专题二：平行四边形常用辅助线的作法(精排版)

专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法一、知识点1．四边形的内角和与外角和 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 ：（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°.2．多边形的内角和与外角和定理：（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°.3．平行四边形的性质：性质判定四边形ABCD是平行四边形4、平行四边形判定方法的选择5、和平行四边形有关的辅助线作法（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.（2）利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.求证:ED+FG=AC.（3）利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例4、如图，在平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例5、如右图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，如果，，，那么的取值范围是（）A、B、C、D、（6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例6、已知：如图，四边形为平行四边形求证：（7）延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例7、已知：如右上图4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：课堂练习：1、如图，是平行四边形的边的中点，与相交于点，若平行四边形的面积为，则图中面积为的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个___________四边形．如图，AD，BC垂直相交于点O，AB∥CD，BC=8，AD=6，则AB+CD的长=___________。4、已知等边三角形ABC的边长为a，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，猜想：PD＋PE+PF=______，并证明你的猜想．5、平行四边形ABCD中，分别是四条边上的点，且,试说明：与相互平分．6、如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H．试说明：GF∥EH．B7、如图，已知，B是AD的中点，E是AB的中点．试说明：DE8、如图，E是梯形ABCD腰DC的中点．试说明：9、已知六边形ABCDEF的6个内角均为120°，CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF=5cm，试求此六边形的周长．10、已知是等腰三角形，AB=AC，D是BC边上的任一点，且，垂足分别为E、F、H，求证：已知：在中，；在中，；连结，取的中点，连结和．（1）若点在边上，点在边上且与点不重合，如图①，求证：且；（2）如果将图8-①中的绕点逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．图①图-②答案：例4、⑴连结⑵⑶证明：连结,设交于点O∵四边形为平行四边形∴∵∴即∴四边形为平行四边形∴例5、解：将线段沿方向平移，使得,,则有四边形为平行四边形,∵在中,,,∴，即解得故选A例6、证明：过分别作于点，的延长线于点F∴则∵四边形为平行四边形∴∥且,∴∵∴∴∴例7、证明：延长交的延长线于点∵四边形为正方形∴∥且,,∴又∵,∴≌∴∵∴∵∴≌∴∵∴∴,则∴课堂练习1、C2、平行3、104、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：观察图形，EF与HG为四边形HEGF的对角线，若能说明四边形HEGF是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到EF与GH相互平分。分析：观察图形，GF与EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边形EHFG是平行四边形，平行四边形具有对边平行的性质可得GF∥EH．分析：延长CE至F，使EF＝CE，连结AF、BF，得四边形AFBC是平行四边形，利用平行四边形的性质证明△DBC≌△FBC即可。分析：过点E作MN∥AB，交BC于N，交AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形，△ABE与四边形ABNM等底等高，所以S△ABE＝S平行四边形ABNM，接下来说明S梯形ABCD＝S平行四边形ABNM即可。9、10、证明：过D点作DG⊥CH于G又DE⊥AB于E，CH⊥AB于H∴四边形DGHE为矩形∴DE＝GHEH∥DG∴∠B＝∠GDC又AB＝AC∴∠B＝∠ACB∴∠GDC＝∠ACB又∠DGC＝∠DFC＝90°CD＝DC（公共边）∴△CDG≌△DCF（AAS）∴DF＝CG又CH＝CG＋GH∴CH＝DF＋DG（等量代换）11、平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1，在平行四边形中，点在对角线上，且,请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结⑵⑶证明：连结,设交于点O∵四边形为平行四边形∴∵∴即∴四边形为平行四边形∴第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2，在平行四边形中，对角线和相交于点O，如果，，，那么的取值范围是（）ABCD解：将线段沿方向平移，使得,,则有四边形为平行四边形,∵在中,,,∴，即解得故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3，四边形为平行四边形求证：证明：过分别作于点，的延长线于点F∴则∵四边形为平行四边形∴∥且,∴∵∴∴∴第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4：已知：如右上图4，在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：证明：延长交的延长线于点∵四边形为正方形∴∥且,,∴又∵,∴≌∴∵∴∵∴≌∴∵∴∴,则∴第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5，在平行四边形中，点为边上任一点，请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长与的延长线相交于，则有∽,∽,∽第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例6已知：如右上图6，在平行四边形中，,,交于，求解：连结交于点,连结∵四边形为平行四边形∴∵∴∥且∴∵∴∴∴∴综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。