届物理竞赛决赛试题

第24届全国中学生物理竞赛决赛试题2007年11月宁波★理论部分光滑的水平面上.它们的质量皆为m用不可伸长的长度皆为1的柔软yCAB,C三个刚性小球静止在轻线相连，AB的延长线与BC的夹呻十'O人角以=兀/3,女口图所7K.在此平面内取正交坐标系Oxy,原点O与B球所在处重合，x轴正方向和y轴正方向如图.另一质量也是m的刚性小球D位于y轴上，沿y轴负方向以速度vo（如图）与B球发生弹性正碰，碰撞时间极短.设刚碰完后，连接A,B,C的连线都立即断了.求碰后经多少时间，D球距A,B,C三球组成的系统的质心最近.二、为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU（AU为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU=1495X1011m）,并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）.试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u。（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径R=6.37X106m地面处的重力加速度g=9.80m/s2,不考虑空气的阻力.三、如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H、内壁横截面积为S的绝热气缸内，有一质量为m的绝热活塞A把缸内分成上、下两部分.活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动.缸内顶部与A之间串联着两个劲度系数分别为ki和k2（ki丰k2）的轻质弹簧.A的上方为真空；A的下方盛有一定质量的理想气体.已知系统处于平衡状态，A所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离）与两弹簧总共的压缩量相等皆为hi=H/4.现给电炉丝R通电流对气体加热，使A从高度hi开始上升，停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为h2=3H4.求此过程中气体吸收的热Q已知当体积不变时，每摩尔该气体温度每升高1K吸收的热量为3R/2,R为普适气体恒量.在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律.四、为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式.在传输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端A挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B.绝缘子的结构如图乙所示：在半径为R的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为R的半球形导体球壳.已知当导体球与导体球壳间的电压为U时，介质中离球/bO的距离为r处的场强为E=,场强方向沿径向.1.已知绝缘子导体球壳图甲径R=4.6cm，陶瓷介质的击穿强度图乙Ek=135kV/cm.当介质中任一点的内半的场强E＞巳时，介质即被击穿，失去绝缘性能.为使绝缘子所能承受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R应取什么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有电容G.每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容G（导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板,它们之间有一定的电容,这种电容称为分布电容）；每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容G.若高压输电线对地电压的有效值为U0.试画出该系统等效电路图.若G=70pF=7X10-11F,C=5pF,G=1pF,试计算该系统所能承受的最大电压（指有效值）.J1yG1P1A励Odx五、如图所示，G为一竖直放置的细长玻璃管，以其底端O为原点，建立一直角坐标系Oxy,y轴与玻璃管的轴线重台.在x轴上与原点O的距离为d处固定放置一电荷量为Q的正点电荷A,一个电荷量为q（q>0）的粒子P位于管内，可沿y轴无摩擦地运动.设两电荷之间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响.求放在管内的带电粒子P的质量m满足什么条件时，可以在y>0的区域内存在平衡位置.上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的；它依赖于粒子的质量m以y（m）表示质量为m的粒子P处于平衡位置时的y坐标.当粒子P处于稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是;当粒子P处于不稳定平衡状态时，y（m的取值区间是（请将填空答案写在答题纸上）.已知质量为m的粒子P处于稳定平衡位置，其y坐标为yi.现给P沿y轴一微小扰动.试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期.已知质量为m的粒子P的不稳定平衡位置的y坐标为睥现设想把P放在坐标y3处，然后从静止开始释放P.求释放后P能到达玻璃管底部的所有可能的y3（只要列出y3满足的关系式，不必求解）.六、如图所示，一半径为R折射率为ng的透明球体置FW-于折射率n0=1的空气中，其s球心位于图中光轴的O处，左、右球面与光轴的交点为Q与Q.球体右半球面为一球面反射镜，组成球形反射器.光轴上O点左侧有一发光物点P,P点到球面顶点O的距离为s.由P点发出的光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射.问发光物点P经此反射器，最后的像点位于何处？当P点沿光轴以大小为v的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的速度运动？并说明当球体的折射率ng取何值时像点亦做匀速运动.七、已知钠原子从激发态（记做P3/2）跃迁到基态（记做Sl/2）所发出的光谱线波长入0=588.9965nm现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考虑相对论效应），被一束沿z轴负方向传播的波长为入=589.0080nm的激光照射.以9表示钠原子运动方向与z轴正方向之间的夹角（如图所示）.问在30°V9<45°角度区间内的钠原子中速率u在什么范围内能产生共振吸收，从Si/2态激发到P3/2态？并求共振吸收前后钠原子速度（矢量）变化的大小.已知钠原子质量为M=3.79X10-26kg,普朗克常量h=6.626069X10-34J?s,真空中的光速c=2.997925X108m?s"\U弟24届〈二}Z全国中1学生物理竞激光束赛决赛参考解答1. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 刚碰后各球速度的方向.由于D与B球发生弹性正碰，所以碰后D球的速度方向仍在y轴上；设其方向沿y轴正方向,大小为v.由于线不可伸长，所以在D,B两球相碰的过程中，A,C两球都将受到线给它们的冲量；又由于线是柔软的，线对作用力，因此刚碰后，A球的速度沿AB方向，C球的速度沿CB方向.用6表示B球的速度方向与x轴的夹角，则各球速度方向将如图所示.因为此时连接A,B,C三球的两根线立即断了，所以此后各球将做匀速直线运动.研究碰撞后各球速度的大小.以vi,V2,V3分别表示刚碰后A,B,C三球速度的大小，如图所示.因为碰撞过程中动量守恒，所以沿x方向有mv—mvcos以+mvcos0=0；(1)沿y方向有—mv=m^mvsin0—mvsin以.(2)根据能量守恒有2mv=m\+m\+mwmv.(3)因为碰撞过程中线不可伸长，B,C两球沿BC方向的速度分量相等，A,B两球沿AB方向的速度分量相等，有v2cos0=vi,(4)v2cos[tt—(以+0)]=v3.(5)将以=兀/3代入，由以上各式可解得v1=v°,(6)v2=v。，(7)v3=v°,(8)v=v°.(9)确定刚碰完后，A,B,C三球组成的系统质心的位置和速度.由于碰撞时间极短，冈雁后A,B,C三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以(xc,yc)表示此时质心的坐标，根据质心的定义，有Xc=,(10)yc=.(11)代入数据，得Xc=—l,(12)yc=l.(13)根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度Vc的分量为Vcx=,(14)Vcy=.(15)由(4)〜(7)和(14),(15)各式及以值可得Vcx=0,(16)Vcy=—V0.(17)讨论碰后A,B,C三球组成的系统的质心和D球的运动.刚碰后A,B,C三球组成的系统的质心将从坐标(Xc=-l/6,yc=l/6)处出发，沿y轴负方向以大小为5vo/12的速度做匀速直线运动；而D球则从坐标原点O出发，沿y轴正方向以大小为Vo/4的速度做匀速直线运动.A,B,C三球组成系统的质，L、与D球是平行反向运动，只要D球与C球不发生碰撞，则Vc,Vd不变，质心与D球之间的距离逐渐减少.到y坐标相同处时，它们相距最近.用t表示所求的时间，则有vt=yc+Vcyt(18)将Vcy,V,yc的值代入，得t=.(19)此时，D球与A,B,C三球组成系统的质心两者相距l/6.在求出(19)式的过程中，假设了在t=l/4V0时间内C球未与D球发生碰撞.下面说明此假设是正确的；因为V3=Vo/3，它在x方向分量的大小为Vo/6.经过t时间，它沿x轴负方向经过的距离为1/8.而C球的起始位置的x坐标为1/2.经t时间后，C球尚未到达y轴，不会与D球相碰.二、从地球表面发射宇宙飞船JA^^TOC\o"1-5"\h\z时，必须给飞船以足够大的动能，'、使它在克服地球引力作用后，仍/P]具有合适的速度进入绕太阳运行/的椭圆轨道.此时，飞船离地球——/已足够远，但到太阳的距离可视仁/BB图为不变，仍为日地距离.飞船在地球绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用E表示两轨道的交点，如图1所示.图中半径为rse的圆A是地球绕太阳运行的轨道，太阳S位于圆心.设椭圆B是飞船绕日运行的轨道，P为椭圆轨道的近日点.由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半长轴a应与日地距离rse相等，即有a=rse(1)根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2a,由此可以断定，两轨道的交点E必为椭圆短轴的一个顶点，E与椭圆长轴和短轴的交点Q(即椭圆的中心)的连线垂直于椭圆的长轴.由△ESQ可以求出半短轴b=.(2)由(1),(2)两式，并将a=rse=1AUSP=0.01AU代入，得b=0.141AU.(3)在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒的.设飞船在E点的速度为v,在近日点的速度为vp,飞船的质量为m太阳的质量为M,则有mvasin0=mvSP,(4)式中e为速度v的方向与e,S两点连线间的夹角：sin9=.(5)由机械能守恒，得2mv—G=mA.(6)因地球绕太阳运行的周期T是已知的(T=365d),若地球的质量为M,则有G=M()2a.(7)解(3)〜(7)式，并代入有关数据，得v=29.8km/s.(8)(8)式给出的v是飞船在E点相对于太阳的速度的大小，即飞船在克服地球引力作用后从E点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度.若在E点飞船相对地球的速度为u,因地球相对于太阳的公转速度为Ve==29.8km/s,(9)方向如图1所示.由速度合成公式，可知V=U+Ve,(10)速度合成的矢量图如图2所示，注意到Ve与ES垂直，有图2u=,(11)代入数据，得u=39.1km/s.(12)u是飞船在E点相对于地球的速度，但不是所要求的发射速度U0.为了求得u。，可以从与地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动.因飞船相对于地球的发射速度为u。时，飞船离地心的距离等于地球半径R.当飞船相对于地球的速度为u时，地球引力作用可以忽略.由能量守恒，有—2m卜G=mu.(13)地面处的重力加速度为g=G（14）解(13),(14)两式，得u()=.(15)由(15)式及有关数据，得U0=40.7km/s.(16)如果飞船在E点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道，则(11)式要做相应的改变.此时，它应为u=,(17)相应计算，可得另一解u=45.0km/s,uo=46.4km/s.(18)如果飞船进入椭圆轨道的地点改在E点的对称点处(即地球绕日轨道与飞船绕日轨道的另一个交点上)，则计算过程相同，结果不变.三、两个弹簧串联时，作为一个弹簧来看，其劲度系数k=.(1)设活塞A下面有vmol气体.当A的高度为h1时，气体的压强为5,温度为T1.由理想气体状态方程和平衡条件，可知p£h=vRT,(2)p1S=kh1+mg(3)对气体加热后，当A的高度为h2时，设气体压强为p2,温度为T2.由理想气体状态方程和平衡条件，可知pzSh^vRT,(4)p2S=kh2+mg(5)在A从高度hi上升到h2的过程中，气体内能的增量OvRE-Ti).(6)气体对弹簧、活塞系统做的功W停于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加，即W=k(h—h)+mg(h2—hi).(7)根据热力学第一定律，有Q=AL+W(8)由以上各式及已知数据可求得QH+mgH(9)四、根据题意，当导体球与导体球壳间的电压为L时，在距球心r(RvrvR)处，电场强度的大小为E=.(1)在r=Ri,即导体球表面处，电场强度最大.以E(Ri)表示此场强，有E(R)=•(2)因为根据题意，E(R)的最大值不得超过巳，R为已知，故(2)式可写为Ek=(3)L=Ek.(4)由此可知，选择适当的R值，使（R—R）R最大，就可使绝缘子的耐压L为最大.不难看出，当R=(5)时，L便是绝缘子能承受的电压的最大值Lk.由（4）,（5）两式得比，⑹代入有关数据，得Lk=155kV.(7)当交流电压的峰值等于Lk时，绝缘介质即被击穿.这时，对应的交流电压的有效值Lk=110kV.(8)系统的等效电路如图所示.三GG^GteG2尊L0设绝缘子串中间三点的电势分别为L1,L2,L3，如图所示.由等效电路可知，与每个中间点相连的四块电容极板上的电荷量代数和都应为零，即有(U1U2K0U1C1(U0U1K0(U0U1)C20,(U2U3)C0U2C1(U1U2)C0(U0U2)C20,(9)U3C0U3C1(U2U3)C0(U0U3K20.四缘子上压之和于U0,即(U0-U)+(U-U2)+(L2-U)+U3=U).(10)△L1=L0—U,△LfU-L2,△LL=L2-L3,△U=U,(11)则可由(9)式整理得代入数据，得76AL170Al25U00,6AU176AU270脱35U00,(12)76AU176AU2146AU375U00.解(12)式，可得△U=0.298U0,3=0.25211,△U3=0.228U0.(13)由(10)〜(12)式可得△口斗。^U).(14)以上结果表明，各个绝缘子承受的电压不是均匀的；最靠近输电线的绝缘子承受的电压最大，此绝缘子最容易被击穿.当最靠近输电线的绝缘子承受的电压有效值△U=U(15)时，此绝缘子被击穿，整个绝缘子串损坏.由(8),(13)和(15)三式可知，绝缘子串承受的最大电压UU==369kV.(16)五、1.如图所示，位于坐标y处的带电粒子P受到库仑力Fe为斥力，其y分量为FEy=ksin9=k,(1)式中r为P到A的距离，。为r与x轴的夹角.可以看出，FEy与y有关：当y较小时，(1)式分子中的y起主要作用，FEy随y的增大而增大；当y较大时，(1)式分母中的y起主要作用,FEy随y的增大而减小.可见，FEy在随y由小变大的过程中会出现一个极大值.通过数值计算法，可求得FEy随y变化的情况.令=y/d,得FEy=k.(2)当取不同数值时，对应的(1+2)"3/2的值不同.经数值计算，整理出的数据如表1所示.表10.100.50.60.60.70.70.70.70.800000500007105000(1+0.090.30.30.30.30.30.30.30.3)-3/2855678828585858481由表中的数据可知，当=0.707,即y=y0=0.707d(3)时，库仑力的y分量有极大值，此极大值为FEymaE0.385k.(4)由于带电粒子P在竖直方向除了受到竖直向上的FEy作用夕卜,还受到竖直向下的重力mg作用.只有当重力的大小mg与库仑力的y分量相等时,P才能平衡.当P所受的重力mg大于FEymax时,P不可能达到平衡.故质量为m的粒子存在平衡位置的条件是m/Feymax.(4)式得2.3.诈k.(5)y(n)>0.707d;0vy(n)<0.707d.根据题意，当粒子P静止在y=yi处时，处于稳定平衡位置，故有kQqy13-mg=0.(6)(d2y1罕设想给粒子P沿y轴的一小扰动△y,则P在y方向所受的合力为Fy=FEy—mg=k—mg.(7)由于^y为一小量，可进行近似处理，忽略高阶小量，有Fy=k—mg=k(1—)—mg=k+k—k—mg.注意到(6)式，得Fy=—△y.(8)因y=yi是粒子P的稳定平衡位置，故yi>0.707d,2y-d2>0.由(8)式可知，粒子P在y方向受到合力具有恢复力的性质，故在其稳定平衡位置附近的微小振动是简谐运动；其圆频率为3=,(9)周期为T==2兀.(10)4.粒子P处在重力场中，具有重力势能；它又处在点电荷A的静电场中，具有静电势能.当P的坐标为y时，其重力势能W=mgy,式中取坐标原点O处的重力势能为零；静电势能W=k.粒子的总势能V=W+W5gy+k.(11)势能也与P的y坐标有关：当y较小时，静电势能起主要作用，当y较大时，重力势能起主要作用.在P的稳定平衡位置处，势能具有极小值；在P的不稳定平衡位置处，势能具有极大值.根据题意，y=y2处是质量为m的粒子的不稳定平衡位置，故y=y2处，势能具有极大值，即VVy2)=WaEmgy2+k.(12)当粒子P的坐标为y3时，粒子的势能为V(y3)=mgy3+k.当y3y2,粒子从静止释放能够到达管底，则有W(y3)>V(y2).所以，y3满足的关系式为y3y2且mgy3+k>mgy2+k.(14)附：(1)式可表示为FEy=ksin9=kcos29sin9,式中e为p,a之间的连线和x轴的夹角.由上式可知，带电粒子P在e=0,兀/2时，FEy=0.在owew兀/2区间，随着e的增大，sine是递增函数，cos2。是递减函数.在此区间内,FEy必存在一个极大值FEymax；用数值法求解，可求得极大值所对应得角度eo.经数个计算整理出的数据如表2所示.表20.00.40.50.50.60.60.60.60.60/rad106440761115174475cos20si0.00.30.30.30.30.30.30.30.3ne296778838585858481由表中数值可知，当e=eoQ0.615rad(即35.26°)时,FEy取极大值2FEymax=kcos90sin90=0.385k.带电粒子P在竖直方向上还受到重力G的作用，其方向与FEy相反.故带电粒子P受到的合力F=FEy—G^kcos20sin0—mg当F=0,即FEy=G时，P处于平衡状态.由此可见，当带电粒子的质量诈=时，可以在y轴上找到平衡点.六、单球面折射成像公式可写成+=,(1)式中s为物距，s'为像距，r为球面半径，n和n‘分别为入射光和折射光所在介质的折射率.在本题中，物点P经反射器的成像过程是：先经过左球面折射成像(第一次成像)；再经右球面反射成像(第二次成像)；最后再经左球面折射成像(第三次成像).(1)第一次成像.令si和s'1分别表示物距和像距.因si=s,n=n°=1,n‘=ng,r=R,有+=,(2)s'1=.(3)第二次成像.用S2表示物距，s'2表示像距，有+=•(4)因S2=2R—s'i,r=R,由(3),(4)两式得s'2=.(5)第三次成像.用S3表示物距，s'3表示像距，有+=•(6)因s3=2R—s'2,m=1,r=—R,由(5),(6)两式得s'3=.(7)以v表7K像的速度，则s31[4(s△s)ng(s△s)4R]R(4sngs4R)RtAt2ng(s△s)4(s△s)ngR4R2ngs4sngR4Rggggn；R.(2ngs4sngR4R)△s(2ng4)(2ngs4sngR4R)由于△$很小，分母中含有△s的项可以略去，因而有v'=.(9)根据题意，P从左向右运动，速度大小为v,则有v=一.(10)由此可得，像的速度v'=.(11)可见，像的速度与s有关，一般不做匀速直线运动，而做变速直线运动.当n=2(12)时，(11)式分母括号中的头两项相消，v'将与s无关.这△s/△t表明像也将做匀速直线运动；而且(11)式变为寸=v,即像的速度和P的速度大小相等.七、解法一.根据已知条件，射向钠原子的激光的频率v=.(1)对运动方向与z轴正方向的夹角为。、速率为u的钠原子,由于多普勒效应，它接收的激光频率v'=v(1+cos0);(2)改用波长表示，有入'=•(3)发生共振吸收时，应有入’=入0,即=入0.(4)解(4)式，得ucos0=c;(5)代入有关数据，得ucos0=5.85x103m?s1.(6)由(6)式，对e=30°的钠原子，其速率U1=6.76X103m?s1;对e=45°的钠原子，其速率u2=8.28x103m?s1.运动方向与z轴的夹角在30°〜45°区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为6.76x103m?s「1vuv8.28x103m?s"1.(7)共振吸收前后，动量守恒.设钠原子的反冲速率为V,则有M『ez=MV(8)其中ez为z轴方向的单位矢量.由(8)式得u-V=ez.(9)钠原子速度(矢量)变化的大小为|u-M=;(10)代入数据，得21|u-M=2.9x102m?s1.(11)解法二.根据已知条件，钠原子从激发态P3/2跃迁到基态S1/2发出的光谱线的频率V0=;(1)入射激光的频率V=.(2)考查运动方向与z轴的正方向成e角的某个钠原子.它在共振吸收过程中动量守恒，能量守恒.以u表示该钠原子在共振吸收前的速度，V表示该钠原子共振吸收后的速度，则有M卜ez=MV(3)Mu+hv=MV+hv°.(4)把(3)式写成分量形式，并注意到共振吸收前后钠原子在垂直于z轴方向的动量不变，有Misin9=MVin。，（5）Muros0—=MVos。，(6)式中。’为激发态钠原子速度方向与z轴正方向的夹角.从(5),(6)两式中消去。，得Mu2—MV=—()2+2Micose.(7)由(4),(7)两式可得22hvo—2hv=—()+2hvcos0.(8)注意到(hv/c)2=M,得Vo=v(1+cos0);(9)改用波长表示，有入0=.(10)解(10)式，得ucos0=c；(11)代入有关数据，得ucos0=5.85X103m?s1.(12)由(12)式，对e=30°的钠原子，其速率U1=6.76X103m?s1;对e=45°的钠原子，其速率U2=8.28x103m?s1.运动方向与z轴的夹角在30°〜45°区域内的原子中，能发生共振吸收的钠原子的速率范围为6.76X103m?s"1