§4.8 正弦定理和余弦定理1．正弦定理：________＝________＝________＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝______________；(2)a＝________，b＝__________，c＝________；(3)sinA＝________，sinB＝__________，sinC＝______等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝____________，b2＝________________，c2＝__________.余弦定理可以变形为：cosA＝________，cosB＝______________，cosC＝______________.3．S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．[难点正本 疑点清源]解三角形时，三角形解的个数的判断在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA
b解的个数一解两解一解一解1．在△ABC中，若A＝60°，a＝eq\r(3)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________.2．(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(2π,3)，则a＝________.3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝________.4．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝eq\f(π,3)，a＝2b，则b的值为________．5．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16eq\r(2)，则三角形的面积为________．题型一 利用正弦定理求解三角形例1 在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°.求角A、C和边c.探究提高 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，则角A的大小为________．题型二 利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c).(1)求角B的大小；(2)若b＝eq\r(13)，a＋c＝4，求△ABC的面积．探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足coseq\f(A,2)＝eq\f(2\r(5),5)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．题型三 正、余弦定理的综合应用例3 (2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝eq\f(1,4)b2.(1)当p＝eq\f(5,4)，b＝1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围．探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝eq\f(π,3)，且△ABC的面积为eq\r(3)，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状． 5.代数化简或三角运算不当致误 试题：(14分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．审题视角 (1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示．(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角．规范解答解 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB．[4分]方法一 由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.[8分]在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).∴△ABC为等腰或直角三角形．[14分]方法二 由正弦定理、余弦定理得：a2beq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝b2aeq\f(a2＋c2－b2,2ac)，[6分]∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.[10分]即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰或直角三角形．[14分]批阅笔记 (1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断．(2)本题也可
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形．(3)易错分析：①方法一中由sin2A＝sin2B直接得到A＝B，其实学生忽略了2A与2B互补的情况，由于计算问题出错而结论错误．方法二中由c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)不少同学直接得到c2＝a2＋b2，其实是学生忽略了a2－b2＝0的情况，由于化简不当致误．②结论表述不规范．正确结论是△ABC为等腰三角形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形.方法与技巧1．正、余弦定理和三角形面积公式是本节的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题．2．应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2)中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．3．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinC·cosA，可以进行化简或证明．4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．课时规范训练(时间：60分钟)A组 专项基础训练题组一、填空题1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝________.2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝________.3．在△ABC中，若b＝5，∠B＝eq\f(π,4)，sinA＝eq\f(1,3)，则a＝________.4．(2011·福建)若△ABC的面积为eq\r(3)，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．5．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)的值为________．6．在△ABC中，若AB＝eq\r(5)，AC＝5，且cosC＝eq\f(9,10)，则BC＝________.二、解答题7．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且eq\r(3)b＝2a·sinB.(1)求A；(2)若a＝7，△ABC的面积为10eq\r(3)，求b2＋c2的值．8.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinB＝4cosAsinC，求b.B组 专项能力提升题组一、填空题1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，则eq\f(b,a)＝________.2．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，则sinC的值为________．3．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＝________.4．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________，△ABC的形状为__________．5．(2010·江苏)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC，则eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)的值是______．二、解答题6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．7．在△ABC中，若eq\f(bcosC,ccosB)＝eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)，试判断△ABC的形状．8．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2eq\f(B＋C,2)－cos2A＝eq\f(7,2).(1)求∠A的度数；(2)若a＝eq\r(3)，b＋c＝3，求b、c的值．
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
要点梳理1．eq\f(a,sinA) eq\f(b,sinB) eq\f(c,sinC) (1)sinA∶sinB∶sinC (2)2RsinA 2RsinB 2RsinC(3)eq\f(a,2R) eq\f(b,2R) eq\f(c,2R)2．b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosB a2＋b2－2abcosC eq\f(b2＋c2－a2,2bc) eq\f(a2＋c2－b2,2ac) eq\f(a2＋b2－c2,2ab)基础自测1．2 2.1 3.eq\f(\r(6),3) 4.eq\r(3) 5.eq\r(2)题型分类·深度剖析例1 解 由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(\r(2),sin45°)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).变式训练1 eq\f(π,6)例2 解 (1)由余弦定理知：cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).将上式代入eq\f(cosB,cosC)＝－eq\f(b,2a＋c)得：eq\f(a2＋c2－b2,2ac)·eq\f(2ab,a2＋b2－c2)＝－eq\f(b,2a＋c)，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(－ac,2ac)＝－eq\f(1,2).∵B为三角形的内角，∴B＝eq\f(2,3)π.(2)将b＝eq\r(13)，a＋c＝4，B＝eq\f(2,3)π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2aceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))，∴ac＝3.∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(3\r(3),4).变式训练2 解 (1)因为coseq\f(A,2)＝eq\f(2\r(5),5)，所以cosA＝2cos2eq\f(A,2)－1＝eq\f(3,5)，∴sinA＝eq\f(4,5).又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3，所以bccosA＝3，∴bc＝5.∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×5×eq\f(4,5)＝2.(2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA＝36－10－10×eq\f(3,5)＝20，∴a＝2eq\r(5).例3 解 (1)由题设并由正弦定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝\f(5,4)，,ac＝\f(1,4)，)) 解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,c＝\f(1,4)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,c＝1.))(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝p2b2－eq\f(1,2)b2－eq\f(1,2)b2cosB，即p2＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)cosB.因为00，所以eq\f(\r(6),2)0，从而有sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝60°或120°，∵A是锐角，∴A＝60°.(2)∵10eq\r(3)＝eq\f(1,2)bcsin60°，∴bc＝40，又72＝b2＋c2－2bccos60°，∴b2＋c2＝89.8．解 ∵sinB＝4cosAsinC，由正弦定理，得eq\f(b,2R)＝4cosAeq\f(c,2R)，∴b＝4ccosA，由余弦定理得b＝4c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∴b2＝2(b2＋c2－a2)，∴b2＝2(b2－2b)，∴b＝4.B组1.eq\r(2) 2.eq\f(\r(6),6) 3.14．60° 正三角形5．46．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－eq\f(1,2)，又∵0°
本文档为【第四章 第8课时】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483