《应用微积分》3.1导数概念

主讲教师：第3章导数与微分导数概念求导法则高阶导数函数的微分导数概念的引入1234导数的定义导数的几何意义单侧导数函数可导与连续的关系5微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中提出.英国数学家Newton变速直线运动的瞬时速度曲线在某点处的切线斜率在古代就引起了数学家们的兴趣。早在17世纪前期，意大利物理学家伽利略就对自由落体中的瞬时速度进行了研究17世纪后，牛顿在研究天体运动的速度时系统地解决了变速直线运动的瞬时速度问题。导数概念的产生源于求:1．变速直线运动的瞬时速度设一物体作变速直线运动，s 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示物体从某个时刻开始到时刻t作直线运动所经过的路程s，则s是时间的函数，现在我们求物体在时刻的瞬时速度。假设物体在时刻的位置为在时刻的位置于是在到这段时间内,物体走过的路程为平均速度令如果这个极限存在，就定义为物体在时刻的瞬时速度，即2．切线问题17世纪前期，人们就对带有特殊性质的曲线的切线进行了研究古希腊数学家阿基米德（Archimedes）对螺旋切线的研究。到17世纪德国数学家莱布尼兹在前人的研究基础上系统的研究了曲线切线的斜率问题。如图所示，设点上一定点，为曲线取为曲线上附近的一动点，作割线Ty=f(x)αx0x0xy设其倾角为则割线的斜率为Ty=f(x)αx0x0xy时，当动点将沿曲线趋于定点从而割线也随之变动而趋向于极限位置—直线称此直线为曲线在定点处的切线。割线的极限位置——切线位置播放割线的斜率的极限：则称K为切线的斜率。其中是切线的倾角。于是曲线在处的切线方程为如果自变量增量，则函数增量这时即：切线的斜率是函数增量与自变量增量之比的极限.两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度：角速度：线密度：电流强度：速度增量与时间增量之比的极限转角增量与时间增量之比的极限质量增量与长度增量之比的极限电量增量与时间增量之比的极限变化率问题设函数在的邻域内有定义，当自变量x在时,有函数增量如果存在，则称函数在处的导数,记作有增量且并称这个极限值为在处的导数,函数定义3.11）若处的导数为无穷大在也说函数3）导数定义的几种等价形式。（3.3）（3.4）在2）在就是函数处的变化率。处随自变量它反映了函数的变化快慢程度。（3.5）（3.6）（3.4）式中的只要是无穷小即可。设某产品生产个单位的总成本为（2）生产第1001个到1200个单位的总成本的平均变化率；（单位:元),试求:（3）生产第1000个单位时总成本的变化率（经济数学中称为边际成本）。（1）生产1000单位的总成本和单位平均成本；例1（1）生产1000单位的总成本是（元）单位平均成本是（元/个）。（2）生产第1001个到1200个单位的总成本的平均变化率是（元/个）。解（3）生产第1000个单位时总成本的变化率是（元/个）为了加深对导数定义的理解，观察下面极限：存在，求已知例2解①已知存在，求②已知存在，求设存在，求原式=例3解②设存在，①和分别被称为函数在点的左导数和右导数，即和记作存在的充分必要条件是和都存在并且相等。讨论在分段点处的可导性。时，当，由左、右导数定义，故函数在点不可导。左导数和右导数统称为单侧导数。例4解定理3.1求下列函数在点的导数①②不可导的情形很多，下列四种情形比较典型，如图所示：计算分段函数在分段点处的左右导数用导数定义。1)若左、右导数存在且相等，则导数存在。2)若左右导数存在但不相等或其中一个不存在，则导数就不存在。11/π－1/π1在点x=0不可导(图3.2)在点x=1不可导(图3.3)在点x=0不可导(图3.4)在点x=0不可导(图3.5)若函数在区间内每一点都可导，在内可导。或记作在内可导，且和都存在，则称在上可导。若则称当函数在开区间I内可导,这时，都有一个确定的导数值与之对应，这样就产生了在区间称这个函数为（简称导数）上定义的函数的导函数,区间上的导数导函数其表达式为显然，就是导函数在点处的函数值，即按导数定义求导数举例。求函数为常数）的导数。即求函数的导数。即例5解例6解请验证以下常见函数的导数①②练习：③④练习：一般地，对于幂函数为常数），有求函数的导数。化简得：求下列函数的导数①②③④例7解求函数的导数即类似可得例8解求函数的导数。即特殊地，例9解①②③④由导数的定义可知：函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率其中a是切线的倾角。即在点处的切线方程为过曲线上的点而与切线垂直的直线称为曲线在该点的法线。在点处的法线方程为求抛物线在点处的切线方程和法线方程。根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为由于，于是从而所求切线的斜率为即即于是所求法线方程为例10解曲线在哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程。解得：相应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即和例11解①求等边双曲线在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。②求曲线的通过点的切线方程。若函数在点处可导，则必在点处连续。由已知在点处可导，即存在其中因此即故函数在点处连续。从而定理3.2证可导连续不连续不可导可导连续不一定2）函数在一点处可导是指在该点处导数值有限,导数为无穷大和导数不存在都称为不可导，但函数在某点处的导数为无穷大时，该点处的切线是存在的。1）例如，函数在点处连续但不可导。即导数为无穷大，在图形中表现为曲线在原点具有垂直于轴的切线3）判断函数在特殊点的连续性与可导性，主要用定义及定义推导出的充要条件：讨论在点处的连续性与可导性.(1)连续性：(2)可导性：不存在,所以不可导.例12解在连续讨论处的连续性与可导性.,在点讨论,在点处的连续性与可导性.连续性：,函数在处不可导。例13解①讨论函数在处的连续性和可导性②讨论处的连续性和可导性在1.导数的实质:增量比的极限;2.导数的几种等价形式4.导数的几何意义:切线的斜率;5.函数可导一定连续，但连续不一定可导;6.求导数最基本的方法:由定义求导数.7.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.思考题思考题解答求在已知1.连续，且解2.设，问当为何值时，为可导函数？备用题1．填空题设可导，且，则(1)(2)(3)(4)2．设，求-----3．求下列函数的导数.4．，则5．设在点可导，则-----6.曲线上哪一点的切线与直线平行？7．求曲线在点的切线方程和法线方程。8．在曲线上有一条切线，此切线在轴上的求切点坐标.,判断在处可导性。截距为-1,9.已知割线的极限位置——切线位置切线问题割线的极限位置——切线位置切线问题割线的极限位置——切线位置切线问题割线的极限位置——切线位置切线问题割线的极限位置——切线位置切线问题割线的极限位置——切线位置切线问题割线的极限位置——切线位置切线问题割线的极限位置——切线位置切线问题割线的极限位置——切线位置切线问题割线的极限位置——切线位置切线问题牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.