25全等三角形

全等三角形本课内容本节内容2.5如图是两组形状、大小完全相同的图形.用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？做一做（1）（2）（1）（2）我发现它们可以完全重合结论我们把能够完全重合的两个图形叫作全等图形.动脑筋如图，△ABC分别通过平移、旋转、轴反射后得到△，问△ABC与△能完全重合吗？根据平移、旋转和轴反射的性质，可知分别通过上述三个变换后得到的△与△ABC都可以完全重合，因此它们是全等图形.结论能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角.A′B′C′ABCA(A′)B(B′)C(C′)例如，图（1）中的△ABC和△全等，其中A与A′，B与B′，C与C′是对应顶点；记作：△ABC≌△.AB与，BC与，CA与是对应边；∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′是对应角.（1）小提示全等用符号“≌” 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，读作“全等于”.在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.结论全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：例如，举例例1如图，已知△ABC≌△DCB，AB=3，DB=4，∠A=60°.（1）写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；（2）求AC，DC的长及∠D的度数.解（1）AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC是对应角.∴AC=DB=4，DC=AB=3.（2）∵AC与DB，AB与DC是全等三角形的对应边，∵∠A与∠D是全等三角形的对应角，∴∠D=∠A=60°.练习如图，已知△ADF≌△CBE，AD=4，BE=3，AF=6，∠A=20°，∠B=120°.（1）找出它们的所有对应边和对应角；（2）求△ADF的周长及∠BEC的度数.解（1）AF与CE，AD与CB，DF与BE是对应边；∠A与∠C，∠AFD与∠CEB，∠D与∠B是对应角.（2）△ADF的周长是13，∠BEC=40°.两个三角形满足什么条件就能全等呢？下面我们就来探讨这个问题.每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm.将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？探究50°2cm2.5cm50°2cm2.5cm50°2cm2.5cm我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真.设在△ABC和中，，（1）△ABC和的位置关系如图.将△ABC作平移，使BC的像与重合，△ABC在平移下的像为.由于平移不改变图形的形状和大小，因此△ABC≌因为，所以线段A″B″与重合，因此点与点重合，那么与重合，所以与重合，因此，从而（2）△ABC和的位置关系如图（顶点B与顶点重合）.因为，将△ABC作绕点B的旋转，旋转角等于，所以线段BC的像与线段重合.因为，所以(A)B(C)由于旋转不改变图形的形状和大小，又因为，所以在上述旋转下，BA的像与重合，从而AC的像就与重合，于是△ABC的像就是因此△ABC≌(A)B(C)（3）△ABC和的位置关系如图.根据情形（1），（2）的结论得将△ABC作平移，使顶点B的像和顶点重合，因此（4）△ABC和的位置关系如图.将△ABC作关于直线BC的轴反射，△ABC在轴反射下的像为由于轴反射不改变图形的形状和大小，因此△ABC≌根据情形（3）的结论得，因此由此得到判定两个三角形全等的基本事实：结论两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.通常可简写成“边角边”或“SAS”.例2已知：如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.求证：△ACO≌△BDO.举例证明：在△ACO和△BDO中，∴△ACO≌△BDO.（SAS）AO=BO，∠AOC=∠BOD，（对顶角相等）CO=DO，练习1.如图，将两根钢条AA′和BB′的中点O连在一起，使钢条可以绕点O自由转动，就可做成测量工件内槽宽度的工具（卡钳）.只要量出的长，就得出工件内槽的宽AB.这是根据什么道理呢？解△ABO≌△A′B′O，∴AB=A′B′.2.如图，AD∥BC，AD=BC.问：△ADC和△CBA是全等三角形吗？为什么？解∵AD∥BC∴△ADC≌△CBA.∴∠DAC=∠BCA，又AD=BC，AC公共3.已知：如图，AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点.求证：BE=CF.解∵AB=AC,且E，F分别是AC，AB中点，∴△ABE≌△ACF，∴AF=AE，又∠A公共，∴BE=CF.动脑筋如图，在△ABC和中，如果BC=，∠B=∠B′，∠C=∠C′，你能通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与重合吗？那么△ABC与全等吗？类似于基本事实“SAS”的探究，同样地，我们可以通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与重合，因此△ABC≌结论由此得到判定两个三角形全等的基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.通常可简写成“角边角”或“ASA”.举例例3已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.求证：△ABE≌△CDF.证明∵AB∥DC，∴∠A=∠C.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）.∠A=∠C，AB=CD，∠B=∠D，例4如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着和AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使D，E，B恰好在一条直线上.于是小军说：“CD的长就是河的宽.”你能说出这个道理吗？举例图3-35ABECD解：在△AEB和△CED中，∠A=∠C=90°，AE=CE，∠AEB=∠CED(对顶角相等)∴△AEB≌△CED.（ASA）∴AB=CD.(全等三角形的对应边相等)因此，CD的长就是河的宽度.练习1.如图，工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片去.请问应带哪块玻璃碎片去？为什么？答：应带玻璃碎片③去;只有这块玻璃具备决定全等三角形的几个条件:在直角三角形中已知一个锐角和一条直角边，由AAS判定定理即可确定两个三角形全等，故应带这块玻璃去.2.已知：如图，△ABC≌，CF，分别是∠ACB和的平分线.求证：证明：△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′,∠ACB=∠A′C′B′.∴AC=A′C′证明：∴CF=C′F′.又CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线，∴∠ACF=∠A′C′F′.∴△ACF≌△A′C′F′动脑筋如图，在△ABC和中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，，那么△ABC和全等吗？根据三角形内角和定理，可将上述条件转化为满足“ASA”的条件，从而可以证明△ABC≌在△ABC和中，∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴∠C=∠C′.又∵，∠B=∠B′，∴(ASA).结论由此得到判定两个三角形全等的定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.通常可简写成“角角边”或“AAS”.例5已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADC.举例证明∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD（同角的补角相等）.在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（AAS）.∠B=∠D，∠ACB=∠ACD，AC=AC，例6已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC∥FD，∠A=∠D，BF=EC.求证：△ABC≌△DEF.举例证明∵AC∥FD，∴∠ACB=∠DFE.∵BF=EC，∴BF+FC=EC+FC，即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）.∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，BC=EF，练习1.已知：如图，∠1=∠2，AD=AE.求证：△ADC≌△AEB.∴△ADC≌△AEB（AAS）.∠1=∠2，∠A=∠A，AD=AE，证明∵在△ADC和△AEB中，2.已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E.求证：BD=CE.证明由题意可知△BEC和△BDC均为直角三角形，∵在Rt△BEC和Rt△CDB中，∠ABC=∠ACB，BC=BC，∴Rt△BEC≌Rt△CDB（AAS）.∠BEC=∠CDB=90°，探究如图，在△ABC和中，如果，，，那么△ABC与全等吗？如果能够说明∠A=∠A′，那么就可以由“边角边”得出△ABC≌将△ABC作平移、旋转和轴反射等变换，使BC的像与重合，并使点A的像与点在的两旁，△ABC在上述变换下的像为由上述变换性质可知△ABC≌，则，连接∴∠1=∠2，∠3=∠4.从而∠1+∠3=∠2+∠4，∵，，即在和中，∴≌（SAS）.∴△ABC≌，，，结论由此可以得到判定两个三角形全等的基本事实：三边分别相等的两个三角形全等.通常可简写成“边边边”或“SSS”.举例例7已知：如图，AB=CD，BC=DA.求证：∠B=∠D.证明：在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA.(SSS)AB=CD，BC=DA，AC=CA，(公共边)∴∠B=∠D.举例例8已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，且AD=AE，BE=CD.求证：△ABD≌△ACE.证明∵BE=CD，∴BE-DE=CD-DE.即BD=CE.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SSS）.AB=AC，BD=CE，AD=AE，结论由“边边边”可知，只要三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.结论三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都采用三角形结构，其道理就是运用三角形的稳定性.练习1.如图，已知AD=BC，AC=BD.那么∠1与∠2相等吗？答：相等.因为AD=BC，AC=BD，AB公共，所以△ABD≌△BAC(SSS).所以∠1=∠2(全等三角形对应角相等).2.如图，点A，C，B，D在同一条直线上，AC=BD，AE=CF，BE=DF.求证：AE∥CF，BE∥DF.证明∵AC=BD，∴AC+BC=BD+BC，即AB=CD.所以AE∥CF，BE∥DF.又AE=CF，BE=DF，所以△ABE≌△CDF(SSS).所以∠EAB=∠FCD,∠EBA=∠FDC(全等三角形对应角相等).议一议根据下列条件，分别画△ABC和（1），，∠B=∠B′=45°；满足上述条件画出的△ABC和一定全等吗？由此你能得出什么结论？满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.（2）∠A=∠A′=80°，∠B=∠B′=30°，∠C=∠C′=70°.满足上述条件画出的△ABC和一定全等吗？由此你能得出什么结论？满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：三角分别相等的两个三角形不一定全等.举例例9已知：如图，AC与BD相交于点O，且AB=DC，AC=DB.求证：∠A=∠D.证明连接BC.在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS）.∴∠A=∠D.AB=DC，BC=CB（公共边），AC=DB，举例例10某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道.为估测这条隧道的长度（如图），需测出这座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给出什么好 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 吗？解选择某一合适的地点O，使得从O点能测出AO与BO的长度.这样就构造出两个三角形.连接AO并延长至A′，使；连接BO并延长至B′，使，连接，OA′B′在△AOB和中，，，，∴△AOB≌（SAS）.∴AB=因此只要测出的长度就能得到这座山A，B间的距离.练习1.已知：如图，AB=AD，BC=DC.求证：∠B=∠D.证明如图，连接AC.所以△ACB≌△ACD(SSS).所以∠B=∠D.在△ACB和△ACD中，AB=AD，BC=CD，AC=AC（公共边），2.如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边或角（见下表），请再补充适当的条件，从而能运用已学的判定方法来判定△ABC≌△DEC.SSSAC=DC，AB=DEAAS∠A=∠D，AB=DEASA∠A=∠D，AB=DESASAC=DC，∠A=∠D判定方法补充条件已知条件AB=DE∠B=∠E∠ACB=∠DCEBC=EC如图，在△ABC与△DEF中，已知条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）.A.∠B=∠E，BC=EFB.BC=EF，AC=DFC.∠A=∠D，∠B=∠ED.∠A=∠D，BC=EF中考试题例1AB=DE,∠A=∠D,BC=EF但△ABC与△DEF不全等.解D中考试题例2如图4.2-2，△ACB≌，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）.A.20°B.30°C.35°D.40°B解∵△ACB≌△，∴，∴.故选B.结束