高等数学不定积分讲义

第3、4次课4学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：不定积分的概念与性质教学要求：1.理解不定积分的概念2.理解不定积分的性质；3.熟记基本积分表。重点：不定积分的性质和基本积分表难点：不定积分的概念教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.不定积分的概念（25）2.不定积分的性质（30）3.基本积分表（30）4.习题（90）课后作业参考资料不定积分的概念与性质1、复习13个基本导数公式.2、原函数与不定积分的概念.（1）定义1在区间I上，如果可导函数Fx的导函数为f(x)，即对任一xI，都有F'xf(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数Fx就称为f(x)(或fxdx)在区间I上的原函数.（2）原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数Fx,使对任一xI都有F(x)f(x).注：1、如果函数f(x)在区间I上有原函数Fx,那么f(x)就有无限多个原函数.F(x)C都是f(x)的原函数.(其中C是任意常数)2、f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果(x)和Fx都是f(x)的原函数,则FxC(C为某个常数).简单地说就是,连续函数一定有原函数.定义2在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分.记作f(x)dx,其中记号称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.3、例题讲解.例1因为sinx是cosx的原函数,所以cosxdxsinxC.因为x是1的原函数,所以1dxxC.2x2x例2.求函数f(x)1x的不定积分解：当x0时，(lnx)当x0时，[ln(x)]1，1dxlnxC(x0).xx1(1)1，1dxln(x)C(x0).合并上面两式,得到xxx1dxln|x|C(x0).x例3.求x2dx.'解由于x3x2，所以x3是x2的一个原函数，因此x2dxx3C.3334、变式练习5、积分曲线函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系d[f(x)dx]f(x)或d[f(x)dx]f(x)dx.dx又由于F(x)是F'x的原函数,所以F(x)dxF(x)C或记作dF(x)F(x)C.6、基本积分表（略）.例4.1dxx3dx1x31C1C.x3312x2x2557例5.xdxx2dx11C2x3xC.x22x2C517727、不定积分的性质.性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx.这是因为,[()()dx][f()][()]f(x)g(x).fxdxgxxdxgxdx性质2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即kf(x)dxkf(x)dx(k是常数,k0)例6.x(x2515)dx(x25x2)dx.5151x2dx5x2dxx2dx5x2dx7232x2C.x2573例7.(x1)3dxx33x23x1dx(x331)dxx2x2xx211121xdx3dx3xdxx2dx2x3x3ln|x|xC.8.变式练习(1)dxx2x(2)(3x1)dxx3x43x21(3)（x2）2xdxx2x(x3)dx(7)（x-1+3-4）2xx3x4dxx21dx(1x2)(10)cot2xdx(5)x2dx1(8)32(2)dx1x1x2e2x1(11)ex1dx(6)1x2dx(9)xxxdx(12)3xexdx第5次课2学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第一类换元积分法教学要求：1.掌握第一类换元积分法重点：第一类换元积分法难点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.第一类换元积分法理论（25）2.练习（65）课后作业参考资料第一类换元积分法1、回顾旧知1）复习13个常见积分公式（2）思考：cos2xdxsin2xC对吗2、第一类换元法.设f(u)有原函数F(u)u(x)且(x)可微那么根据复合函数微分法有dF[(x)]dF(u)F'(u)duF'[(x)]d(x)F'[(x)]'(x)dx即f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)[F(u)C]u(x)F[(x)]C定理1设f(u)具有原函数u(x)可导则有换元公式f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)f(u)duF(u)CF[(x)]C3、讲授例题.1例1cos2xdxcos2x(2x)dx12cos2xd(2x)2令u2x1cosudu1C1sin2xC2sinu22例21dx11(3xdx11d(32x)3232)232x2x2x令u32x11du1ln|u|C1ln|32x|C2u22例3tanxdxsinxdx1dcosx=ln|cosx|Ccosxcosx例4求sec6xdx.解sec6xdx(tan2x1)2sec2xdx(tan4x2tan2x1)dtanx1tan5x2tan3xtanxC534、变式练习.１）(3x3dx２）dx2)323x３）sintdttdx４）xlnxln(lnx)５）dx６）dxcosxsinx７）xcos(x2)dxexex3x3８）dx1x4第6次课2学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第一类换元积分法教学要求：1.掌握第一类换元积分法重点：第一类换元积分法难点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.练习（90）课后作业参考资料第一类换元积分法1、复习旧知.1）13个常见的积分公式.2）第一类换元积分法.2、例题讲解（较难的积分）.例1.sin3xdxsin2xsinxdx(1cos2x)dcosxdcosxcos2xdcosxcosx1cos3xC3例2.cos2xdx1cos2xdx1(dxcos2xdx)1dx1cos2xd2x1x1sin2xC222424dxdtanx例3.cscxdx1dx1xdx22x2ln|tanx|Csinxxxx22sin2cos2tan2cos2tan2ln|cscxcotx|C即cscxdxln|cscxcotx|C例4.secxdxcsc(x)dxln|csc(x)cot(x)|Cln|secxtanx|C222即secxdxln|secxtanx|C3、变式练习.sinx1x1）3xdx2）dxcos94x2）dx3xdx4）cos32x215)sin2xcos3xdx6)tan3xsecxdxx31xdx7)9x2dx8)3cos2x4sin2102arccosxarctanx9)1x2dx10)x(1x)dx4、小结（1）分项积分：利用积化和差;分式分项;1sin2xcos2x等；（2）降低幂次：利用倍角公式,如cos2x21(1cos2x);sin2x21(1cos2x).（3）统一函数:利用三角公式;配元方法.（4）巧妙换元或配元第7次课2学时课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第二类换元积分法教学要求：1.理解第二类换元积分法重点：第二类换元积分法难点：第二类换元积分法教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.第二类换元积分法理论（25）2.练习（65）课后作业参考资料第二类换元积分法1、复习第一类换元积分法.2、第二类换元法.（1）定理1设xt是单调的、可导的函数并且t0又设f[t]t具有原函数Ft则有换元公式f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)F[1(x)]C其中t1x是xt的反函数这是因为{F[1(x)]}F(t)dtf[(t)](t)1f[(t)]f(x)dxdxdt3、例题讲解.例1.求a2x2dx(a>0)解:设xasinx，2t2那么a2x2a2a2sin2tacostdxacostdt于是a2x2dxacostacostdta2cos2tdta2(1t1sin2t)C24因为tarcsinxsin2t2sintcost2xa2x2所以,aaaa2x2dxa2(1t1sin2t)Ca2arcsinx1xa2x2C.242a2例2求dx.4x29解原式1d(2x)321ln2x4x29C.2(2x)22例3求dx.1ex解为了消去根号，设1ext，则xln(t21),dxt2tdt.所以21dx2tdt21dt11dt1ext(t21)t21t1t1lnt1Cln1ex1C.t11ex14、变式练习.１）1dxx1x2３）x24dxx５）dx(x21)3７）dxx1x2２）sinxdxx2４）dx,(a0)a2x2６）dx2x1８）dx1x21课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程第8次课2学时本次课题：分部积分法1教学要求：1.掌握分部积分法重点：分部积分法难点：分部积分法教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.分部积分法理论（25）2.练习（65）课后作业参考资料分部积分法1、提出问题：求解xexdx（让学生试着求解）.2、分部积分公式.设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为(uv)uvuv,移项得uv(uv)uv.对这个等式两边求不定积分得uvdxuvuvdx或udvuvvdu这个公式称为分部积分公式思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。3、例题讲解.例1求xexdx.解设ux,dvexdx,那么dudx,vex.于是xexdxxdexxexexdxxexexC.例2求xlnxdx.解令ulnx,v'x,则u'1,v1x2.x2原式1x2lnx1xdx1x2lnx1x2C.2224例3求xsind.exx解设usinx,vex.ucosx,vex.则原式exsinxexcosxdx.再令ucosx,vex.则usinx,vex.exxexxxxx故原式e.sincossind故exsinxdx12ex(sinxcosx)C.说明:也可设uex,v为为三角函数,但两次所设类型必须一致.注：(1)凑微分公式'.f(x)dxudvuvvduuvvudx(2)vu'dx应较f(x)dx易积分.(3)熟悉了分部积分的步骤后，可以不明确写出u,dv，而是直接用公式来做.例5求xcosxdx.解cosxdxxdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxC.例6求x2exdx.解x2exdxx2dexx2exexdx2x2ex2xexdxx2ex2xdexx2ex2xex2exdxx2ex2xex2exCexx22x2C.4、变式练习.课程安排：1学期，周学时2,共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程１）xsinxdx２）arcsinxdx３）x2lnxdx４）e2xsinxdx2５）x2arctanxdx６）x2cosxdx７）ln2xdx８）x2cos2xdx2第9次课2学时本次课题：分部积分法教学要求：1.会应用分部积分法求积分重点：分部积分法难点：分部积分法教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.习题（90）课后作业参考资料分部积分法1、复习分部积分法.2、例题讲解.例1求exsinxdx解因为exsinxdxsinxdexexsinxexdsinxexsinxexcosxdxexsinxcosxdexexsinxexcosxexdcosxexsinxexcosxexdcosxexsinxexcosxexsinxdx所以exsinxdx1ex(sinxcosx)C2例2求sec3xdx解因为sec3xdxsecxsec2xdxsecxdtanxsecxtanxsecxtan2xdxsecxtanxsecx(sec2x1)dxsecxtanxsec3xdxsecxdxsecxtanxln|secxtanx|sec3xdx所以sec3xdx1(secxtanxln|secxtanx|)C2例3arccosxdxxarccosxxdarccosxxarccosxx1dx1x21x21x2xarccosx1x2Cxarccosx(1)2d)2(1解题技巧：选取u及v的一般方法：把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂三指”的顺序，前者为u后者为v.例4xarctanxdx1arctanxdx21x2arctanx1x21dx1x2arctanx1(11)dx2221x2221x212arctanx11C2x2x2arctanx例5求Indx其中n为正整数(x2a2)n解I1dx1arctanxCx2a2aa当n1时，用分部积分法有dxx2(n1)x2ndxx2(n1)[1a2n]dx22)n1(x22)n122)(x22)n122n122)(xaa(xaa(xa)(xa即In1(x2x2(n1)(In1a2In)a2)n1于是In1[x(23)](x2a2)n1nIn12a2(n1)以此作为递推公式并由I11arctanxC即可得Inaa例6求exdx解令xt2则dx2tdt于exdx2tetdt2et(t1)C2ex(x1)Cexdxexd(x)22xexdx2xdex2xex2exdx2xex2exC2ex(x1)C例7x2a2dx(a0).解设ux2a2,v1,则ux2,vx.x2a2222x2xadxxxax2a2dxxx2a2(x2a2)a2x2a2dxxx2a2x2a2dxa2dx2.x2a所以原式1xx2a2a2ln(xx2a2)C.22注：（第一换元法与分部积分法的比较）共同点是第一步都是凑微分f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)令(x)uf(u)duu(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)3、变式练习.xexdxdxarctanex１）ex12)sin(2x)2sinx３）e2xdxx5dxx5xdxsinxcosxdx4x3４）1５）x81６）sinxcosx