三维空间中二维网格的迭代结果不是环面昨天，张文琦(228254913)同学的一篇日志又把椭圆迭代问题推向了高潮。这篇日志把平面中的多边形推广到了三维空间中的二维网格。作者得到的结论是，二维网格的迭代结果是环面(torus)。同时作者注意到，有时候环面上会打一个结”这个结需要大量的迭代才能解开。我对这个结”感到非常好奇，于是继续用上一篇日志中的傅里叶
分析
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方法对二维网格的迭代进行了分析。结果发现：这样的结'其实有两个；它们并不只是有时”会出现，而是必然会出现；而且,无论迭代多少次，这两个结”都不会消失。二维网格的迭代结果并不是环面，而是一种叫作elliptictranslationalcelestial的曲面,它与环面最显著的区别就是有两个结”。一、三维空间中二维网格迭代问题的描述与上一篇日志一样，我用小括号表示迭代次数，中括号表示点的下标。首先定义二维网格。在三维空间中取n*m个点P[i][j]=(x[i][j],y[i][j],z[i][j])，其中0<=i
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了满足上面定义的二维网格所撑起来的曲面，必定同胚于环面。通过计算机绘图观察，他认为二维网格经过迭代也收敛成环面。三、用傅里叶变换分析迭代结果的形状我用Matlab绘制得到的一次迭代结果如下图所示。我们看到,图形打结”了，而且这个结”经过了上千次迭代都没有消失。Iteration1021i>Q£L>.0-••……….Y怎么回事呢？我决定再次拿出傅里叶变换这个大杀器。与多边形的情形一样，二维网格的迭代关于x、y、z三个坐标也是独立的所以，我们可以只分析x坐标。在分析多边形时，我们把各个点的x坐标看成了一个离散的、周期性重复的一维序列。在这里，我们可以把二维网格上各点的x坐标看成一个离散的、周期性重复的二维序列。而迭代操作，则是把这个二维序列与二维滤波器[1/4,1/4;1/4,1/4]进行二维循环卷积。这个滤波器的二维傅里叶变换的模如下:102030除去直流分量(左上角)，模最大的两个值位于第2行第1列(以及左下角)和第1行第2列(以及右上角)。迭代过程中能留下来的也正是这两个分量，它们在原域中分别是sin(2*pi*i/n+P1)以及sin(2*pi*j/m+P2)(P1、P2为任意相位)。于是我们可以得到迭代足够多次后的网格表达式：x(k)[i][j]〜Cx1(k)*sin(2*pi*i/n+Px1(k))+Cx2(k)sin(2*pi*j/m+Px2(k))y(k)[i][j]〜Cy1(k)*sin(2*pi*i/n+Py1(k))+Cy2(k)sin(2*pi*j/m+Py2(k))z(k)[i][j]〜Cz1(k)*sin(2*pi*i/n+Pz1(k))+Cz2(k)*sin(2*pi*j/m+Pz2(k))其中Cxi、Cy1、Cz1、Cx2、Cy2、Cz2、Px1、Py1、Pz1、Px2、Py2、Pz2由初始网格决定，在迭代过程中按滤波器的特性演变。注意到上面三个式子中，如果仅保留右边的第一项，则可以得到一个三维空间中的椭圆，其中心位于原点；仅保留右边的第二项，也可以得到一个中心位于原点椭圆。于是极限网格就是由这两个椭圆叠加”而成的。精确地说，是把一个椭圆A的中心放到另一个椭圆B上，然后沿着椭圆B平移椭圆A所生成的曲面。下面我画出了一次迭代过程，可以看到两个椭圆渐渐成形。曲面的成形则略慢一些O四、极限曲面的性质及与环面的区别TIE与一个椭圆沿另一个椭圆平移得到的曲面”有关的研究似乎并不多。我在Google上搜索这种曲面的名称，只发现了2013年6月arXiv上的一篇文章，其中称这种曲面为elliptictranslationalcelestial。首先我们来研究一下elliptictranslationalcelestial这个名称。Elliptic是椭圆的”，translational是平移的”，这两个词比较好理解。celestial我没有找到中文翻译，但这个词出现在“celestialbody（天体）中，也许来自于天文学。事实上，天文学中的确可以找到这种曲面，例如在地球的公转过程中，地球的赤道（椭圆A）沿地球公转轨道（椭圆B）平移形成的曲面就是elliptictranslationalcelestial（忽略地球自转引起的赤道自转），只是我不知道在天文学上这种曲面有没有研究价值。Elliptictranslationalcelestial（下文简称ETC）与环面看起来都是一个椭圆沿另一个椭圆运动所形成的曲面，那么二者有什么区别呢？区别在于，形成环面时椭圆A并不是在平移，而是在绕椭圆B的法线旋转。如果你想象一个钥匙链（椭圆A）套在一个呼啦圈（椭圆B）上，那么你沿着呼啦圈去撸钥匙链，钥匙链的运动大约就是旋转。那么在实际中，钥匙链能平移么？不行！如果真要平移，在呼啦圈上的两个位置，钥匙链必须穿过呼啦圈。正是由于这个原因，在ETC的两头会形成两个结”请看上图，这是椭圆A（蓝色）沿椭圆B（红色）平移所形成的ETC。乍一看很像个环面，但请注意它的左右两端是打了结的，红色椭圆从这个结里露了出来。如果蓝色椭圆再胖”一些，这个结就会更加明显：在这张图中，似乎洞”（上下）与结”（左右）的区别已经不那么明显了。对！如果蓝色的椭圆变得更大，大过了红色的椭圆，那么这个图就更容易被理解成红色椭圆沿着蓝色椭圆平移而形成。这时，上下的连通洞”被截断成为两个结”，而左右的两个结”打通形成一个洞”:总结一下ETC的性质，其实是这样的：1）两个椭圆各有一条法线，在这两条法线方向上会形成洞”或结”2）存在第三个方向与两条法线都垂直。在这个方向上直径”比较大的椭圆，它的法线方向上是一个洞”；在这个方向上直径”比较小的椭圆，它的法线方向上是两个结”当然，ETC有一些退化的情况，如：1）两个椭圆在第三个方向上的直径相等，此时ETC上没有连通的洞”而有四个几乎打通的结”2）有一个椭圆在第三个方向上的直径为0，此时ETC退化成一个椭圆筒；3）两个椭圆共面，此时ETC退化成平面图形。五、如果初始网格就是环面会怎样?从直觉来看，环面不停地迭代，应该一直都是环面，似乎不会自交。这与迭代结果为ETC矛盾吗？不矛盾！下面的迭代过程显示，环面会越来越窄（内、外径之差越来越小），收敛成一个椭圆筒。而椭圆筒是环面与ETC的共同退化情况。亦DI603©矗附：生成动画的Matlab代码任意初值的迭代functionanime3d(n,a,x,y,z)if(nargin<3)x=rand(n,n);y=rand(n,n);z=rand(n,n);endcla;boxoff;gridon;axisequal;set(gca,'XLim',[-22],'YLim',[-22],'ZLim',[-22]);iter=0;while(true)x=x-mean(x(:));y=y-mean(y(:));z=z-mean(z(:));%Dothiseveryiteration,otherwiseerrorwillaccumulateand%theshapewill"flyaway"x=x/std(x(:));y=y/std(y(:));z=z/std(z(:));[az,el]=view;cla;holdall;mesh([x,x(:,1);x(1,:),x(1,1)],...[y,y(:,1);y(1,:),y(1,1)],…[z,z(:,1);z(1,:),z(1,1)],'FaceColor','interp','FaceAlpha',0.5);plot3(mean([x,x(:,1)],1),...mean([y,y(:,1)],1),...mean([z,z(:,1)],1),'b','LineWidth',5);plot3(mean([x;x(1,:)],2),...mean([y;y(1,:)],2),...mean([z;z(1,:)],2),'r','LineWidth',5);title(['Iteration',num2str(iter)]);view([az,el]);drawnow;x=cconv2(x,a);y=cconv2(y,a);z=cconv2(z,a);iter=iter+1;[az,el]=view;endend说明：程序中用到了cconv2函数(二维循环卷积)，Matlab没有自带，可以在这里下载。为简便起见，我令n=m。a为滤波器系数，本文讨论的迭代过程a=[1/4,1/4;1/4,1/4]。你也可以自己设计其它的系数玩玩。x,y,z为初始网格，可以不指定，让程序随机生成。程序运行过程中，可以旋转三维图，从各个角度观察。初值为环面的迭代第五章中展示的由环面收敛到椭圆筒的过程可以由下面的程序演示。其中dem矩阵只是为了把环面转一个角度。funetiontorus2celestialn二20;i=(0:n-1)'/n*2*pi;j=i'；R=1;r=0.5;x=(R+r*eos(i))*eos(j);y=(R+r*eos(i))*sin(j);z=r*sin(i)*ones(size(j));dem=angle2dem(1,1,1);X=dem(1,1)*x+dem(1,2)*y+dem(1,3)*乙Y二dem(2,1)*x+dem(2,2)*y+dem(2,3)*乙Z=dem(3,1)*x+dem(3,2)*y+dem(3,3)*乙a=[11;11]/4;anime3d(n,a,X,Y,Z);end
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