含参数的不等式问
题
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含有参数的不等式问题主要有三种主要类型.第一种类型：解含有参数的不等式.第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围.第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立，求参数的范围.一.解含有参数的不等式如何解含有参数的不等式，解题时应该注意什么问题，我们将通过例题进行说明。【例1】(2020年,辽宁卷,18（1))解关于x的不等式【
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及解】由当时，解集是R；当时，解集是【例2】解关于的不等式【分析及解】原不等式化为，若，有，原不等式的解集为；若，有，原不等式的解集为；【例3】解不等式,()若，有，原不等式的解集为或．【分析及解】原不等式等价于移项，通分得由已知，所以解①得 ；解②得 或故原不等式的解集为【例4】已知,解关于的不等式:.【分析及解】是已知参数的范围,解不等式问题.由于给出了参数的范围,我们可以把已知不等式改写为以为主变量的不等式记,由于是关于的一次函数,它的图象是一条线段,因此,只要它的两个端点的函数值小于零,则整条线段在轴的下方,于是,关于的不等式的解等价于解得于是,不等式的解为.从以上几个例题可以看出,在解含有参数的不等式的时候,如果没有给出参数的范围,则要对参数进行分类讨论,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究.二.已知不等式成立的条件，求参数的范围.【例1】(2020年，上海卷，理19)记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若BA,求实数a的取值范围.有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的,所给出的条件可以是含参数的不等式的充分条件,也可以是充分必要条件,在解题时,要注意所给出的条件在含参数的不等式的作用,从而弄清给定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系.【分析及解】(Ⅰ)的定义域满足不等式2－≥0,得≥0,x<－1或x≥1即A=(－∞,－1)∪[1,+∞](Ⅱ)条件BA
表
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明,集合B是集合A成立的充分条件,首先要求出集合B.由(x－a－1)(2a－x)>0,得(x－a－1)(x－2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).∵BA,∴2a≥1或a+1≤－1,即a≥或a≤－2,而a<1,∴≤a<1或a≤－2,故当BA时,实数a的取值范围是.【例2】设,又设是关于的不等式组的解集,若是的充分条件,试确定的取值范围.【分析及解】本题相当于对所有满足A的x的值,都满足B,为此,设.于是有不等式组解得【【例3】(2020年，全国卷Ⅲ,理22)已知函数（Ⅰ）求的单调区间和值域；（Ⅱ）设，函数,若对于任意,总存在使得成立，求a的取值范围.分析及解】（I）对函数求导，得令解得当变化时，的变化情况如下表：0（0，）（，1）1－0+减函数－4增函数－3所以，当时，是减函数；当时，是增函数.当时，的值域为[－4，－3].（II）对函数求导，得因为，当时，因此当时，为减函数，从而当时有又即时有任给，，存在使得，则①②即解①式得；解②式得又，故a的取值范围为【例4】已知集合,,求使和同时成立的的值.【分析及解】本题是寻找使与同时成立的充要条件,为此需要把集合具体化.由题设条件可知,不是空集,可设由有由有所以有即,因此,三.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题如何解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题呢?它的操作程序如下：1.恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于,若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于.2.能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立,,则等价于函数在区间上的最大值大于,若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立,,则等价于函数在区间上的最小值小于.3.恰成立问题若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为,【例1】(2020年春考，北京卷，理14)若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是．【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题,设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得【例2】(2020年，湖北卷，理，文17)已知向量若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.第二个填空是不等式能成立的问题.设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.【分析及解】依定义在区间上是增函数等价于在区间上恒成立;而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立;设进而在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,则.于是,t的取值范围.是.【例3】(2020年，湖南卷，理21)已知函数，，.（Ⅰ）若，且存在单调递减区间，求a的取值范围；【分析及解】只研究第（I）问.，则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.由题设可知,的定义域是,因此,有解等价于在区间能成立,即,成立,进而等价于成立,其中.由得,.于是,,由题设,所以a的取值范围是.【例4】(2000年,上海卷)(Ⅰ)已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;(Ⅱ)已知当的值域是,试求实数的值.【分析及解】本题的第(Ⅰ)问是一个恒成立问题,对任意恒成立等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.由于在上为增函数,则,所以.第(Ⅱ问是一个恰成立问题,这相当于的解集是.当时,由于时,,与其值域是矛盾,当时,是上的增函数.所以,的最小值为,令,即【例5】已知命题P：对实数，不等式:对所有实数都成立,命题Q：满足，若命题“P或Q”为真，命题“P且Q”为假，求实数的取值范围.【分析及解】这是不等式的部分成立问题.解命题P得,,解命题Q得,.若命题“P或Q”为真，命题“P且Q”为假,则等价于命题P与Q一个为真,一个为假.把P和Q的解集画在数轴上,可直观地得出,实数的取值范围是或.
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