18.2.3 正方形学习目标1.掌握正方形的概念、性质和判定方法,并会运用它们进行有关的论证和计算.(难点)2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点)学习过程一、合作探究阅读
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P58~59内容,完成下面问题:1.小学已学过正方形四条边都 ;正方形四个角都是 . 正方形定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.从正方形的定义中看出,有三层意义: ; ; . 2.正方形是矩形吗?是菱形吗?为什么?正方形具有哪些性质呢?只要矩形再有一组邻边相等,这样的特殊矩形是正方形;只要菱形再有一个内角为90°,这样的特殊矩形是正方形.3.因此我们说正方形是特殊的矩形,所以具有矩形的所有性质;它又是菱形,所以它又具有菱形的一切性质,归纳如下:正方形性质:(1)边的性质:对边 ,四条边都 . (2)角的性质:四个角都是 角.即∠A=∠B=∠ =∠ = °, ∠ABD= = = =45°. (3)对角线的性质:两条对角线互相 且 ,每条对角线 分一组对角.由ABCD是正方形,可得OA= = =OD,AC⊥ . (4)对称性:是轴对称图形,有( )条对称轴.而矩形、菱形都只有( )条对称轴.(5)边长与对角线长的关系: (6)正方形的面积:①边长的 ②两条对角线 . 4.平行四边形、菱形、矩形、正方形四者之间的关系:5.怎样判定一个四边形是正方形呢?把你所想的判定方法写出来并和同学们交流、证明.归纳总结出判定正方形的方法如下:判定方法:(1)从四边形到正方形:(2)从平行四边形到正方形:(3)从矩形到正方形:(4)从菱形到正方形:提示判定正方形的一般顺序:先证它是平行四边形,再证有一组邻边相等(或一个角是直角),最后证它有一个角是直角(或有一组邻边相等).理解成:先证它是矩形,再证有一组邻边相等;或先证它是菱形,再证有一个角是直角.二、自主学习【例题】已知,如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.求证:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.变式 已知:如图,正方形ABCD,对角线AC,BD交于点O,AC=4.则(1)∠BAC= ,∠AOB= . (2)与OA相等的线段有 ,AB= . (3)正方形的周长是 ,面积是 . 三、跟踪练习1.下列四边形中,对角线相等且互相垂直平分的是( ) A.平行四边形B.正方形C.菱形D.矩形2.在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果再添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( )A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD3.(长春中考)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为 . 4.如图所示,已知▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.四、达标检测1.下列命题,正确的有( )①对角线相等的菱形是正方形 ②四条边都相等的四边形是正方形 ③四个角相等的四边形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形 ⑤对角线垂直且相等的四边形是正方形A.①②B.②③C.①④D.③⑤2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.四条边相等B.对角线互相垂直且平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.四个角相等B.对角线互相垂直且平分C.对角线相等D.对角互补4.正方形的四条边都 ,四个角都是 ,对角线 . 5.如果一个四边形既是菱形,又是矩形,那么这个四边形一定是 . 6.P为正方形ABCD内部一点,且PA=PD=AD,则△PBC为 . 7.如图,在正方形ABCD中,F在CD的延长线上,CE⊥AF交AD于M,则∠MFD= . 8.已知正方形的一边长为1cm,则它的周长为 ,面积为 ,对角线长为 . 9.已知正方形的对角线长为2cm,则它的边长为 . 10.如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,交AG于点F,求证:AF-BF=EF.11.如图,正方形ABCD中,AC与BD交于点O,点M,N分别在AC,BD上,且OM=ON,求证:BM=CN.参考
答案
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一、合作探究答案略二、自主学习例题 证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.变式(1)45° 90°(2)OB,OD,OC 22(3)82 8三、跟踪练习1.B 2.D 3.54.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.又∵△ACE是等边三角形,∴EO⊥AC,即DB⊥AC,∴▱ABCD是菱形.(2)∵△ACE是等边三角形,∴∠AEC=60°.∵EO⊥AC,∴∠AEO=12∠AEC=30°.∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°,∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADC=2∠ADO=90°,∴菱形ABCD是正方形.四、达标检测1.C2.D3.B4.相等;直角;相等且互相垂直平分5.正方形6.等腰三角形7.45°8.4cm;1cm2 2cm9.2cm10.证明:∵∠BAF+∠DAE=90°,DE⊥AG,BF∥DE,∴BF⊥AG,∴∠BAF+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠DAE.又∵AB=DA,∠AFB=∠DEA=90°,∴△ABF≌△DAE,∴BF=AE,∴AF-BF=AF-AE=EF.11.证明:由正方形的性质可得:OB=OC,∠BOM=∠CON=90°,又∵OM=ON,∴△BOM≌△CON,∴BM=CN.
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