有限元
方法
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超收敛性综述专业方向计算数学学号082111026姓名何果一、有限元方法简介有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易
分析
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的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FiniteElementMethod)。在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。有限元方法是解偏微分方程数值解一中行之有效的数值计算方法，广泛应用与科学与工程计算各领域，它已经取得了巨大的成功。冯康先生在1965年著名的
论文
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《基于变分原理的差分格式》中第一次独立阐明了有限元方法的实施数学实质和理论基础，这是第一次系统的采用连续的工具特别是偏微分方程的工具来处理离散化的技术，更确切地说，有限元法就是为了对一些工程问
题
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求得近似解的一种数值方法，从数学的角度来讲，有限元法是从变分原理或加权残数法出发，通过区域剖分和分片插值，通常是分片多项式插值，把偏微分方程的求解化为线性方程组的求解。然而，直接从有限元解计算所得的导数在单元边界不连续且整体精度不高，网格加密呵有限元次数增加能适当改善精度，然而随着网格的加密和多项式次数的提高，有限元方法产生的线性代数方程组的阶将暗几何级数增长，但是计算机技术发展的速度总是赶不上有限元方法对它的这种需求。因而怎样对有限元方法所得到得数值结果事后进行某种加工(这种加工工作量极小)来提高有限元解及其导数的精度是有限元研究的一项重要内容。在这一方面前辈们已经做出的很多出色的工作。二、有限元的超收敛性历史回顾和当前进展有限元的超收敛现象最早由工程师发现，早在1967年ZienkiewiczCheung就在《Thefiniteelementinstructuralandcontinuummechanics》中扌旨出在计算在计算中发现线性有限元解得导数在某些特殊点上有特别高的精度。这种奇特的现象后来被Douglas-Dupont称为有限元的超收敛性。通常，这些特殊的点称为应力佳点，不久还发现有限元本身在一些特殊点上也有超收敛性，这些特殊的点称为位移佳点。应力佳点和位移佳点统称为超收敛点。超收敛的意义是非常明显的。利用超收敛性质可以在不大幅增加计算量和存储量的情况下显著地提高有限元解及其导数的精度，超收敛还是构造有限元渐进准确后验误差指示子的有力工具。1969年，前苏联人Oganesjan-Ruhovets对线性三角元（直角元）得到一个重要的估计（第一型弱估计）a(uh-ui,v)=a(u-ui,v)=O(h2)||u3,21,2’VvGSh(0)0从而得到||uh-ui=O(h2)1,2后来，这个公式被林群称之为有限元的超逼近。尽管当时Oganesjan-Ruhovets并没有直接得到逐点的超收敛估计，但是这项工作对开辟研究有限元问题的新途径有益的。然而这样的工作至少8年没有被人注意，直到1977年和1978年才分别由捷克人Zlamal和我们中国人陈传淼--朱起定各独自地发现。从此开启了有限元收敛研究二十多年的蓬勃发展。国际上研究超收敛已30多年，我国学者78年以独立与国外证明了超收敛性，随后在长达20多年的时间里做了深入系统的研究，建成了具有中国特色的超收敛理论方法体系。在芬兰（1996、主席Krizek,Neittaamaki）和美国（2000，主席Babusk,Wahlbin）曾分别召开过两次有限元超收敛国际会议，特邀中国林群，陈传淼和黄云清报告。两次会议都充分中国学者的开创性工作，并公认中国超收敛学派是国际三大学派之一，另两个学派是美国Ithaca和Texas学派。有限元超收敛的研究自七十年代起至今方兴未艾，现有的研究工作，基本遵循两种途径：一是找出有限元插值逼近的超逼近点，然后利用插值弱估计等手段导出有限元及其导数本身具有的超收敛性质，也就是所谓的有限元天然超收敛性。这一方面的工作已经做得比较精致，国际上公认的有限元超收敛三大学派（美国的Ithaca,Texas及中国学派）都做出了很大的贡献，其结果已经写入多本专著，如陈传淼的《有限元方法及其高精度分析》，林群和宁宁的《高效有限元构造与分析》，等等。在中国，最先以陈传淼、朱起定为代表，提出了“单元合并”技巧及后面发展的单元分析方法，解决了两个基本估计并得到相应的一些超收敛结果，是中国超收敛研究的先行者；以林群、朱起定为代表提出了“离散Green函数-两个基本估计-渐进展开”框架，奠定了解决逐点超收敛性、外推、插值处理、校正等问题的理论基础。1982年，在“北京中法有限元国际讨论会”上，朱起定综合分析了国内外已有的超收敛结果，把有限元超收敛估计归结为两个基本估计(弱估计)：a(uh一ui,v)=O(hp+1)||vII1,qa(uh一ui,v)=O(hp+2)vVveSh(0),1
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
中难以采用。经过长达20多年的不懈研究，已积累了较丰富的成果（包括许多外国学者的工作）。陈传淼将主要超收敛结果归纳为四个法则：①均匀网格上两类基本的超收敛结构；②对一般区域，采用分块（几乎）均匀剖分；③对奇异解，采用朝奇点局部加密的等级网格；④在一定正规性条件下，上述三法则对其它问题，如二阶椭圆组，抛物与双曲方程及非线性问题等，皆自动有效。这些法则为使用者提供了简明的指导。有限元超收敛的最新进展和发展趋势主要有：1、研究的问题非线性化，以往有限元超收敛研究的问题是线性的。还有就是研究的问题阶数比以往提高了。这方面的文献如张铁的《四阶椭圆问题的有限元导数恢复技术与超收敛性》。2、有限元方法超收敛与有限元高精度后处理技术结合。通过这两方面的优势互补，使得有限元更加好的解决问题。3、其他偏微分方程数值解方法中的超收敛现象的研究，由于超收敛性并不是有限元独有的性质，这样进一步促进了其他数值方法的发展。4、与多重网格方法及其他一些技术复合，能够给出更加精确地方程数值解。这方面的文献有如李郴良、陈传森、许学军的《基于超收敛和外推方法的一类新的瀑布型多重网格方法》。总之，有限元方法超收敛的超收敛性已经应用的越来越广泛，广泛地与其他技术结合，使得对一些目前来说比较困难的问题的解决提供可能。预计，今后这一技术还将会有更大的辉煌。
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