2020届全国联考理科数学（A）参考答案

理科数学（A）参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ·第1页（共8页）20·LK·YG1秘密★考试结束前[考试时间：2020年1月2日15:00~17:00]全国大联考2020届1月联考理科数学（A）参考答案一、选择题（每题5分，满分60分）题号123456答案CDBABC题号789101112答案BCADCA二、填空题（每题5分，满分20分）13.16−14.1015.226nn+16.13(,0)16−三、解答题（满分70分）17.（本题满分12分）（1）记1A表示事件“日销量量不低于100个”，2A表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”（1分）因此结合日销售量的频率分布直方图得1()(0.0060.0040.002)pA=++500.6=；（2分）2()0.003500.15pA==；()0.60.60.1520.108pB==.（2分）（2）X的可能取值为0，1，2，3，（1分）相应的概率为0303()(10.6)0.064pXC=−=，1213()0.6(10.6)0.288pXC=−=，22123()0.6(10.6)0.432pXC=−=，3333()0.60.216pXC==.（3分，每算错一个扣一分，最低0分）所以X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为𝑋∼𝐵(3,0.6)，所以随机变量X的期望()30.61.8EX==，（2分，其中分布列1分，数学期望1分）方差()30.6(10.6)0.72DX=−=.（1分）18.（本题满分12分）理科数学（A）参考答案·第2页（共8页）20·LK·YG1解：（1）由32sinacA=及正弦定理得，2sinsinsin3aAAcC==.（2分）∵sin0A（1分），∴3sin2C=，（1分）∵ABC是锐角三角形（1分），∴3C=.（1分）（2）解法1：∵7c=，3C=.由面积公式得133sin232ab=，即6ab=.①（1分）由余弦定理得222cos73abab+−=，即227abab+−=.②（2分）由②变形得2()37abab+=+.③（1分）将①代入③得2()25ab+=，故5ab+=.（2分）解法2：前同解法1，联立①、②得2276ababab+−==22136abab+==.（2分）消去b并整理得4213360aa−+=（2分）解得24a=或29a=.所以23ab==或32ab==.（1分）故5ab+=.（1分）19.（本题满分12分）【解析】（1）（6分）如图，取BD中点O，连接AO，CO.由侧视图及俯视图知，ABD，BCD为正三角形，因此AOBD⊥，OCBD⊥.因为,AOOC⊥平面AOC，且AOOCO=I，所以BD⊥平面AOC.又因为AC平面AOC，所以BDAC⊥.取BO的中点H，连接NH，PH又M，N分别为线段AD，AB的中点，所以//NHAO，//MNBD.因为AOBD⊥，所以NHBD⊥.因为MNNP⊥，所以NPBD⊥.因为,NHNP平面NHP，且NHNPN=I，所以BD⊥平面NHP.又因为HP平面NHP，所以BDHP⊥.又OCBD⊥，HP平面BCD，OC平面BCD，所以//HPOC.理科数学（A）参考答案·第3页（共8页）20·LK·YG1因为H为BO中点，故P为BC中点.（2）（6分）解法一：如图，作NQAC⊥于Q，连接MQ.由（1）知，//NPAC，所以NQNP⊥.因为MNNP⊥，所以MNQ为二面角ANPM−−的一个平面角.由（1）知，ABD，BCD为边长为2的正三角形，所以3AOOC==.由俯视图可知，AO⊥平面BCD.因为OC平面BCD，所以AOOC⊥，因此在等腰RtAOC中，6AC=，作BRAC⊥于R.在ABC中，ABBC=，所以22()2ACBRAB=−102=.因为在平面ABC内，NQAC⊥，BRAC⊥，所以//NQBR.又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，因此1024BRNQ==.同理，可得104MQ=.所以在等腰MNQ中，2cosMNMNQNQ=1045BDNQ==.故二面角ANPM−−的余弦值是105.解法二：由俯视图及（1）可知，AO⊥平面BCD.因为,OCOB平面BCD，所以AOOC⊥，AOOB⊥.又OCOB⊥，所以直线OA，OB，OC两两垂直.如图，以O为坐标原点，以𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz−.则(0,0,3)A，(1,0,0)B，(0,3,0)C，(1,0,0)D−.因为M，N分别为线段AD，AB的中点，理科数学（A）参考答案·第4页（共8页）20·LK·YG1又由（1）知，P为线段BC的中点，所以13(,0,)22M−，13(,0,)22N，13(,,0)22P.于是𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,−√3)，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√3,0)，𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0)，𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√32,−√32).设平面ABC的一个法向量𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则{𝑛1⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝑛1⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，即{𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0，有111111(,,)(1,0,3)0(,,)(1,3,0)0xyzxyz−=−=，从而11113030xzxy−=−+=.取11z=，则13x=，11y=，所以𝑛1⃗⃗⃗⃗=(√3,1,1).连接MP，设平面MNP的一个法向量𝑛2⃗⃗⃗⃗=(𝑥2,𝑦2,𝑧2)，则{𝑛2⃗⃗⃗⃗⊥𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑛2⃗⃗⃗⃗⊥𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即{𝑛2⃗⃗⃗⃗⋅𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛2⃗⃗⃗⃗⋅𝑁𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，有222222(,,)(1,0,0)033(,,)(0,,)022xyzxyz=−=，从而222033022xyz=−=.取21z=，所以𝑛2⃗⃗⃗⃗=(0,1,1).设二面角ANPM−−的大小为，则cosθ=|n1⃗⃗⃗⋅n2⃗⃗⃗|n1⃗⃗⃗|⋅|n2⃗⃗⃗||=|(√3,1,1)⋅(0,1,1)√5×√2|=√105.故二面角ANPM−−的余弦值是105.20.解：（1）由题设知222abc=+，cea=.由点(1,)e在椭圆上，得222211caab+=.解得21b=，于是221ca=−，又点3(,)2e在椭圆上，所以222314eab+=.即241314aa−+=，解得22a=.因此，所求椭圆的方程是2212xy+=.（2）由（1）知1(1,0)F−，2(1,0)F，又直线1AF与2BF平行，所以可设直线1AF的方程为1xmy+=，直线2BF的方程为1xmy−=.设11(,)Axy，22(,)Bxy，10y，20y，由221111121xyxmy+=+=得2211(2)210mymy+−−=，解得212222mmym++=+.理科数学（A）参考答案·第5页（共8页）20·LK·YG1故22111(1)AFxy=++2211()myy=+2222(1)12mmmm+++=+①同理，22222(1)12mmmBFm+−+=+②（i）由①②得2122212mmAFBFm+−=+62=解得22m=.因为0m，故2m=，所以直线1AF的斜率为122m=.（ii）因为直线1AF与2BF平行，所以211BFPBPFAF=，于是12111PBPFBFAFPFAF++=，故11112AFPFBFAFBF=+.由点B在椭圆上知1222BFBF+=.从而1112AFPFAFBF=+2(22)BF−.同理2212BFPFAFBF=+1(22)AF−，因此11212AFPFPFAFBF+=+2212(22)BFBFAFBF−++1(22)22AF−=12122AFBFAFBF−+.又由①②知212222(1)2mAFBFm++=+，212212mAFBFm+=+.所以122322222PFPF+=−=.因此12PFPF+是定值.21.解：（Ⅰ）因为1()ln1afxxaxx−=−+−.所以211'()afxaxx−=−+221axxax−+−=(0,)x+.令2()1hxaxxa=−+−，(0,)x+.（1）当0a=时，()1hxx=−+，(0,)x+.所以，当(0,1)x时，()0hx，此时'()0fx，函数()fx单调递减；当(1,)x+时，()0hx，此时'()0fx，函数()fx单调递增.（2）当0a时，由'()0fx=.理科数学（A）参考答案·第6页（共8页）20·LK·YG1即210axxa−+−=，解得11x=，211xa=−.①当12a=时，12xx=，()0hx恒成立，此时'()0fx，函数()fx在(0,)+上单调递减；②当102a时，1110a−.(0,1)x时，()0hx，此时'()0fx，函数()fx单调递减；1(1,1)xa−时，()0hx，此时'()0fx，函数()fx单调递增；1(1,)xa−+时，()0hx，此时'()0fx，函数()fx单调递减；③当0a时，由于110a−，(0,1)x时，()0hx，此时'()0fx，函数()fx单调递减；(1,)x+时，()0hx，此时'()0fx，函数()fx单调递增.综上所述：当0a时，函数()fx在(0,1)上单调递减；函数()fx在(1,)+上单调递增；当12a=时，函数()fx在(0,)+上单调递减；当102a时，函数()fx在(0,1)上单调递减；函数()fx在1(1,1)a−上单调递增；函数()fx在1(1,)a−+上单调递减.（Ⅱ）因为11(0,)22a=，由（Ⅰ）知，11x=，23(0,2)x=，当(0,1)x时，'()0fx，函数()fx单调递减，当(1,2)x时，'()0fx，函数()fx单调递增，所以()fx在(0,2)上最小值为1(1)2f=−.由于“对任意1(0,2)x，存在2[1,2]x，使12()()fxgx”等价于“()gx在[1,2]上的最小值不大于()fx在(0,2)上的最小值12−”(*)又22()()4gxxbb=−+−，[1,2]x，所以理科数学（A）参考答案·第7页（共8页）20·LK·YG1①当1b时，因为min[()](1)520gxgb==−，此时与(*)矛盾；②当[1,2]b时，因为2min[()]40gxb=−，同样与(*)矛盾；③当(2,)b+时，因为min[()](2)84gxgb==−，解不等式1842b−−，可得178b.综上，b的取值范围是17[,)8+.22.解：（1）将3(1,)2M及对应的参数3=，代入cossinxayb==，得1cos33sin23ab==，即21ab==.所以曲线1C的方程为2cossinxy==（为参数），或2214xy+=.设圆2C的半径为R，由题意，圆2C的方程为2cosR=，（或222()xRyR−+=）.将点(1,)3D代入2cosR=，得12cos3R=，即1R=.（或由(1,)3D，得13(,)22D，代入222()xRyR−+=，得1R=），所以曲线2C的方程为2cos=，或22(1)1xy−+=.（2）因为点1(,)A，2(,)2B+在曲线1C上.所以222211cossin14+=，222222sincos14+=.所以221211+22cos(sin)4=+22sin5(cos)44++=.23.解：（1）由26xaa−+得26xaa−−，∴626axaa−−−，即33ax−，∴32a−=−，∴1a=.（2）由（1）知()211fxx=−+，令()()()nfnfn=+−.理科数学（A）参考答案·第8页（共8页）20·LK·YG1则()21212nnn=−+++124,2114,22124,2nnnnn−−=−+.∴()n的最小值为4，故实数m的取值范围是)4,+.