三统测）若则向量的关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．不确定ABCD答案：C提示：分别表示平行四边形的两条对角线，它们相等，即说明四边形ABCD为矩形。故选C综合拔高训练7．(安徽省合肥市2020年高三 年级 六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件 第一次质检)如图，已知，用表示，则（）A．B．C．D．答案：B解析：8．已知+=，-=，用、表示=。答案：提示：（+）+（-）=+=所以=9．已知，且，试求t关于k的函数。答案：，则-3t=(2t+1)(k2–1)10．如图，在△OAB中，，，AD与BC交于M点，设，，（1）试用和表示向量（2）在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使EF过M点，设，。求证：。解：（1）设，则+，，∵A、M、D三点共线，∴共线，∴∴m+2n=1……①而，=，∵C、M、B三点共线，∴共线∴=∴4m+n=1……②联立①、②解得m=，n=，故。（2）证明：∵=（-），=∵共线，∴=∴-∴。第2讲平面向量的基本定理与坐标表示★知识梳理★1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量，有且只有_一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2特别提醒：(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个__单位向量_、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………eq\o\ac(○,1)，我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，，，特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3．平面向量的坐标运算（1）若，，则=，=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差（2）若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标（3）若和实数，则实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标4．向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1,y1)，=(x2,y2)其中∥()的充要条件是★重难点突破★1.重点：（1）了解平面向量基本定理及其意义,了解基底和两个非零向量夹角的概念,会进行向量的分解及正交分解；（2）理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；2.难点：用坐标表示的平面向量共线的条件,能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否共线.3.重难点：（1）平行的情况有方向相同和方向相反两种问题1：和=(3,－4)平行的单位向量是_________；错解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即(EQ\F(3,5)，－EQ\F(4,5))错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。正解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(EQ\F(3,5)，－EQ\F(4,5))或(－EQ\F(3,5)，EQ\F(4,5))BCAOMD★热点考点题型探析★考点一：平面向量基本定理题型1.利用一组基底表示平面内的任一向量[例1]在△OAB中，，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.[解题思路]：若是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向量都可用线性表示.本例中向量,可作基底,故可设=m+n,为求实数m,n,需利用向量与共线,向量与共线,建立关于m,n的两个方程.解析：设=m+n，则,∵点A、M、D共线，∴与共线，∴，∴m+2n=1.①而，∵C、M、B共线，∴与共线，ABCQRP∴，∴4m+n=1.②联立①②解得:m=，n=，∴[例2]已知是所在平面内一点,的中点为,的中点为,的中点为.证明:只有唯一的一点使得与重合.[解题思路]：要证满足条件的点是唯一的,只需证明向量可用一组基底唯一表示.解析：[证明]设，则,由题设知:由于,是确定的向量，所以是唯一的一个向量，即所在平面内只有唯一的一点使得与重合.【名师指引】解决此类类问题的关键在于以一组不共线的向量主基底，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把其它相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程，从而解出相应的值。【新题导练】1．若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是()A．与—B．3与2C．＋与—D．与2BACPNM答案：D2．在△ABC中,已知AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4，BN与CM交于点P,且,试用表示.解：∵AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4,，∴，，∵M、P、C三点共线，故可设，t∈R,于是，……①同理可设设，s∈R,．…②由①②得，由此解得，∴．考点二:平面向量的坐标表示与运算题型1:向量加、减、数乘的坐标运算[例3]已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且,,求点M、N的坐标及向量的坐标.[解题思路]：利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解。解析：∵A（—2，4）、B（3，—1）、C（—3，—4）∴∴=3（1，8）=（3，24），=2（6，3）=（12，6）设，则因此得，∴同理可得，∴=（9—0，2—20）=（9，—18）【名师指引】灵活运用向量的坐标运算 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 。【新题导练】若A(0,1),B(1,2),C(3,4)则2=答案：(-3,-3)解：2=（1，1）2（2，2）=(-3,-3)4．若M(3,-2)N(-5,-1)且,求P点的坐标；解：设P(x,y)则(x-3,y+2)=(-8,1)=(-4,)∴∴P点坐标为(-1,-)考点三:向量平行的充要条件题型1:平行、共线问题[例4]（广东省www.ks5u.com高明一中2020届高三月考）已知向量，，若∥，则锐角等于（）A．B．C．D．[解题思路]：已知a、b的坐标，当求a//b时，运用两向量平行的充要条件x1y2－x2y1=0可求值．解析：B解：，故选B【名师指引】数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键．本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到．【新题导练】5．若向量=(-1,x)与=(-x,2)共线且方向相同，求x解：∵=(-1,x)与=(-x,2)共线∴(-1)×2-x•(-x)=0∴x=±∵与方向相同∴x=6．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。(2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。解：(1)=(1+3t,2+3t)，若P在x轴上，只需2+3t=0，∴；若P在y轴上，只需1+3t=0，∴；若P在第二象限，只需∴(2)∵若OABP为平行四边形，则由于无解，故四边形OABP不能构成平行四边形。★抢分频道★基础巩固训练1.（广东省惠州市2020届高三第二次调研考试）设平面向量，则（）A．B．C．D．答案：B解析：2.（广东省深圳外国语学校2020届高三统测（数学理））在中，，．若点满足，则()A．B．C．D．答案：A解析：由，，3．已知a=（1，2），b=（－3，2），当ka+b与a－3b平行，k为何值（）AB－C－D答案：C解析：由已知a=（1，2），b=（－3，2），得a－3b=（10，－4），ka＋b=（k－3，2k＋2）．因（ka＋b）∥（a－3b），故10（2k＋2）＋4（k－3）=0．得k=－．4．（广东省黄岐高级中学2020届高三月考）如图,线段与互相平分,则可以表示为()A.B.C.D.答案：B线段与互相平分，所以=5．如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为()A．B．C．D．答案：B[解析]如图,设,则由平行四边形法则知NP∥AB，所以=，同理可得。故,即选B.6．（2020年广东省广州市高三年级调研测试数学（理科））如图，在△中，已知，，，ABCHM于，为的中点，若，则.答案：解析：，，所以BH=1，为的中点，所以综合拔高训练7．（广东省深圳外国语学校2020届高三统测（数学理））已知向量，，则的最大值为．答案：2解析：＝.8．(江西省鹰潭市2020届高三第一次模拟)已知向量，若不超过5，则的取值范围是．答案：[-6，2]解析：=解得的取值范围是[-6，2]9．已知,当实数取何值时,＋2与2—4平行？【解析】方法一:∵2—4,∴存在唯一实数使＋2=2—4）将、的坐标代入上式得（—6，2＋4）=14，—4）得—6=14且2＋4=—4，解得=—1方法二：同法一有＋2=（2—4）,即（—2＋（2＋4=0∵与不共线，∴∴=—110．已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))．当t变化时，点P是否在一条定直线上运动？当t取何值时，点P在y轴上？OABP能否成为平行四边形？若能求出相应的t值；若不能，请说明理由．解：（1）由eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))可得eq\o(AP,\s\up6(→))=teq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))都过A点，故A、P、B三点在同一条直线上，而A、B为定点，所以P点恒在直线AB上运动.（2）eq\o(OP,\s\up6(→))=（1＋3t，2＋3t），若P在y轴上，则1＋3t=0，t=－.（3）A、B、P三点在同一条直线上，OABP不可能为平行四边形，若用eq\o(OA,\s\up6(→))=eq\o(PB,\s\up6(→))可列方程组，但方程组无解.第3讲平面向量的数量积★知识梳理★1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作＝，＝，则_∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.特别提醒：向量与向量要同起点。2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos__叫与的数量积，记作，即有=||||cos特别提醒：（０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量==||cos；=0当与同向时，=||||；当与反向时，=||||特别的=||2或cos=；||≤||||3．“投影”的概念：如图定义：_____|b|cos_______叫做向量b在a方向上的投影特别提醒：投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|4．平面向量数量积的运算律交换律：=数乘结合律：()=()=()分配律：(+)=+5．平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，所以6.平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么：7.向量垂直的判定：设，，则8.两向量夹角的余弦（）cos=★重难点突破★1.重点：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；2.难点：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题3.重难点：.(1)向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别问题1:两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。例：规定，·=·=0(不是零向量，注意与λ=(λ∈R)区别)（2）向量数量积与实数相关概念的区别问题2:表示方法的区别数量积的记号是，不能写成，也不能写成(所以有时把数量积称为“点乘”，记号另外有定义，称为“叉乘”)．问题3:相关概念及运算的区别⑴若a、b为实数，且a·b=0，则有a=0或b=0，但·=0却不能得出=或=．因为只要⊥就有·=0，而不必=或=．⑵若a、b、c∈R，且a≠0，则由ab=ac可得b=c，但由·=·及≠0却不能推出=．因若、夹角为θ1，、夹角为θ2，则由·=·得||·||cosθ1=||·||cosθ2及||≠0，只能得到||cosθ1=||cosθ2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图)．⑶若a、b、c∈R，则a(bc)=(ab)c(结合律)成立，但对于向量、、，则(·)·与·(·)都是无意义的，这是因为·与·是数量，已不再是向量了，而数量与向量是没有点乘定义的．同时，(·)≠(·)，这是因为数量·与向量相乘是与共线的向量，而数量·与向量相乘则是与共线的向量，所以一般二者是不等的．这就是说，向量的数量积是不满足结合律的．⑷若a、b∈R，则|a·b|=|a|·|b|，但对于向量、，却有|·|≤||·||，等号当且仅当∥时成立．这是因为|·|=||·||·|cosθ|而|cosθ|≤1．★热点考点题型探析★考点一：平面向量数量积的运算题型1.求数量积、求模、求夹角[例1]；[解题思路]：直接用定义或性质计算解析：[例2][解题思路]：考虑公式cos=。解析：【名师指引】注意公式，当知道的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求它们的夹角。题型2。利用数量积解决垂直问题[例3]若非零向量、满足，证明:[解题思路]：只须证明。解析：[证明]由得:展开得:,故[例4]在△ABC中，=(2,3)，=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值[解题思路]：注意分情况计论解析：当A=90时，=0，∴2×1+3×k=0∴k=当B=90时，=0，==(12,k3)=(1,k3)∴2×(1)+3×(k3)=0∴k=当C=90时，=0，∴1+k(k3)=0∴k=【名师指引】是一个常用的结论。【新题导练】1．（广东省普宁市城东中学2020届高三上学期第三次月考）已知向量，，若，则（）A．B．C．D．答案：D解析：解得2．执信中学2020学年度高三数学试卷知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（）A．B．C．D．答案：C解析：由可得即所以角，且及可得考点2利用数量积处理夹角的范围题型1：求夹角范围[例5]已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是()A.[0,]B.C.D.[解题思路]：要求两向量夹角θ的取值范围,可先求cosθ的取值范围.解析：由关于的方程有实根，得:.设向量的夹角为θ，则cosθ=,又，∴θ∈.[答案]B.【名师指引】要求两向量夹角θ的取值范围,可先求cosθ的取值范围.【新题导练】3．设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围[解析]，的夹角为钝角,解得或(1)又由共线且反向可得(2)由(1),(2)得的范围是4．已知，,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是答案：或且解析：与的夹角为锐角即且，可得或且★抢分频道★基础巩固训练1.2020年广东省广州市高三调研测试数学（理科）已知向量a=（x，1），b=（3，6），ab，则实数的值为A．B．C．D．答案：B解析：2.（广东省深圳市2020届高三九校联）已知，，和的夹角为，则为（）A．B．C．D．答案：C解析：，又可得=3．广东省北江中学2020届高三上学期12月月考(数学理)内有一点,满足,且.则一定是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形答案：D解析：为重心，由可知一定是等腰三角形4．广东省恩城中学2020届高三模拟考试（数学理）在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量，若,则角A的大小为（）A.B.C.D.答案：B解析：由可得即所以角A=5．广东省华南师范附属中学2020届高三综合测试己知向量，与的夹角为60°，直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．随的值而定答案：C解析：与的夹角为60°所以圆心到直线距离为故选C6．广州市海珠区2020届高三综合测试设是边长为1的正三角形,则=.答案：解析：=综合拔高训练7．广东省揭阳二中2020届高三上学期期 中考 中考数学全套课件中考心理辅导讲座中考语文病句辨析修改中考语文古诗文必背中考单选题精选 试（数学理）已知＝(－1,3)，＝(2,－1)，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m若(k＋)⊥(－2)，则k＝．答案：解析：k＋=（2－k，3k－1），－2=（－5，5）所以(k＋)(－2)=0可得k=8．（广东省华南师范附属中学2020届高三综合测试）设平面上向量与不共线，（广东省华南师范附属中学2020届高三综合测试（数学理））设平面上向量与不共线，证明向量与垂直当两个向量与的模相等，求角．解析：（1）（2）由题意：得：，得又得或9．（广东省五校2020届高三上学期第二次联考（数学理））设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;解：（Ⅰ）解法一：易知,所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以设，则…10．广东省恩城中学2020届高三上学期中段考试（数学理）在△ABC中，已知．(1)　求AB边的长度；(2)证明：；（3）若,求．解：（1）∵∴∵∴,即AB边的长度为----------------4分(2)　由得--------------------①即--------------------②-----6分由①②得,由正弦定理得∴∴-----------------------------------------------9分(3)∵，由（2）中①得由余弦定理得=∴=--------------------------------------------------------------------------14分第4讲平面向量的应用★知识梳理★利用向量处理几何问题的步骤为：建立平面直角坐标系；设点的坐标；求出有关向量的坐标；利用向量的运算计算结果；SFα得到结论.2.平面向量在物理中的应用如图5-4-3所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W=|F||S|cosα.重要不等式：特别提醒：常用于求参数的范围★重难点突破★1.重点：会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,如确定力或速度的大小以及方向.2.难点：加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力3.重难点：.1熟悉向量的性质及运算律；2能根据向量性质特点构造向量；3熟练平面几何性质在解题中应用；4熟练向量求解的坐标化思路5认识事物之间的内在联系；6认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识★热点考点题型探析★考点一：平面向量在平面几何题型1.用向量证明几何题[例1]已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线求证AC⊥BD[解题思路]：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件解析：证法一：∵＝＋，＝－，∴·＝（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝O∴⊥证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）则由｜AB｜＝｜BC｜得a2＋b2＝c2∵＝－＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）∴·＝c2－a2－b2＝O∴⊥即AC⊥BD【名师指引】如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用。【新题导练】1．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.[解析]设=b，=a，则=+=b+a,=b+a∵A,G,D共线，B,G,E共线ABCEFDG∴可设=λ，=μ,则=λ=λ(b+a)=λb+λa,=μ=μ(b+a)=μb+μa,∵即：b+(μb+μa)=λb+λa∴(μλ)a+(μλ+)b=0∵a,b不平行，∴2．已知，若动点满足，求动点P的轨迹方程.[解析]由已知得，化简得,这就是动点P的轨迹方程.考点二:平面向量与三角函数、函数等知识的综合应有用题型1:与函数综合题[例2]广东省华南师大附中2020届高三综合测试（数学理）为△的内角A、B、C的对边，，，且与的夹角为，求C；[解题思路]：考查向量数量积运算及三角函数二倍角公式解析：∵，∴又∴，∴[例3]广东省揭阳二中2020届高三统测（数学理）已知A、B、C是直线上的不同的三点，O是外一点，向量满足,记.求函数的解析式；[解题思路]：A、B、C三点共线，解析：A、B、C三点共线，………3分【名师指引】涉及与三角综合的题目，多数只利用向量的基本运算，把问题转化为三角问题，以考查三角函数知识为主。三点共线是一个常考常新的知识点。要记住常用结论：A、B、C三点共线，【新题导练】3．广东省高明一中2020届高三月考（数学理）已知向量，，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．答案：A解析：又所以选A4．广东省揭阳二中2020届高三统测（数学理）在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边；若向量与的夹角为，求角B的大小解：由题意得：，即0|a|B．s<|a|C．s=|a|D．s与|a|不能比大小答案：A2.已知，，，点C在内，且，设，则等于（）A．　B．3C．D．答案B∵，，∴△ABC为直角三角形，其中∴∴即故本题的答案为B．3.(2020·广东省实验中学高三第三次阶段考)在△ABC中，已知向量，则△ABC为（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形答案：D[解析]非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又=eq\f(1,2)，∠A=，所以△ABC为等边三角形4.在ΔABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值为.答案:如图，设，则，所以，故当时，取最小值-2.5.一个30º的斜面上放有一个质量为1kg的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大_________力;若表示球的重力的向量为p，球对斜面的压力为ω，则球的重力沿斜面方向的分力f=___________保持球在斜面上静止不动的推力f′=答案：4.9N,f=p－ω,,f′=－f=ω－p6.（2020·佛山石门中学检测）在直角坐标系中，已知点A（0，1）和点B（—3，4），若点C在∠AOB的一平分线上，且，则____________.答案：［解析］∵点C在∠AOB的一平分线上,∴设==又,∴，得,∴综合拔高训练7．广州市海珠区2020届高三上学期综合测试二(数学理)已知：A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，，.求角A的大小；解:(Ⅰ)=……1分=……2分∵……4分……6分∵……7分.……8分8．已知A、B、C三点的坐标分别为、、（1）若的值；（2）若解：（1），（2）由9．四边形中，（1）若，试求与满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，求的值及四边形的面积。解：,-----------2分（1）,故有---------4分化简得：--------------5分（2）又则--------7分化简有：-----------8分联立解得或----------10分,则四边形为对角线互相垂直的梯形当此时------12分当此时--------------14分10．已知点,为坐标原点，且.（1）若，求与的夹角；（2）若，求tan的值.解:由已知可得且……1分化简得:……3分因为所以……4分……6分又因为所以……7分（Ⅱ）由得……9分即化简得:……10分所以所以即是解得……12分因为且所以……13分又所以……14分第八章综合能力检测一、选择题（第小题5分，共40分）1．向量i=（1，0），j=（0，1），下列向量中与向量垂直的是（）A．B．C．D．答案：B()()=0所以选B2．已知向量a，若向量与垂直，则的值为（）A．B．7C．D．答案：A()()=3．设，，则满足条件，的动点P的变化范围（图中阴影部分含边界）是（）A．B．C．D．答案：A设P点坐标为，则.由，得，在平面直角坐标系中画出该不等式组表示的平面区域即可，选A．4．如图，非零向量（）A．B．C．D．答案：A解析：即即可得答案A5．在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形答案：C解析∵==－8a－2b=2，∴.∴四边形ABCD为梯形.6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)那么A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1答案：D解析：A，B，C三点共线即存在实数使得=即λa＋b=（a＋μb）所以有λa=a，b=μb，即λ=，1=μ故选D7．已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是（）A．或B．或C．D．答案：B由已知得，所以，因此，由于恒成立，所以，解得或.8．点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）．设开始时点的坐标为（－１０，１０），则５秒后点的坐标为（　　）A　（-2，4）　B　（-30，25）　C　（10，-5）　D　（5，-10）答案：C　设5秒后点P运动到点A,则,∴=(10,-5).二、填空题（第小题5分，共30分，其中13~15是选做题，选做两题）9．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若，，且∠C=90°则的值是;答案：由平面向量的坐标表示可得：由，得.10．若菱形的边长为，则__________。答案：211．已知向量的夹角的大小为.解析：．12．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c=，则向量a与c的夹角为;答案：由题意得a·c=a·=a·a-=a·a-a·a=0，因此a与c的夹角是.13．（选做题）设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是;答案：14．（选做题）设向量与的夹角为，，，则　　　．解析：设向量与的夹角为且∴，则=.15．（选做题）P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　）答案：垂心由.即，则所以P为的垂心.三、解答题（共80分）16．（本题满分13分）已知A,B,C是三角形ABC三内角，向量m=(-1,),n=(cosA,sinA),且m·n=1.求角A;m·n=1，即…（4分）。…（13分）17．（本题满分13分）已知开口向上的二次函数f(x)，对任意，恒有成立，设向量a=，b=(1,2)。求不等式f(a·b)