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2020年高考一轮课时训练(理)11.2.3空间向量在立体几何中的应用 (通用版)

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2020年高考一轮课时训练(理)11.2.3空间向量在立体几何中的应用 (通用版)PAGE空间向量在立体几何中的应用一、选择题1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,PQ是异面直线A1D和AC的公垂线,则直线PQ与BD1的关系是(  )A.异面直线        B.平行直线C.垂直但不相交D.垂直相交答案:B2.已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,则以下不等式中可能不成立的是(  )A.eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=0B.eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))=0C.eq\o(...

2020年高考一轮课时训练(理)11.2.3空间向量在立体几何中的应用 (通用版)
PAGE空间向量在立体几何中的应用一、选择 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,PQ是异面直线A1D和AC的公垂线,则直线PQ与BD1的关系是(  )A.异面直线        B.平行直线C.垂直但不相交D.垂直相交 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :B2.已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,则以下不等式中可能不成立的是(  )A.eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=0B.eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))=0C.eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=0D.eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))=0答案:B3.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D—ABC的体积为(  )A.eq\f(a3,6)B.eq\f(a3,12)C.eq\f(\r(3),12)a3D.eq\f(\r(2),12)a3答案:D4.如下图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=eq\r(2),AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(  )A.(1,1,1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3),\f(\r(2),3),1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2),\f(\r(2),2),1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4),\f(\r(2),4),1))解析:∵M在EF上,设ME=x,∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x,\f(\r(2),2)x,1))∵A(eq\r(2),eq\r(2),0),D(eq\r(2),0,0),E(0,0,1),B(0,eq\r(2),0)∴eq\o(ED,\s\up6(→))=(eq\r(2),0,-1),eq\o(EB,\s\up6(→))=(0,eq\r(2),-1),eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x-\r(2),\f(\r(2),2)x-\r(2),1)),设平面BDE的法向量n=(a,b,c)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(ED,\s\up6(→))=0,n·\o(EB,\s\up6(→))=0)),得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c=\r(2)a,c=\r(2)b)).故可取一个法向量n=(1,1,eq\r(2)),有n·eq\o(AM,\s\up6(→))=0,∴x=1,∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2),\f(\r(2),2),1)),故选C.答案:C5.如下图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若E、F分别是BC、DD1中点,则B1到平面ABF的距离为(  )A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(2\r(5),5)解析:(1)建立如右图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B1(1,1,0),Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,0,\f(1,2))),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1,1)),B(1,1,1).eq\o(AB,\s\up6(→))=(0,1,0),eq\o(B1E,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0,1)),eq\o(FA,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,0,\f(1,2))),∵eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,0,\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0,1))=0.∴eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(B1E,\s\up6(→)),又eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(B1E,\s\up6(→)).∴eq\o(B1E,\s\up6(→))⊥平面ABF.平面ABF的法向量为eq\o(B1E,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0,1)),eq\o(AB1,\s\up6(→))=(0,1,-1).B1到平面ABF的距离为eq\f(|\o(AB1,\s\up6(→))·\o(B1E,\s\up6(→))|,|\o(B1E,\s\up6(→))|)=eq\f(2\r(5),5).答案:D二、填空题6.如下图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,异面直线AC与BC1的夹角为____________.解析:以D为坐标原点,建立如题图空间坐标系,设正方体棱长为1,则A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1)则eq\o(AC,\s\up6(→))=(-1,1,0),eq\o(BC1,\s\up6(→))=(-1,0,1),∴cosθ=eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))||\o(BC1,\s\up6(→))|)=eq\f(1,\r(2)·\r(2))=eq\f(1,2),∴θ=60°,即AC与BC1的夹角为60°.答案:60°7.如下图所示,已知矩形ABCD中,|AD|=3,|AB|=4.将矩形ABCD沿对角线BD折起,使得面BCD⊥面ABD.现以D为原点,DB作为y轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系,此时点A恰好在xDy坐标平面内.则A,C两点的坐标分别是________,A,C两点的距离是______.解析:由于面BCD⊥面ABD,从面BCD引棱DB的垂线CF即为面ABD的垂线,同理可得AE即为面BCD的垂线,故只需求得AE,CF,DE,DF的长度即可.答案:Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5),\f(9,5),0)),Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(16,5),\f(12,5))) eq\f(\r(337),5)8.如下图所示,已知棱长为a的正四面体ABCD中,E、F在BC上,G在AD上,E是BC的中点,CF=eq\f(1,4)CB,AG=eq\f(1,4)AD,给出下列四个命题:①AC⊥BD;②FG=eq\f(\r(10),4)a;③侧面与底面所成二面角的余弦值为eq\f(1,3);④eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))<eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).其中真命题的序号是______________.答案:①②③三、解答题9.(2020年滨州模拟)如下图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PA=AD=2,E、F分别为棱AD、PC的中点.(1)求异面直线EF和PB所成角的大小;(2)求证:平面PCE⊥平面PBC;(3)求二面角E-PC-D的大小.解析:以直线AB为x轴,直线AD为y轴,直线AP为z轴建立空间直角坐标系,如右图,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).(1)∵E为AD的中点,∴E(0,1,0),又F为PC的中点,∴F(1,1,1).∴eq\o(EF,\s\up6(→))=(1,0,1).又eq\o(PB,\s\up6(→))=(2,0,-2),∴cos〈eq\o(EF,\s\up6(→)),eq\o(PB,\s\up6(→))〉=eq\f(1×2+1×-2,\r(1+1)·\r(4+4))=0,∴cos〈eq\o(EF,\s\up6(→)),eq\o(PB,\s\up6(→))〉=90°,异面直线EF和PB所成角的大小为90°.(2)证明:由(1)知EF⊥PB,又∵eq\o(BC,\s\up6(→))=(0,2,0),eq\o(EF,\s\up6(→))=(1,0,1)∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0,∴EF⊥BC.∴又EF⊂平面PCE,∴平面PCE⊥平面PBC.(3)过点D作DH⊥PC于H,在Rt△PDC中,PD=2eq\r(2),DC=2,PC=2eq\r(3),则CH=eq\f(2\r(3),3),PH∶HC=2∶1,又P(0,0,2),C(2,2,0),∴Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),\f(4,3),\f(2,3)))∴eq\o(DH,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3),-\f(2,3),\f(2,3))),又eq\o(EF,\s\up6(→))=(1,0,1),cos〈eq\o(DH,\s\up6(→)),eq\o(EF,\s\up6(→))〉=eq\f(2,\f(2\r(6),3)×\r(2))=eq\f(\r(3),2),∴〈eq\o(DH,\s\up6(→)),eq\o(EF,\s\up6(→))〉=30°.∴二面角E-PC-D的大小为30°.10.(2020年北京卷)如右图所示,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;(2)当PD=eq\r(2)AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.解析:法一:如右图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,设AB=a,PD=h,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),P(0,0,h),(1)∵eq\o(AC,\s\up6(→))=(-a,a,0),eq\o(DP,\s\up6(→))=(0,0,h),eq\o(DB,\s\up6(→))=(a,a,0),∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DP,\s\up6(→))=0,eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))=0,∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面PDB,∴平面AEC⊥平面PDB.(2)当PD=eq\r(2)AB且E为PB的中点时,Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,0,\r(2)a)),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a,\f(1,2)a,\f(\r(2),2)a)),设AC∩BD=O,连接OE,由(1)知AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角,∵eq\o(EA,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a,-\f(1,2)a,-\f(\r(2),2)a)),eq\o(EO,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,0,-\f(\r(2),2)a)),∴cos∠AEO=eq\f(\o(EA,\s\up6(→))·\o(EO,\s\up6(→)),|\o(EA,\s\up6(→))|·|\o(EO,\s\up6(→))|)=eq\f(\r(2),2),∴∠AOE=45°,即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.法二:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,∴平面AEC⊥平面PDB.(2)设AC∩BD=O,连接OE,由(1)知AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角,∴O,E分别为DB、PB的中点,∴OE∥PD,OE=eq\f(1,2)PD,又∵PD⊥底面ABCD,∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,在Rt△AOE中,OE=eq\f(1,2)PD=eq\f(\r(2),2)AB=AO,∴∠AOE=45°,即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.
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分类:高中数学
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