PAGE浙北四校2020年12月高考模拟考试数学试卷考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。参考公式：如果事件互斥，那么柱体的体积公式 其中
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示柱体的底面积，表示柱体的高如果事件相互独立，那么锥体的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么其中表示锥体的底面积，表示锥体的高次独立重复试验中事件恰好发生次的概率球的表面积公式台体的体积公式球的体积公式其中表示球的半径其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.为虚数单位，（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果．【详解】，故选：D．【点睛】本题考查复数的代数形式的运算，i的幂的运算，是基础题．2.若，则A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用对数换底公式、对数函数的单调性即可得出．【详解】∵logm2＜logn2＜0，∴＜＜0，∴lgn＜lgm＜0，可得n＜m＜1．故选：C．【点睛】本题考查了对数换底公式、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.若函数，，则是A.最小正周期为为奇函数B.最小正周期为为偶函数C.最小正周期为为奇函数D.最小正周期为为偶函数【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式，化简得函数=-sin2x，由此结合正弦函数的奇偶性和三角函数的周期公式进行计算，即可得到本题答案．【详解】∵=-sin2x，∴f（x）=-sin2x，可得f（x）是奇函数，最小正周期T==π故选：A．【点睛】本题利用诱导公式化简三角函数式，着重考查了三角函数的图象与性质和三角函数的周期公式等知识，属于基础题．4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A.8B.C.16D.16【答案】B【解析】【分析】由题意三视图可知，几何体是等边圆柱斜削一半，求出圆柱体积的一半即可．【详解】由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：=8π．故选B．【点睛】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，有三视图推出几何体的形状是本题的关键．5.若非空集合，，满足，且不是的子集，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】本题即判断“x∈A”⇒“x∈C”和“x∈C”⇒“x∈A”是否成立，由A∪B=C，且B不是A的子集易判．【详解】因为A∪B=C，所以“x∈A”⇒“x∈C”；反之，若“x∈C”，即“x∈A∪B”因为B不是A的子集，故不能得到x∈A，所以“x∈C”是“x∈A”的必要但不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充要条件的判断和集合之间的关系，属基本题型的考查．6.如图，中，，，若以，为焦点的双曲线的渐近线经过点，则该双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设AB=BC=2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，由余弦定理可得OC，cos∠COB，求得tan∠COB，即为渐近线的斜率，由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到．【详解】设AB=BC=2，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，cosB=﹣，∴OC2=OB2+BC2﹣2OB•BC•cosB=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，∴OC=，则cos∠COB==，可得sin∠COB==，tan∠COB==，可得双曲线的渐近线的斜率为，不妨设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，可得=，可得e=====．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率，考查学生的计算能力，属于中档题．7.已知向量，满足，，则的最小值是A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】由条件得到的范围，结合由绝对值向量三角不等式得到结果.【详解】因为，，由绝对值向量三角不等式得：===1，故选A.【点睛】本题考查向量三角不等式的应用，考查向量数量积的运算及
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，属于中等题．8.有6个人站成前后二排，每排3人，若甲、乙两人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为A.384B.480C.768D.240【答案】A【解析】【分析】若甲站在边上甲有4个位置可选，乙有3个位置可选，其余的4人任意排，此时的排法种数为4×3×；如果甲站在中间，甲有2个位置可选，乙有2个位置可选，其余的4人任意排，此时的排法种数是2×2×，把这两个结果相加即得所求．【详解】如果甲站在边上甲有4个位置可选，乙有3个位置可选，其余的4人任意排，此时的排法种数为4×3×=288．如果甲站在中间，甲有2个位置可选，乙有2个位置可选，其余的4人任意排，此时的排法种数是2×2×=96．根据分类计数原理，所有的不同的站法种数为288+96=384，故选：A．【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．9.若直线与不等式组表示的平面区域无公共点，则的取值范围是A.B.C.D.R【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线ax+by=1与平面区域无公共点建立条件关系，即可得到结论．【详解】不等式组表示的平面区域是由A（1，1），B（﹣1，1），C（0，﹣1）围成的三角形区域（包含边界）．∵直线ax+by=1与表示的平面区域无公共点，∴a，b满足：或．（a，b）在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．设z=2a+3b，平移直线z=2a+3b，当直线经过点A1（0，1）时，z最大为z=3，当经过点B1时，z最小，由解得，即B1（﹣2，﹣1），此时z=﹣4﹣3=﹣7，故2a+3b的取值范围是（﹣7，3）．故选：C．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10.已知数列是一个递增数列，满足，,，则=A.4B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】代入n=1，求得=1或=2或=3，由数列是一个递增数列，满足分类讨论求得结果.【详解】当n=1时，则=2，因为，可得=1或=2或=3，当=1时，代入得舍去；当=2时，代入得，即=2，，，又是一个递增数列，且满足当=3时，代入得不满足数列是一个递增数列，舍去.故选B.【点睛】本题考查数列递推式，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中档题．非选择题部分二、填空题：本大题有7小题,多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在答题卷的相应位置．11.已知，，，则____，____．【答案】(1).(2).【解析】【分析】分别求出关于集合M，N的不等式，求出其范围，从而求出答案．【详解】∵M={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，N={x|2x＞1}={x|x＞0}，则M∩N=（0，2]，而CUN={x|x≤0}，∴M∪CUN=（﹣∞，2]，故答案为：(1).(2).．【点睛】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．12.已知函数，分别由下表给出123131123321则的值为；满足的的值是．【答案】1，2【解析】=；当x=1时，，不满足条件，当x=2时，，满足条件，当x=3时，，不满足条件，∴只有x=2时，符合条件。13.二项式的展开式的各项系数之和为_____，的系数为_____．【答案】(1).(2).【解析】【分析】令x=1，可得各项系数和．再利用通项公式即可得出．【详解】令x=1，可得各项系数之和为：（1-）6=．∴的通项公式：Tr+1==x2r-6，令2r﹣6=2，解得r=4．∴含x2项的系数==．故答案为(1).(2).．【点睛】本题考查了二项式定理的展开式及其性质，考查了计算能力，属于基础题．14.已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个．设表示取到红球的个数，则_______，_______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】从袋中3个球中任取2个球，共有种取法，则其中的可能取值为0、1，利用古典概型的概率计算公式即可得出相应的概率，再由期望方差公式运算结果．【详解】从袋中3个球中任取2个球，共有种取法，则其中的可能取值为0、1，且服从超几何分布，∴P（=0）==，P（=1）==．∴0，=故答案为(1).(2).．【点睛】本题考查超几何分布概率公式的应用，关键是理解表示方法：如在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，X～H（n，M，N），则P（X=k）=．15.化简_________【答案】【解析】【分析】将通分，进行恒等变换，计算结果.【详解】===-4，故答案为-4.【点睛】本题考查三角恒等变换，运用了二倍角公式及两角和差的正余弦公式，属于基本题.16.如图，已知分别是正方形的边的中点，现将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值是_______．【答案】【解析】【分析】设正方形ABCD的边长为2，则我们可以求出△BDF中，DF，BF，BD的长，由于∠DFB即为异面直线FB与AE所成角，利用余弦定理，解三角形DFB即可得到答案．【详解】如图所示：连接BD，∵AE∥DF∴∠DFB即为异面直线FB与AE所成角.由题意可知，∠DFC，所以三角形DFC为等边三角形，所以DC=DF=FC.设正方形ABCD的边长为2，则在△BDF中，DF=1，BF=，BD∴cos∠DFB=故答案为：【点睛】本题考查异面直线及其所成的角，其中利用平移的方法，求出异面直线FB与AE所成角的平面角是解答本题的关键．17.如图，已知,分别是椭圆的左，右焦点，，，是椭圆上轴上方的三点，且（为坐标原点），则的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】延长交椭圆于D,有对称性可知当CD垂直于x轴时，比值最小，当倾斜角为0时比值最大，但取不到．【详解】延长交椭圆于D,有对称性可知当CD垂直于x轴时，最小，此时，当倾斜角为0时比值最大，此时=2，但取不到．故答案为.【点睛】本题考查椭圆的对称性的运用，考查小题小做的技巧，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.在中，角的对边分别为.（1）求的值；（2）求的面积.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)由可求得，借助于诱导公式可得到，借助于两角和的正弦公式可得其值；(2)由正弦定理可求得边，代入求得三角形面积试题解析：(1)（2）由得考点：正弦定理解三角形；三角函数基本公式19.如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，侧棱与底面所成的角为．（Ⅰ）求直线与底面所成的角；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）。【解析】试题分析：（1）根据题意建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量和直线的斜向量，进而利用向量的夹角公式得到线面角的求解。（2）假设存在点满足题意，然后利用向量的垂直关系，得到点的坐标。解：（1）作于，∵侧面平面，则,,,,,∴,又底面的法向量…4分设直线与底面所成的角为，则,∴所以，直线与底面所成的角为．…6分（2）设在线段上存在点，设=，,则…7分设平面的法向量令…9分设平面的法向量令…10分要使平面平面，则…12分考点：本题主要是考查线面角的求解，以及面面垂直的探索性命题的运用。点评：解决该试题的关键是合理的建立空间直角坐标系，正确的表示点的坐标，得到平面的法向量和斜向量，进而结合数量积的知识来证明垂直和求解角的问题。20.已知数列满足，（）．（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值．【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）通过对（n+1）an+1﹣（n+2）an=2变形、裂项可知﹣=2（﹣），进而利用累加法、并项相加，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）可知bn=n•，通过令f（x）=x•，求导可知函数f（x）先增后减，进而计算可得结论．【详解】∵（n+1）an+1﹣（n+2）an=2，∴﹣==2（﹣），又∵=1，∴当n≥2时，=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+2（﹣+﹣+…+﹣）=，又∵=1满足上式，∴=，即an=2n，∴数列{an}是首项、公差均为2的等差数列；（Ⅱ）解：由（I）可知==n+1，∴bn=n•=n•，令f（x）=x•，则f′（x）=+x••ln，令f′（x）=0，即1+x•ln=0，解得：x0≈4.95，则f（x）在(0,x0)上单调递增，在(x0,+单调递减.∴0＜f（x）≤max{f（4），f（5），f（6）}，又∵b5=5•=，b4=4•=﹣，b6=6•=﹣，∴M的最小值为．【点睛】本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法、累加法的逆用等基础知识，考查利用导数研究函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．21.如图，已知直线分别与抛物线交于点，与轴的正半轴分别交于点，且，直线方程为．（Ⅰ）设直线，的斜率分别为，求证：；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）联立，解得且知，由题意可设，，利用斜率公式直接带入即可得证.（Ⅱ）设A点到PB的距离为，C点到PB的距离为由题意得，利用点到直线的距离代入求的解析式，有反比例函数图象得范围.【详解】（Ⅰ）联立，解得，由图象可知，易知，由题意可设，∴（），,,故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，联立，得:，同理，得设A点到PB的距离为，C点到PB的距离为，∴，∴．因为，所以的取值范围是．【点睛】题考查了直线与抛物线相交转化为方程联立，可得交点的坐标，利用了斜率计算公式、点到直线间的距离公式、函数的单调性，属于难题．22.设，已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值；（Ⅲ）若,求使方程有唯一解的的值．【答案】（Ⅰ），则在上递增，，则在在上递减，上递增，（Ⅱ）（Ⅲ）.【解析】【分析】（1）令大于0、小于0，讨论a的范围求解.（2）直接由（1）的单调性得最小值.（3）令，令得∴在递减，上递增，有唯一解，∴．得到a与的关系，转化为的方程，求得进而求得a.【详解】（Ⅰ）定义域为，，则在上递增，则在在上递减，上递增，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，时，在上是增函数，∴；②当时，在上递减，上递增，∴；综上，（Ⅲ）令，由题意，得方程有唯一解，又，定义域为，令得∴在递减，上递增，有唯一解，∴．由即得，设，易知在递增，且∴方程的解为即，解得，故，当时，方程有唯一解时的值为．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在区间上的最值问题，同时考查了函数的零点问题，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．
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