PAGE2020学年高三数学复习课导学案2.函数的单调性基础导学提纲一、自主梳理1.单调性的定义（叙述出）2.判断函数单调性的方法(1)定义法.（写出步骤）(2)利用基本函数的单调性,举例说明.(3)利用复合函数同增异减这个结论判断，举例说明。(4)利用函数图象上升增下降减进行判断.（指出函数单调性图像特征）（5）利用导数值的符号也能判断函数的单调性.（写出操作过程和判断依据）3.如何说明某函数在其定义域内不单调？二、点击高考1.[2020·课标全国卷]下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|2.[2020·江苏卷]函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．3．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.y=4．函数y=loga(x2+2x-3)，当x=2时，y＞0，则此函数的单调递减区间是()A.(-∞，-3)B.(1，+∞)C.(-∞，-1)D.(-1，+∞)5．若函数f(x)=,则该函数在(-∞,+∞)上是()A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值三、课堂诱思实例点拨【例1】如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(，1）上是增函数，求f(2)的取值范围.剖析:由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11,求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域，当然就应先求其定义域.解:二次函数f(x)在区间(，1)上是增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧，于是≤,解之得a≤2,故f(2)≥-2×2+11=7,即f(2)≥7.【例2】讨论函数f(x)=(a>0)在x∈(-1,1)上的单调性.解:设-1
0,x1x2+1>0,(x12-1)(x22-1)>0.又a>0，∴f(x1)-f(x2)>0,函数f(x)在(-1，1)上为减函数.【例3】求函数y=x+的单调区间.剖析:求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性)，一般有三种方法:(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x与y=的单调性(一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f(x2)-f(x1)的正负.解:首先确定定义域:{x|x≠0},∴在(-∞,0)和(0，+∞)两个区间上分别讨论.任取x1、x2∈(0,+∞)且x10,∴f(x2)-f(x1)>0为增函数.同理可求(3)当x1、x2∈(-1,0)时，为减函数;(4)当x1、x2∈(-∞,-1)时，为增函数.讲评:解答本题易出现以下错误结论:f(x)在(-1，0）∪(0，1）上是减函数，在(-∞,-1)∪(1,+∞)上是增函数，或说f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是单调函数.避免错误的关键是要正确理解函数的单调性概念:函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.链接·拓展求函数y=x+(a>0)的单调区间.提示:函数定义域x≠0，可先考虑在(0,+∞)上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在(-∞,0)上的单调性.答案:在(-∞,-)，(,+∞)上是增函数，在(0,),(-,0)上是减函数.【例4】（2020北京东城模拟）已知定义在R上的函数f(x)对任意的实数x1、x2满足关系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2.(1)证明f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称图形;(2)若x>0,则有f(x)>-2,求证:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.剖析:对于(1),只要证明=-2即可;对于(2),注意到f(x)是抽象函数,欲证单调性,需对f(x)进行适当的变形.证明:(1)令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+2,所以f(0)=-2.对任意实数x,令x1=x,x2=-x,有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2,即f(0)-2=f(x)+f(-x),得=-2.又=0,这
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明点M(x,f(x))与点N(-x,f(-x))的中点是(0,-2),即点M1N关于点(0,-2)成中心对称.由点M的任意性知:函数f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称.(2)对任意实数x1、x2,且x10,有f(x2-x1)>-2.于是f(x2)=f［(x2-x1)+x1］=f(x2-x1)+f(x1)+2.所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+2>-2+2=0,即f(x2)>f(x1).所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.讲评:对于(1),求出f(0)=-2是解题的关键;对于(2),变形f(x2)=f［(x2-x1)+x1］=f(x2-x1)+f(x1)+2是解题的关键.
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