培优专题5因式分解小结

因式分解小结（ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ）【知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算.在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式：2.因式分解的结果一泄是整式乘积的形式：3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止：4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幕的形式；6.题目中没有指左数的范囤，一般指在有理数范用内分解：7.因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解：（2）若上述方法都行不通，可以试用配方法、换元法、待左系数法、试除法、拆项（添项）等方法;【分类解析】1.通过基本思路达到分解多项式的目的例1.分解因式X、-x4+x3-x2+X-1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5-x4+x3和-x2+x-l分别看成一组，此时六解一项：式原变x3-x2,x-l分别看成一组解二：嫌式=(x：!-x+)+(x?-xL)+(x-l)#J=x4(x-l)+x2(x-l)+(x-l)=(X-lXx4+X2+1)=(X-1X(X4+2X1+1)-X1]=(X-1XX:-x+l)(x2+x+l)解二：将常数亠拆成-1-3,则有斗原式=x3-l+(3x2—3)=(x-lXx2+x+1)+(x-lX3x+3)t=(x-IXx2+4xA4)=(x-lXx+2)2=(x—l)(x+2)?3.在证明题中的应用例：求证：多项式(X2-4)(X2-10X+21)+100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数要变形成完全平方数。证明：(x2-4)(x2一10x4-21)+100=(x+2)(x一2)(x一3)(x-7)+100=(x+2)(x一7)(x一2)(x一3)+100=(x2-5x-14)(x2-5x+6)+100设yFlx,则原式=(y-14)(y+6)+100=y2-8y+16=(y-4)2?.?无论y取何值都有(y-4)2>0/.(x2-4)(x2-10x4-21)+100的值一定是非负数4.因式分解中的转化思想例：分解因式：(a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3的方分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b,b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换法。解：设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B???原式=(A+B)3-A3-B‘=A3+3A2B+3AB2+B3-A3-B3=3A2B+3AB2=3AB(A+B)=3(a+b)(b+c)(a+2b+c)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。 中考 中考数学全套课件中考心理辅导讲座中考语文病句辨析修改中考语文古诗文必背中考单选题精选 点拨：例1?在AABC匚p,三边abciAAa2-16b2-c2+6ab+10bc=0求证：a+c=2b证明:va2一16b2-c2+6ab+10bc=0/.a2+6ab+9b2-c2+lObc-25b2=0即(a+3b)2-(c-5b)2=0(a+8b-c)(a一2b+c)=0???a+b>c/.a+8b>c,即a+8b-c>0于是有a-2b+c=0即a+c=2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例2.已知：x+-=2,则x'+,=TOC\o"1-5"\h\zXX'解：X3+-L=(X+丄)(x2-1+丄)XXX11=(x+_)[(x+_)?_2_l]XX=2x1=2说明：利用X2+-4=(X+1)2-2等式化繁为易。题型展示：1.若x为任意整数，求ijE:(7-x)(3-x)(4-x2)的值不大于100解：V(7-X)(3-X)(4-X2)-100=-(X一7)(x+2)(x一3)(x-2)-100=-(x2-5x-14)(x2-5x+6)-100=-[(x2一5x)-8(x?一5x)+16]=-(x2-5X-4)2<0/.(7-X)(3-X)(4-X2)<100100,即要求它们的差小于零把它们的差说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。2.将a2+(a+l)2+(a2+a)2分解因式，并用分解结果计算6?+72+422。解：a2+(a+I)2+(a2+a)2=a2+a2+2a+1+(a2+a)2=2(a2+a)+l+(a2+a)2=(a2+a+l)2/.62+72+422=(36+6+1)2=432=1349说明：利用因式分解简化有理数的汁笫【实战模拟】1•分解因式:3X5-10X4-8x3-3x2+10x+8(a2+3a-3)(a2+3a+1)-5+-2小-3)卫+3x-5y+2宀7x+6(1)解:原式=10工一?—(?/—10*—8).⑵解：原式=[(a2+3a)-3][(a2+3a)+l]-5A=(x3-1)(3x2-Wx-8)=(x-IXx:+x+1)(x-4)(3x+2)(3)解：原式=(x-3yXx+y)#3x-5y+=(x_3y+I)(x+y斗2)?'=(a2+3a)2-2(a2+3a)-8=(a2A3a-4Xa2+5a+2)卩=ca+4Xa-IXa+lXa+2)⑷解:原式=7x?-6x?-7x-6a=7xA-7x-6x?-6=7x(,一1)一6(x3-1)=7x(x+L)(x-1)■6(一I)(x2+x+1)=(x-IX?x2+7x-6x2-6x-6)=(x-LXx2十x-6)=(x-LXx+3)(x-2)2.已知：x+y=6txy=-l,求：x3+y3的值。解:+y:=(x+y)2-2xy4J求矩形的而积。4?求证:n3+5n是6的倍数。(其中n为整数)证明：n3+5n=n3-n+6n=n(n+l)(n-l)+6n当n为整数时，n(n-l)(n+1)是6的倍数/.n3+5n是6的倍数5.已知：a、b、c是非零实数,且a2+b2+c2=1,a(-+-)+b(-+-)+c(-+丄)=一3,求a+b+c的值。bccaab解：TabcHO,用abc乘以第二个条件等式的两边，得：a2c+(rb+ab2+b2c+bc2+ac2=-3abc即+Z?)+bc(b+c)+ac(a+c)+abc+abc+abc=0??.(a+b+c)(ab+be+ac)=0贝Ija+b+c=0或ab+be+ac=O若ab+be+ac=0则(a+b+c)一(/+Z?2+c2)=2(ab+be+ac)=0???a2+b2+c2=1??.(a+h+c)2=1:.a+b+c=±说明：因式分解与配方法是代数式化简与求值中常用的方法和手段，应当熟练掌握。6.已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2+b2-c2和4a%2的大小。分析：比较两式大小最基本的方法是作差看它们与零的大小。解：v(a2+b2-c2)2-4a2b2=(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)=[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)?.?a.b.c为三角形三边，且由三角形两边Z和大于第三边町知a+b+c>0,a+b-c>0,a-b+c>0?a-b-evO.\(a2+b2-c2)-4a2b2<0/.a2+b2-c2<4a2b2