§2.2 等差数列(一)课时目标1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d
表
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示．2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝eq\f(a＋b,2).3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.4．等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列． 一、选择
题
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1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )A．2B．3C．－2D．－3答案 C2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( )A．30°B．60°C．90°D．120°答案 B3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则a101的值为( )A．49B．50C．51D．52答案 D4．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则eq\f(a,b)等于( )A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案C解析 eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝a＋b，,2b＝x＋2x，))∴a＝eq\f(x,2)，b＝eq\f(3,2)x.∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )A．1B．2C．4D．6答案 B解析 设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a(a－d)(a＋d)＝48，解得a＝4且d＝±2，又{an}递增，∴d>0，即d＝2，∴a1＝2.6．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )A．an＝2n－2(n∈N*)B．an＝2n＋4(n∈N*)C．an＝－2n＋12(n∈N*)D．an＝－2n＋10(n∈N*)答案 D解析 由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2·a4＝12，,a2＋a4＝8，,d<0，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝6，,a4＝2，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,d＝－2，))所以an＝a1＋(n－1)d，即an＝8＋(n－1)×(－2)，得an＝－2n＋10.二、填空题7．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a、b的等差中项是________________________________________________________________________．答案 eq\r(3)8．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．答案 an＝eq\f(1,4)n＋1解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝eq\f(5,4).∴这个等差数列的前三项依次为eq\f(5,4)，eq\f(3,2)，eq\f(7,4).∴d＝eq\f(1,4)，an＝eq\f(5,4)＋(n－1)×eq\f(1,4)＝eq\f(n,4)＋1.9．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则eq\f(d1,d2)的值为________．答案 eq\f(4,3)解析 n－m＝3d1，d1＝eq\f(1,3)(n－m)．又n－m＝4d2，d2＝eq\f(1,4)(n－m)．∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(\f(1,3)n－m,\f(1,4)n－m)＝eq\f(4,3).10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．答案 eq\f(8,3)
0))解得：eq\f(8,3)1，n∈N*时，有eq\f(an－1,an)＝eq\f(2an－1＋1,1－2an)，设bn＝eq\f(1,an)，n∈N*.(1)求证：数列{bn}为等差数列．(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．(1)证明 当n>1，n∈N*时，eq\f(an－1,an)＝eq\f(2an－1＋1,1－2an)⇔eq\f(1－2an,an)＝eq\f(2an－1＋1,an－1)⇔eq\f(1,an)－2＝2＋eq\f(1,an－1)⇔eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝4⇔bn－bn－1＝4，且b1＝eq\f(1,a1)＝5.∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解 由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.∴an＝eq\f(1,bn)＝eq\f(1,4n＋1)，n∈N*.∴a1＝eq\f(1,5)，a2＝eq\f(1,9)，∴a1a2＝eq\f(1,45).令an＝eq\f(1,4n＋1)＝eq\f(1,45)，∴n＝11.即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．1．判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．3．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.
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