高三数学(理)一轮复习讲解与练习3.6简单的三角恒等变换(含答案解析)

第六节简单的三角恒等变换[备考方向要明了]考什么怎么考能运用两角和与差的正弦、余弦、正切1.以选择题或填空题的形式单独考查，如2012公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进年江苏T11.行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差2.在解答题中，与三角函数的图象与性质、解化积、半角公式，但对这三组公式不要求记三角形等综合，突出考查三角恒等变换的工忆).具性作用，如2012年安徽T16等.[归纳·知识整合]1．半角公式2α2α2α(1)用cosα表示sin，cos，tan.2222α1－cosα2α1＋cosα2α1－cosαsin＝2；cos＝2；tan2＝.221＋cosαααα(2)用cosα表示sin，cos，tan.222α1－cosαsin＝±2；2α1＋cosαcos＝±2；2α1－cosαtan＝±.21＋cosαα(3)用sinα，cosα表示tan2.αsinα＝1－cosαtan＝sinα.21＋cosα[探究]如何用tanα表示sin2α与cos2α？2sinαcosα＝2tanα；提示：sin2α＝2sinαcosα＝222sinα＋cosαtanα＋1cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α1－tan2α22＝2.cosα＋sinα1＋tanα2．形如asinx＋bcosx的化简asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝b.a[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)化简2＋cos2－sin21的结果是()A．－cos1B．cos1C.3cos1D．－3cos1解析：选C2＋cos2－sin21＝1＋cos2＋1－sin21＝2cos21＋cos21＝3cos1.21sin35°－2)2.sin20的值为(°11A.2B．－2C．－1D．121解析：选Bsin35°－2＝2sin235°－1＝－cos70°sin20°2sin20°2sin20°－sin20°＝＝－1.2sin20°22sin2x－1π3．若f(x)＝2tanx－2，则f)x的值为(x12sin2cos24A．－33B．8C．43D．－431－2sin2x解析：选B∵f(x)＝2tanx＋2＝2tanx＋2cosx＝2＝4，∴fπ＝41sinxsinxcosxsin2x12π2sinxsin68.4．(教材习题改编)函数y＝3cos4x＋sin4x的最小正周期为________．1解析：y＝3cos4x＋sin4x＝22cos4x＋2sin4xπππ2cos6cos4x＋sin6sin4x＝2cos4x－6，2ππ故T＝4＝2. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：π2α5．若cosα＝－4，α是第三象限角，则1＋tan2＝________.5α1－tan2解析：∵cosα＝－4，且α是第三象限角，∴sinα＝－3，55ααcos2＋sin21＋tanαααα2＝cos2cos＋sin∴α＝221－tanαααα2cos－sin2cos－sin222αcos2αα2cos＋sin＝22ααααcos－sincos＋sin22223＝1＋sinα＝1＋sinα1－52αcosα＝＝－1.2α－42cos－sin2521答案：－三角函数式的化简[例1](1)化简：2α；sin2α－2cos＝________sinα－π4π(2)已知0＜x＜2，化简：lgcosx·tanx＋1－2sin2x＋lg2cosx－π－lg(1＋sin2x)．24[自主解答](1)原式＝2sinαcosα－2cos2α2＝22·cosα.2sinα－cosα(2)原式＝lg(sinx＋cosx)＋lg(sinx＋cosx)－lg(1＋sin2x)sinx＋cosx21＋sin2x＝0.＝lg＝lg＝lg11＋sin2x1＋sin2x[答案](1)22cosα———————————————————1.三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名，能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.2.三角函数式化简的要求能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.3.三角函数化简的方法化简的方法主要有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.1－tanαα1．化简：α2·1＋tanα·tan2.tan2ααα解：原式＝cos2sin2·1＋sinαsin2－α·αcosααsin2cos2cos2α＝cosα·1＋sinαsin2·αααcosαsin2cos2cos2α＝2cosα2cosαsinαsin2sinα＋··αsinαcosαcos2α2α＝2cosα2sin22cosα4sin2sinα＋＝＋ααsinαsincos2α2α2α2cosα＋4sin221－2sin2＋4sin222＝sinα＝sinα＝sin[例2]3π1＝－10已知4<α<π，tanα＋tanα3.(1)求tanα的值；.α三角函数求值5sin2ααα2α＋8sincos＋11cos2－8(2)求222的值．π2sinα－4[自主解答]1＝－10，(1)∵tanα＋tanα33tan2α＋10tanα＋3＝0，解得tanα＝－1或tanα＝－3.33π4<α<π，∴－1