（新课程）高中数学《2.3.2 数学归纳法的应用》评估训练 新人教A版选修2-2

PAGE第2课时　数学归纳法的应用eq\a\vs4\al\co1(双基达标　限时20分钟)1．利用数学归纳法证明eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是(　　)．A．增加了eq\f(1,2k＋1)这一项B．增加了eq\f(1,2k＋1)和eq\f(1,2k＋2)两项C．增加了eq\f(1,2k＋1)和eq\f(1,2k＋2)两项，同时减少了eq\f(1,k)这一项D．以上都不对解析　不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为eq\f(1,k)＋eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)；当n＝k＋1时，左端为eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)，对比两式，可得结论．答案　C2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)解析　因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．答案　B3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于(　　)．A．f(n)＋n－1B．f(n)＋nC．f(n)＋n＋1D．f(n)＋n＋2解析　要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分．答案　C4．已知Sn＝eq\f(1,1·3)＋eq\f(1,3·5)＋eq\f(1,5·7)＋…＋eq\f(1,2n－12n＋1)，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.解析　分别将1,2,3,4代入观察猜想Sn＝eq\f(n,2n＋1).答案　eq\f(1,3)　eq\f(2,5)　eq\f(3,7)　eq\f(4,9)　eq\f(n,2n＋1)5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析　因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．答案　2　x2k－y2k能被x＋y整除6．用数学归纳法证明：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜2－eq\f(1,n)(n≥2)．证明：(1)当n＝2时，1＋eq\f(1,22)＝eq\f(5,4)＜2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)＜2－eq\f(1,k)，当n＝k＋1时，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k＋12)＜2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,k＋12)＜2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,kk＋1)＝2－eq\f(1,k)＋eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＝2－eq\f(1,k＋1)，命题成立．由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．eq\a\vs4\al\co1(综合提高　限时25分钟)7．用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)>eq\f(11,24)(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是(　　)．A．增加了一项eq\f(1,2k＋1)B．增加了两项eq\f(1,2k＋1)和eq\f(1,2k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项eq\f(1,k＋1)D．增加了A中的一项，但又减少了一项eq\f(1,k＋1)解析　当n＝k时，不等式左边为eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，当n＝k＋1时，不等式左边为eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2).答案　C8．命题P(n)满足：若n＝k(k∈N*)成立，则n＝k＋1成立，下面说法正确的是(　　)．A．P(6)成立则P(5)成立B．P(6)成立则P(4)成立C．P(4)成立则P(6)成立D．对所有正整数n，P(n)都成立解析　由题意知，P(4)成立，则P(5)成立，若P(5)成立，则P(6)成立．所以P(4)成立，则P(6)成立．答案　C9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为________．解析　∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3a－b＋c，,1＋2×3＝322a－b＋c，,1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－3b＋c＝1，,18a－9b＋c＝7，,81a－27b＋c＝34，))解得a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4).答案　a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4)10．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式为________．解析　a1＝2，a2＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(2,19)，猜测an＝eq\f(2,6n－5).答案　an＝eq\f(2,6n－5)11．求证：1＋eq\f(n,2)≤1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n)≤eq\f(1,2)＋n.证明　(1)当n＝1时，f(1)＝1＋eq\f(1,2)，原不等式成立；(2)设n＝k(k∈N*)时，原不等式成立即1＋eq\f(k,2)≤1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)≤eq\f(1,2)＋k成立，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1)≥1＋eq\f(k,2)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1)>1＋eq\f(k,2)＋＝1＋eq\f(k,2)＋eq\f(1,2)＝1＋eq\f(k＋1,2)，f(k＋1)＝f(k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1)≤eq\f(1,2)＋k＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1)<eq\f(1,2)＋k＋∴f(k＋1)<eq\f(1,2)＋(k＋1)即n＝k＋1时，命题成立．综合(1)、(2)可得：原命题对n∈N*恒成立．12．(创新拓展)数列{an}满足Sn＝2n－an，n∈N*，先计算前4项后猜想an，并用数学归纳法证明．证明　当n＝1时，S1＝2－a1，∴a1＝1，n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝eq\f(3,2)，n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝eq\f(7,4)，n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝eq\f(15,8).∴猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1).用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，猜想成立，②假设n＝k时猜想成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)成立．那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋eq\f(2k－1,2k－1)＝eq\f(2k＋1－1,2k－1)，∴ak＋1＝eq\f(2k＋1－1,2k)，即n＝k＋1时猜想成立．由①②可知，对n∈N*猜想均成立．