贵州省铜仁市明德衡民中学2020学年高中数学 第一章单元检测 新人教A版必修4

PAGE贵州省铜仁市明德衡民中学2020学年高中数学第一章单元检测新人教A版必修4(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各对角中，终边相同的是(　　)．A.eq\f(3,2)π和2kπ－eq\f(3,2)π(k∈Z)B．－eq\f(π,5)和eq\f(22,5)πC．－eq\f(7,9)π和eq\f(11,9)πD.eq\f(20,3)π和eq\f(122,9)π解析　∵eq\f(11,9)π＝2π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,9)))，故－eq\f(7π,9)与eq\f(11π,9)的终边相同．答案　C2．已知角α的终边与单位圆交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，则sinα的值为(　　)．A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．eq\f(1,2)解析　由正弦函数的定义，知sinα＝y＝－eq\f(1,2).答案　B3．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,6)π))的值等于(　　)．A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)解析　sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,6)π))＝－sineq\f(19,6)π＝－sineq\f(7,6)π＝sineq\f(1,6)π＝eq\f(1,2).答案　A4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)．A.eq\f(π,3)B．eq\f(2π,3)C.eq\r(3)D．2解析　设圆的半径为r，则其内接正三角形的边长为eq\r(3)r，即为弧长，利用弧长公式l＝α·r，∴eq\r(3)r＝α·r，∴α＝eq\r(3).答案　C5．要想得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象(　　)．A．向右平移eq\f(π,6)个单位长度B．向右平移eq\f(π,3)个单位长度C．向左平移eq\f(π,3)个单位长度D．向左平移eq\f(π,6)个单位长度解析　函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))可化为y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).要想得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度．答案　A6．函数y＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的一个对称中心是(　　)．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))解析　由题意得3x－eq\f(π,4)＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，解得x＝eq\f(2k＋1π,12)(k∈Z)．当取k＝－2，x＝－eq\f(π,4).即选项C正确．答案　C7．(2020·云南检测)下列各函数值中符号为负的是(　　)．A．sin(－1000°)B．cos(－2200°)C．tan(－10)D．eq\f(sin\f(7π,10)cosπ,tan\f(17π,9))解析　sin(－1000°)＝sin80°>0；cos(－2200°)＝cos(－40°)＝cos40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；eq\f(sin\f(7π,10)cosπ,tan\f(17π,9))＝eq\f(－sin\f(7π,10),tan\f(17π,9))，sineq\f(7π,10)>0，taneq\f(17π,9)<0，故eq\f(sin\f(7π,10)cosπ,tan\f(17π,9))>0.故选C.答案　C8．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，则f(x)的图象(　　)．A．与g(x)的图象相同B．与g(x)的图象关于y轴对称C．向左平移eq\f(π,2)个单位，得g(x)的图象D．向右平移eq\f(π,2)个单位，得g(x)的图象解析　因为f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，故将其图象向右平移eq\f(π,2)个单位，得y＝g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))的图象．答案　D9．如图所示是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一段，它的一个解析式为(　　)．A．y＝eq\f(2,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))B．y＝eq\f(2,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))C．y＝eq\f(2,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))D．y＝eq\f(2,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2,3)π))解析　由图象可知，A＝eq\f(2,3)，T＝eq\f(5π,12)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,12)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，∴y＝eq\f(2,3)sin(2x＋φ)，将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(2,3)))代入，得eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋φ))，φ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(2π,3)，∴y＝eq\f(2,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，故选D.答案　D10．函数y＝tan(sinx)的值域为(　　)．A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))C．[－tan1，tan1]D．以上均不对解析　∵－1≤sinx≤1，∴sinx∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).又∵y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，∴tan(－1)≤y≤tan1，即y∈[－tan1，tan1]．答案　C11．(2020·潍坊检测)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P(x，y)．若初始位置为P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　　)．A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t＋\f(π,6)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,60)t－\f(π,6)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t＋\f(π,6)))D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t－\f(π,3)))解析　由题意知，函数的周期为T＝60，∴ω＝eq\f(2π,60)＝eq\f(π,30).设函数解析式为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t＋φ)).∵初始位置为P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，∴t＝0时，y＝eq\f(1,2)，∴sinφ＝eq\f(1,2)，∴φ可取eq\f(π,6)，∴函数解析式为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,30)t＋\f(π,6))).故选C.答案　C12．已知函数y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))))，以下说法正确的是(　　)．A．周期为eq\f(π,4)B．偶函数C．函数图象的一条对称轴为直线x＝eq\f(π,3)D．函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(5π,6)))上为减函数解析　该函数的周期T＝eq\f(π,2)；因为f(－x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x－\f(π,6)))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))))，因此它是非奇非偶函数；函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(5π,6)))上是减函数，但y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(5π,6)))上是增函数，因此只有C正确．答案　C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．(2020·广州期末)已知sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，则角α的终边在第________象限．解析　由sinα＝eq\f(3,5)>0，得角α的终边在第一、二象限；由cosα＝－eq\f(4,5)<0，得角α的终边在第二、三象限，故角α的终边在第二象限．答案　二14．已知f(x)＝ax3＋bsinx＋1且f(1)＝5，f(－1)的值为________．解析　∵f(1)＝5，∴a＋bsin1＝4，∴－a－b·sin1＝－4，∴f(－1)＝－a－b·sin1＋1＝－3.答案　－315．已知函数f(x)＝eq\r(3)sineq\f(πx,k)的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2＋y2＝k2上，则f(x)的最小正周期为________．解析　T＝eq\f(2π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,k))))＝2|k|.由题意知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|k|,2)，\r(3)))在圆上，∴eq\f(|k|2,4)＋3＝k2，∴|k|＝2，∴T＝4.答案　416．有下列说法：①函数y＝－cos2x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z))))；③在同一直角坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；④把函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度得到函数y＝3sin2x的图象；⑤函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．解析　对于①，y＝－cos2x的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，故①对；对于②，因为k＝0时，α＝0，角α的终边在x轴上，故②错；对于③，作出y＝sinx与y＝x的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，得y＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝3sin2x，故④对；对于⑤，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝－cosx，在[0，π]上为增函数，故⑤错．答案　①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sinα＋cosα的值；(2)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值；(3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为3∶4，求2sinα＋cosα的值．解　(1)∵r＝eq\r(x2＋y2)＝5，∴sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝－eq\f(6,5)＋eq\f(4,5)＝－eq\f(2,5).(2)∵r＝eq\r(x2＋y2)＝5|a|，∴当a>0时，r＝5a，∴sinα＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5)；当a<0时，r＝－5a，∴sinα＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝eq\f(2,5).(3)当点P在第一象限时，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝2；当点P在第二象限时，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝eq\f(2,5)；当点P在第三象限时，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝－2；当点P在第四象限时，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).18．(本小题满分12分)已知tanα＝3，求下列各式的值：(1)eq\f(\r(3)cos－π－α－sinπ＋α,\r(3)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)))；(2)2sin2α－3sinαcosα－1.解　(1)原式＝eq\f(－\r(3)cosα＋sinα,－\r(3)sinα－cosα)＝eq\f(－\r(3)＋tanα,－\r(3)tanα－1)＝eq\f(3－\r(3),－3\r(3)－1)＝eq\f(6－5\r(3),13).(2)原式＝eq\f(2sin2α－3sinαcosα－sin2α－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α－3tanα－tan2α－1,tan2α＋1)＝eq\f(18－9－9－1,9＋1)＝－eq\f(1,10).19．(本小题满分12分)已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(3,2)，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间．(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？解　(1)T＝eq\f(2π,2)＝π，由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z知kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)．所以所求的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．(2)变换情况如下：y＝sin2xeq\o(――――――――→,\s\up15(向左平移\f(π,12)个单位))y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,12)))eq\o(―――――→,\s\up15(将图象上各),\s\do15(点向上平移\f(3,2)个单位))y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(3,2).20．(本小题满分12分)交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解　(1)当t＝0时，E＝110eq\r(3)，即开始时的电压为110eq\r(3)V.(2)T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50)(s)，即时间间隔为eq\f(1,50)s.(3)电压的最大值为220eq\r(3)V.当100πt＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，t＝eq\f(1,300)，即第一次获得最大值的时间为eq\f(1,300)s.21．(本小题满分12分)函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0≤φ≤\f(π,2)))在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，ymax＝3；当x＝6π时，ymin＝－3.(1)求此函数的解析式；(2)求此函数的单调递增区间．解　(1)由题意得A＝3，eq\f(1,2)T＝5π，∴T＝10π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(1,5).∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x＋φ)).∵点(π，3)在此函数图象上，∴3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)＋φ))＝3.∴eq\f(π,5)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z.∵0≤φ≤eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(3π,10).∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x＋\f(3π,10))).(2)当－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(1,5)x＋eq\f(3π,10)≤eq\f(π,2)＋2kπ，即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ时，函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x＋\f(3π,10)))单调递增，所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ](k∈Z)．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0