*提纲第5章量子粒子群优化*提纲第5章量子粒子群优化5.1协同量子粒子群优化5.1.1协同量子粒子群算法5.1.2改进的协同量子粒子群算法5.1.3实验结果及分析5.2基于多次塌陷-正交交叉的量子粒子群优化5.2.1量子多次塌陷5.2.2正交交叉试验简介5.2.3多次塌陷-正交交叉的量子粒子群算法5.2.4实验及分析5.3结论与讨论*提纲第5章量子粒子群优化5.1协同量子粒子群优化5.1.1协同量子粒子群算法5.1.2改进的协同量子粒子群算法5.1.3实验结果及分析5.2基于多次塌陷-正交交叉的量子粒子群优化5.2.1量子多次塌陷5.2.2正交交叉试验简介5.2.3多次塌陷-正交交叉的量子粒子群算法5.2.4实验及分析5.3结论与讨论*5.1协同量子粒子群优化量子机制的粒子群算法是指粒子的搜索过程是满足量子行为的粒子的运动过程，和粒子群算法是两种不同的运动方式，并不是在粒子算法的基础上添加算子，因此理论上并不会增加算法复杂度，即量子粒子群算法和粒子群算法的复杂度是相当的。虽然QPSO算法的全局搜索能力远远优于一般的PSO算法。但是与
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的PSO算法一样，在QPSO算法中同样存在早熟的趋势，也就是当群体进化的时候，群体的多样性不可避免地减少。这是因为每个粒子都是通过学习自身的当前局部最优值和全局最优值进行下一步的搜索，而不管自身的信息是否有趋向局部最优的倾向。如果搜索空间是有许多局部最优值的复杂系统，在这种情况下，粒子就很有可能陷入局部最优。*5.1.1协同量子粒子群算法近几年来国内外学者提出了多种关于协作思想的算法。VanDenBergh[1]提出了一种协作的
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，将粒子间的协作思想加入到粒子群算法中来。在粒子群算法中，每个粒子都代表一个潜在的解，每一步更新都在这个粒子的所有维的基础上更新，这将会导致粒子中的某些分量越来越靠近最优解而另一些分量越来越远离最优解。但是粒子群的更新过程却只考虑这个粒子的整体性能是好的，忽略了其中的很差的一些分量，因此对于一个高维的问题就很难去找到这个全局最优解。H.Gao[2]等人又将协作的思想引入到量子粒子群算法中来，提出了协同量子粒子群算法，全局搜索能力进一步提高了。在协同量子粒子群算法中，跟以往量子粒子算法不同的是，这里是每一个粒子去一*5.1.1协同量子粒子群算法维一维的优化，而不是整体去优化一个个体。也就是说本书不仅从这个粒子的整体来评价测试这个粒子的好坏，还去评价它的每一维的好坏。每个粒子的分量分别去优化，那么就不能直接计算这个粒子的适应度值，因为在不同的个体里它在每一维的贡献是没法直接被描述的。为了解决这个问题，文中提出了背景变量(contextvector)的概念，它提供一个合适的背景使得粒子的每一维能在一个公平的环境下进行评价。文章用全局最优作为背景变量。为了计算粒子第维的适应度值，背景变量的第维被粒子的第维代替，然后计算这个更新后的背景变量来评价这个粒子在第维上是否得到了一个比个体最优和全局最优更精确的值。因此这个方法中粒子的每一维都对种群做出了贡献。这样就完成了粒子间的协作。*5.1.1协同量子粒子群算法下面介绍一个证明协作的重要性的例子。给一个三维变量和一个误差函数，其中。也就是全局最优等于。现在，假设一个种群包含由量子粒子群更新公式得到的两个个体和，假设在代个体为：(5-1)(5-2)(5-3)利用上面的误差函数评价上面的个体可以得到，，这表明比全局最优位置好，如果是没有协作的量子粒子群算法，那么直接被所代替，而就会被丢弃掉。然而，的第一维分量20却是最优值的一个分量，它却没有为全局最优做任何*5.1.1协同量子粒子群算法贡献，而却得到了这个比较差的分量中的5。协作方法可以帮助取得合适的分量。用背景变量分别一维一维去评价的各个分量可以得到，，，因此说明的第二维分量是可以给全局最优做出贡献的，那么用此维数据去代替全局最优的此维数据，得到最终的这一代的全局最优位置为，这样就得到了一个比没有协作思想的量子粒子群算法更精确的值。基于上面的思想，H.Gao等人提出了协同量子粒子群算法，算法的性能得到了提高。*5.1.2改进的协同量子粒子群算法1.算法提出大多数的随机搜索算法（包括粒子群算法和遗传算法）都存在维数灾难的问题，也就是会随着维数的增多性能会下降。种群中的每个粒子的适应度值(fitnessvalue)都是同时由它的每一维决定的，所以有些粒子的某一维可能已经达到全局最优却因为其他维的坏的搜索结果而要被放弃，这种情况下个体中好的分量就被丢弃了。从前面的描述可以看出协作思想的重要性，这样思想的出现就避免了浪费很多时间代价得到的新个体因为整体的不好而直接丢弃掉造成浪费，可以分别去评价每一维数据，将有用的信息保存下来，加快收敛速度，对于多维问题的优化是有很大帮助的。受此启发，本书*5.1.2改进的协同量子粒子群算法提出了改进的协同量子粒子群算法（Improvedcooperativequantum-behavedparticleswarmoptimization,ICQPSO），并将其在函数优化上进行了测试。量子力学中的不确定性原理告诉我们，量子世界是概率支配的世界，不存在精确预言，只有发生某一件事的概率。即量子粒子群算法在更新的过程中是遵循量子力学中量子世界的运动规律的，它是一个完全不确定的位置，它可以搜索到远离目前个体最优的位置，正因为如此，它跳出局部最优的可能才大大提高了，但是要评价一个粒子的好坏必须有它的具体位置，那么本书利用蒙特卡洛思想进行观测，以往存在的量子粒子群算法，一个个体更新只进行了一次观测得到一个新位置，这样并没有充分利用到量子的思想。在[3]中，作者提到了*5.1.2改进的协同量子粒子群算法“对每个量子染色体按不同的观察方式产生个个体”，受此启发并为了充分利用量子力学的不确定性原理，本书在QPSO算法中提出了多次测量的思想，并利用了协作思想，提出了改进的协作量子粒子群算法。2.算法描述量子粒子群算法粒子更新过程中是通过观测而得到的新个体，观测之前粒子处在一个未知的状态，而且以一定的概率出现在一个位置，即给定一个概率去观测它，那么本书就会得到它的一个位置，对于一个个体，本书随机产生多个概率，利用蒙特卡洛测量进行了多次观测，得到多个个体，并选这多个个体中适应度值最好的与个体最优值进行比较，然后选取个体最优作为背景个体，再来依次评价其余个体的每一维分量，最终得到下一代个体，如此进行一步步搜索。*5.1.2改进的协同量子粒子群算法改进的协同量子粒子群算法改进部分在多次测量产生多个个体和通过协作产生新个体部分，其中多次测量是根据下面的量子粒子群算法更新公式给定不同的随机数即可分别产生多个个体，假设产生了五个新个体、、、、。（5-4）（5-5）观测次数越多，不确定性利用越充分，收敛速度也越快，但是同时时间也是成线性增长的，因此实际问题中可以根据需要设置观测的次数。算法的流程图如图5-1所示：*5.1.2改进的协同量子粒子群算法图5-1改进的协同量子粒子群算法流程图*5.1.2改进的协同量子粒子群算法图5-2改进的协同量子粒子群算法过程:初始化种群:XiPbest=XiGbest=bestPbestift
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平均最优适应度值和方差。为了测试算法的稳定性和算法对于不同函数的性能，维数分别为20、30和100，迭代次数为1500次、2000次和3000次，种群数为20。*5.1.3实验结果及分析从表5-2和表5-3可以看出，本书提出的改进的协同量子粒子群算法的平均最优结果和方差都好于QPSO和WQPSO，大部分也都好于孙俊等人提出的协同量子粒子群算法，在很大程度上全局搜索能力提高了。表5-2QPSO和WQPSO测试基准函数结果比较fMDGmaxQPSOWQPSOMeanMinSt.VarMeanMinSt.Varf1202015001.3208E-233.3218E-232.4267E-385.8824E-383020001.5767E-154.0566E-156.9402E-321.2879E-3110030001.5077E+011.5926E+014.2014E-114.0006E-11f2202015009.0260E+011.3274E+024.4948E+015.8837E+013020001.8484E+022.6972E+027.6625E+011.0193E+0210030001.9117E+051.7949E+052.4832E+021.9868E+02f3202015001.5697E+015.6303E+001.2945E+014.0725E+003020003.0375E+017.3978E+002.4259E+017.9174E+0010030003.0458E+023.8518E+012.1121E+023.5535E+01f4202015001.8823E-021.9380E-022.4863E-022.3981E-023020004.7967E-037.8878E-039.0994E-031.2641E-0210030001.1076E+003.3209E-014.4359E-039.0706E-03f5202015001.4444E-306.7034E-302.4224E-501.5425E-493020003.0627E-181.1664E-171.5686E-405.9721E-4010030001.8609E+053.4648E+057.7518E-117.8925E-11*5.1.3实验结果及分析基准函数维数为20维、迭代次数为1500，运行次数50时，画出各个方法的盒图比较图，如图5-13-图5-17所示，可以看出，ICQPSO不管是最小值还是稳定程度都取得了较好的结果，只有在Rastrigrin函数稍差于孙俊提出的CQPSO算法，但是也优于QPSO算法和WQPSO算法。说明本书提出的算法在优化性能上得到了提高。表5-3sunCQPSO和ICQPSO测试基准函数结果比较fMDGmaxCQPSOICQPSOMeanMinSt.VarMeanMinSt.Varf1202015004.946880e-3170.0000E+000.0000E+000.0000E+003020000.0000E+000.0000E+004.4466E-3230.0000E+0010030002.4209E-2180.0000E+003.6129E-982.5448E-97f2202015003.7499E+014.8401E+012.9140E+015.6023E+013020005.5191E+016.4979E+012.9660E+014.6534E+0110030008.4586E+014.2951E+011.4697E+029.3562E+01*5.1.3实验结果及分析表5-3sunCQPSO和ICQPSO测试基准函数结果比较图5-13Sphere函数盒图图5-14Rosenbrock函数盒图fMDGmaxCQPSOICQPSOMeanMinSt.VarMeanMinSt.Varf3202015000.0000E+000.0000E+001.2198E+016.4537E+003020005.9698E-022.3869E-011.8049E+016.3279E+0010030009.1352E+007.0400E+001.1293E+021.7379E+01f4202015004.2273E-024.3296E-021.9176E-021.6191E-023020006.1817E-026.9100E-021.0279E-021.5108E-0210030004.4409E-182.1977E-172.6110E-035.1311E-03f5202015000.0000E+000.0000E+000.0000E+000.0000E+003020000.0000E+000.0000E+000.0000E+000.0000E+0010030005.3694E-2850.0000E+003.7938E-1041.4349E-103目标函数值目标函数值算法算法*5.1.3实验结果及分析图5-15Rastrigrin函数盒图图5-16Griewank函数盒图图5-17DeJong,s函数盒图目标函数值目标函数值目标函数值算法算法算法*5.1.3实验结果及分析3)测试复杂函数为了更好的检验本书提出的改进协同量子粒子群算法的性能，又对复杂函数进行了测试，测试结果如表5-4和表5-5。从表5-4和表5-5可以看出，本书提出的ICQPSO算法的性能远远优于QPSO算法和WQPSO算法，虽然在F7和F8中CQPSO算法取得了相对好的结果，但是随着维数的增高，ICQPSO算法在F7取得了好的结果。说明了随着问题越来越复杂和维数越来越高，ICQPSO算法的优势越来越明显，由此可说明ICQPSO算法的搜索能力提高了。*5.1.3实验结果及分析表5-4QPSO和WQPSO测试复杂函数结果比较FMinDGmaxQPSOWQPSOMeanMinSt.VarMeanMinSt.VarF4-450101000-449.93641.2208E-01-448.08669.3343E-013030003816.72803.4424E+032712.26602.0903E+0350500035606.90001.1361E+0423635.23007.2601E+03F5-310101000-309.93242.2213E-01-305.41611.3473E+003030003193.76801.0230E+033041.38501.0065E+035050006630.84801.4831E+035908.65701.6307E+03F7-180101000-179.54213.1670E-01-179.07441.2846E-01303000-179.96632.8176E-02-177.95863.1768E-01505000-179.85971.9968E-01-176.12825.3809E-01F8-140101000-119.54019.4892E-02-119.54518.9466E-02303000-118.98415.2917E-02-118.97535.6180E-02505000-118.81863.4865E-02-118.80493.4791E-02F13-130101000-128.76935.2452E-01-128.57785.3839E-01303000-125.42012.3376E+00-121.18742.3874E+00505000-117.74734.2147E+00-108.75924.5567E+00F14-300101000-299.94263.8619E-02-299.93703.5529E-02303000-299.74057.6293E-02-299.73035.5841E-02505000-299.58021.4488E-01-299.56411.1844E-01*5.1.3实验结果及分析表5-5CQPSO和ICQPSO测试复杂函数结果比较FMinDGmaxCQPSOICQPSOMeanMinSt.VarMeanMinSt.VarF4-450101000-450.00002.5043E-06-450.00007.6966E-14303000-358.69356.5472E+01-450.00001.7589E-1050500010018.28005.3364E+03-449.99565.4487E-03F5-310101000294.07561.2651E+03-309.99923.2831E-033030007562.14702.0838E+032628.13106.5155E+0250500017936.75003.0209E+034317.44601.1770E+03F7-180101000-179.08616.0709E-01-179.27873.3788E-01303000-179.97792.6466E-02-179.97781.7880E-02505000-178.17289.0499E+00-179.99559.1090E-03F8-140101000-119.68911.7260E-01-119.76834.4329E-02303000-119.42851.6130E-01-119.17644.0630E-02505000-119.40072.0131E-01-118.97292.4966E-02F13-130101000-129.33493.4762E-01-129.41011.6906E-01303000-128.28434.8307E-01-127.27983.5150E-01505000-125.78721.6563E+00-125.52637.3139E-01F14-300101000-299.93394.6257E-02-299.99678.8522E-03303000-299.77851.2705E-01-299.99525.0671E-03505000-299.33261.7327E+00-299.99633.5155E-03*5.1.3实验结果及分析同样，本书将复杂函数维数为10维、迭代次数为1000，运行次数25时，画出各个方法的盒图比较图，如图5-18-图5-23所示，可以看出，ICQPSO不管是最小值还是稳定程度都全部取得了最好的结果。进一步说明本书提出的算法在优化性能上得到了提高，并且对于复杂的函数效果更明显。 图5-18F4函数盒图图5-19F5函数盒图目标函数值目标函数值算法算法*5.1.3实验结果及分析图5-20F7函数盒图图5-21F8函数盒图图5-22F13函数盒图图5-23F14函数盒图目标函数值目标函数值目标函数值目标函数值*5.1.3实验结果及分析为了更进一步说明本书算法的性能，本书进行了t-test实验，基准函数维数是20，迭代次数1500，复杂函数维数是10，迭代次数是1000。数据如下表5-6。其中s+表示前面算法明显好于后面算法，s-表示前面算法明显坏于后面算法，+表示前面算法好于后面算法，-表示前面算法坏于后面算法。从表中同样可以看出，ICQPSO在大部分情况下是明显好于其他量子粒子群算法的，更说明了该算法的良好搜索性能。表5-6ICQPSO,QPSO,WQPSOandCQPSOt-test测试结果t-testResultf1f2f3f4f5F4F5F7F8F13F14ICQPSO-QPSOs+s+s-+s+++s-s+s+s+ICQPSO-WQPSO+s+-++s+s+s+s+s+s+ICQPSO-CQPSOs++s-+s++s+s+s++s+*提纲第5章量子粒子群优化5.1协同量子粒子群优化5.1.1协同量子粒子群算法5.1.2改进的协同量子粒子群算法5.1.3实验结果及分析5.2基于多次塌陷-正交交叉的量子粒子群优化5.2.1量子多次塌陷5.2.2正交交叉试验简介5.2.3多次塌陷-正交交叉的量子粒子群算法5.2.4实验及分析5.3结论与讨论*5.2基于多次坍塌-正交交叉的量子粒子群优化优化问题是现代数学的一个重要课题，优化方法的理论研究对改进算法、扩展算法应用领域和完善算法体系具有重要作用。在实验中，优化测试函数代替实际问题评价，作为比较不同算法的性能的衡量。在现有的解决优化问题的算法中，启发式优化算法代替经典优化算法被广泛研究，粒子群算法是其中的一个代表。但是，众所周知，粒子群算法并不是全局算法，易陷入局部最优。基于量子机制的量子粒子群算法(QPSO)可以解决上面的问题，该算法已经被证实具有全局寻优性，且具有较快的收敛速度。*5.2基于多次坍塌-正交交叉的量子粒子群优化本书把QPSO应用到函数优化问题上，其全局搜索的优势得到发挥。而在深入研究其性能的过程中发现，量子体系的概率不确定性并没有得到较好的利用，结合正交交叉实验，本书提出了多次塌陷-正交交叉的量子粒子群算法。在优化测试函数的选取上，本书选取公认的常用函数测试基准函数，并对较复杂的CEC05复合函数进行实验。实验结果表明，该算法不仅可以更有效地搜索到全局最优值，而且收敛速度更快，局部和全局的搜索平衡能力更强。*5.2.1量子多次坍塌(5-12)(5-13)一个粒子从量子不确定状态获得一个具体位置的过程被称为单次塌陷。正如公式(5-13)所示，每个u对应着一个位置X，因此，多次塌陷就意味着通过公式(5-13)和(5-14)需使用多个不同的u值以获得若干个不同的X值。这个过程就被称为多次塌陷。(5-14)*5.2.2正交交叉试验简介正交试验设计[8][9]能够均衡地在解空间进行采样，对实验结果进行量化的分析和预测，这些优秀的特性也吸引了算法设计领域的众多专家对其进行研究和借鉴。香港学者Leung等人于1999年首次将正交试验设计应用于优化流媒体组播路由的遗传算法中，创新地提出了正交交叉算子，并提出了用于离散变量的正交遗传算法。本书的工作是将正交交叉算子引入到量子粒子群算法中，设计出了多次塌陷-正交交叉量子粒子群算法。*5.2.2正交交叉试验简介1.正交试验设计正交试验设计是多因素的优化试验设计方法，也称正交设计，一般是从实验的全部样本点中挑选出部分有代表性的样本点进行实验，利用这些代表点所做的实验能够反映出每个因素各个水平对实验结果的影响。由于这些代表点具有正交性，因此称这组实验为正交试验，挑选正交的样本点，安排正交试验的过程，称为正交试验设计。正交试验一般用正交表（orthogonalarray）来安排实验，表5.7为4因素(factor)、3个水平(level)的正交表，记为，其中L代表正交表，M表示要做M次实验；表示有N个因素，每个因素有Q个水平。表中每一纵裂代表同一因素的不同水平；每一横行代表要运行的一次实验，实验完成后，将实验结果(Ri)写在右侧。*5.2.2正交交叉试验简介表5-7正交矩阵正交矩阵的正交性包含以下三种含义[10][11]：(1)对于每一列的因素，每个水平作用的次数相等。(2)对于任何两列的两个因素，两个水平的组合发生的次数相同。(3)所选出的组合均匀地分布在所有可能组合的整个空间。利用正交表来安排实验，其优点是明显的：1)减少实验次数。对于上述实验，如果要进行全面实验共需要34=81次实验，而按照正交表的安排只需要9次实验，也就是说只需要部分实验实验数.因素实验结果RABCD11111R121222R231333R342123R452231R562312R673132R783213R893321R9*5.2.2正交交叉试验简介即可。2)样本点分布的均衡性。在正交表的每一列中，不同的数字出现的次数相等，且都为M/Q次；将任意两列中同一行的两个数字看成有序数对，则每种数对出现的次数相等，都为M/Q2次。图5-24所示的的空间模型可以进一步说明正交实验设计的均衡性。图中每个轴线代表一个因素，正方体的8个顶点代表了全面实验的8个实验点，用正交表确定的4个样本点（墨点所示）均衡散布其中。具体来说，正方体每个面4个顶点中恰有2个点是样本点；每条棱上2个顶点中恰有1个是样本点；分别沿轴线方向投射，在映射面上样本点恰好完全遍布其中。这些特点适应于一般情况。*5.2.2正交交叉试验简介图5-24正交矩阵的正交性示意图利用正交表来安排实验的另一个显著优点是可以独立地量化评价同一个因素的各个水平，从而对未进行实验的因素组合进行预测。有如下定义：(5-15)因素3因素2因素1(2,1,2)(1,2,2)(2,2,1)(1,1,1):选择的因素水平组合*5.2.2正交交叉试验简介其中，表示因素j的水平对实验的主要影响，表示输出结果。当第i个实验中因素j的水平等于k时，=1；否则，=0；例如，观察表5-7可以发现，当因素A中同一水平的输出结果相加时，因素B的水平在3个相加结果中恰好都存在，因此，，和就可以判断出因素A中3个水平对实验的不同影响，同理也可以忽略C和D的影响。这样，通过比较，和就可以判断出A中3个水平对实验的不同影响。分别计算就可以得到每个因素各个水平对于实验的影响，从而可以预测出最佳的因素水平组合搭
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式。通过计算同一因素各个水平主要影响的标准方差还可以判断出各个因素对实验结果影响的剧烈程度。*5.2.2正交交叉试验简介正交试验设计既保证了样本点分布的均衡性，也能在整个实验过程中独立地评价每个因素的各个水平，而且能够估计各个因素对实验结果影响的剧烈程度。这些特性对于增加算法的搜索效率、减少函数的评价次数、判断不同变量对函数优化的影响，必定大有裨益。文献[9]给出了产生一般正交表的构造方法。B.基于正交矩阵的正交交叉在这部分，本书将正交设计引入到交叉操作并采用正交矩阵来进行一个合理的有代表性的交叉并得到在整个空间均匀分布的子代，这个过程被称为正交交叉。为了简要地说明正交交叉的主要思想，如图5-25所示，本书采用正交矩阵来指导两个二进制父代交叉。有三个因素，于是父代被分为三部分，随之产生四个二进制子串。*5.2.2正交交叉试验简介图5-25基于的正交交叉一般地，通常选择正交矩阵来指导正交交叉，其中，用来交叉的父代的个数是Q，通过正交交叉得到的组合的个数是M。详细过程如下所示[9]：*5.2.2正交交叉试验简介输入：Q个父代，；输出：M个子代，；步骤1：独立随机产生随机数，，;步骤2：基于正交矩阵中因素和水平的第i个组合产生新子串,.一般地，正交矩阵越大，产生的新组合数越多，多样性也越好，然而，所带来的计算复杂度也越高，因此需要在多样性和算法时间复杂度上进行平衡。在文章[9]中已被证实，一般情况下对于实际问题的规模已是一个较好的选择。*5.2.3多次坍塌-正交交叉的量子粒子群算法量子粒子群算法将粒子群引入量子空间，利用量子测不准原理代替牛顿力学确定粒子在空间中的位置，通过采用概率波函数代替粒子群中固定的运动轨迹，保证了粒子可以在整个可行解区域的搜索，增强了算法的全局搜索能力，理论上保证以概率1收敛到全局最优解。然而，量子的不确定特性并没有得到很好的利用：通过一次塌陷粒子得到一个经典值，而实际上通过它可能通过另外一次塌陷会得到一个更好的值；通过式子，最好的粒子根据适应度值被选出，而可能包含更有用信息的其余的粒子均被丢弃。在某种程度上，可以说这是信息的一种浪费。*5.2.3多次坍塌-正交交叉的量子粒子群算法算法流程:基于上面存在的问题，结合多次塌陷和正交交叉算子本书提出了多次塌陷-正交交叉的量子粒子群算法(multiplecollapsethenorthogonalcrossoverQPSO，MOQPSO)。假设函数f是最小化问题，MOQPSO的算法流程如下:步骤1：根据函数自变量的取值范围，随机初始化种群中各粒子的位置；步骤2：评价粒子群的平均最优位置mbest；步骤3：粒子塌陷Q次，得到粒子的Q个位置。步骤4：Q个粒子正交交叉得到M个新个体，并根据粒子的适应度值选出最优的作为该粒子的位置信息。*5.2.3多次坍塌-正交交叉的量子粒子群算法步骤5：评价粒子的当前适应值，并与前一次迭代的个体最好适应度比较，如果当前适应值小于前一次迭代的个体最好适应值，即步骤:6：计算群体当前的全局最优位置，即，其中步骤7：比较当前全局最优位置与前一次迭代的全局最优位置，如果当前全局最优位置的位置较好，则群体的全局最优位置更新为它的值；步骤8：更新种群中各粒子的位置；步骤9：若终止条件满足，输出群体的全局最优位置；否则，返回步骤2。*5.2.3多次坍塌-正交交叉的量子粒子群算法从上述算法流程中可以看出，MOQPSO采用多次塌陷可以充分利用量子系统的不确定性以提高种群的多样性，正交交叉不仅保证了采样样本的均衡性，而且可以独立地评价每个组合的优劣以便选出最优者。这也是与QPSO的主要区别之处。这些特点可能改进的算法的性能可以通过实验得到验证。MOQPSO的结构图如图5-26所示：*5.2.3多次坍塌-正交交叉的量子粒子群算法图5-26MOQPSO的结构图*5.2.4实验及分析1.实验设置为了测试改进算法MOQPSO的性能，十个基准测试函数和两个CEC05复合函数被用来进行测试，并与QPSO、WQPSO、AQPSO、PSO进行比较。所选函数都是最小化问题，为了较全面地测试MOQPSO的性能，所选的函数既包括最优值为零和非零的简单基准测试函数，又包括具有转换和旋转特性的复合函数。其中，Sphere函数是单峰函数，其在原点最优值零，因此它经常被用来测试算法的局部搜索能力；Rosenbrock函数是一个多峰函数，而且它的最优值位于一个狭窄的区域内很难被搜索到，因此它经常被用来测试算法的局部和全局搜索能力；Rastrigrin函数是多峰函数经常被用来测试算法的全局搜索能力。复合函数F1和F2是从较新的用来测试算法性能的CEC05函数集[12]中*5.2.4实验及分析提取的。为了测试算法的稳定性，首先，不同的种群规模、迭代次数和粒子维数被采用。种群的规模分别是20、40、80，最大迭代次数依次为1000、1500和2000，对应的维数分别为10、20、30.其次，在依次测试完Sphere、Rosenbrock和Rastrigrin函数后，为保证测试的效率，在研究测试结果之后本书将种群规模、迭代次数和维数分别选定为40、1000和10来测试其余的七个基准函数和两个复合函数。为保证比较的合理性，测试算法中的所有参数设置均根据相关文献取值以保证各算法均取得最佳效果。在PSO中，系数C1=C2=2，初始权重W从0.9降到0.4.在QPSO和MOQPSO中，收缩-扩张因子的最大值是1.0，最小值为0.5。在WQPSO中，权重系数因子根据适应度值*5.2.4实验及分析从1.5到0.5线性递减。在MOQPSO中，所采用的正交矩阵为，塌陷次数Q=3。三个测试函数如表5-8所示，10个基准函数如表5-9所示。表5-8三个测试函数函数公式变量区域最优值Spherefunctionf1[-100,100]0Rosenbrockfunctionf2[-100,100]0Rastrigrinfunctionf3[-10,10]0*5.2.4实验及分析表5-9所测试的10个基准函数（D表示变量维数，表示变量区域，Min表示最优值）问题维度变量区域最优值10[-100,100]010[-100,100]010[-10,10]010[-10,10]010[-100,100]010[-5,5]-78.332362[-10,10]-186.732[-1,1]-2.262[-1,1]-0.2400352[-5.12,5.12]-1.031628*5.2.4实验及分析2.实验结果及分析1)基准测试函数的测试结果及分析。首先，本书测试了表5-9中的十个优化函数问题，并与PSO、QPSO算法进行比较。表5-10-5-12分别给出了Sphere、Rosenbrock、Rastrigrin三个函数在不同种群规模、空间维数、迭代次数条件下独立运行50代所取得的平均最优值和均方差。从Sphere的结果上可以看出，MOQPSO在最优值和方差上均为零，也就是说总能较好地搜索到最优值，较前两种算法有所改善。这说明，改进后的算法具有较好的局部搜索能力。由于Rosenbrock函数比较特殊，一般的算法都较难搜索到最优值，效果都不太理想。尽管如此，表5-11显示，MOQPSO搜索到的结果相对来说*5.2.4实验及分析比PSO、QPSO都要好很多，因此，可以说改进后的算法在局部和全局的搜索能力和平衡能力上均有所提高。对于Rastrigrin函数，表5-12显示的结果表明改进后的算法在全局搜索能力上明显提高。表5-10SPHERE函数的平均值和方差MDGer.PSOQPSOMOQPSOMeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.201010000.52710.61381.9898e-279.4410e-27002015003.58521.93445.8370e-142.2693e-13003020006.82083.42325.0027e-091.3539e-0800401010000.09100.14123.6428e-551.8209e-54002015001.99941.39041.6300e-291.1451e-28003020004.95792.52604.5547e-213.0213e-2000801010000.04730.16629.9341e-786.5523e-77002015000.83250.68336.9710e-544.8015e-53003020004.14483.82018.3320e-414.9279e-4000*5.2.4实验及分析从上述结果中还可以发现，在相同的种群规模下，随着维数和迭代次数的增加，函数的结果随之变坏；而在空间维数和迭代代数保持不变的情况下，随着种群规模的增大，函数的实验结果越好。这是因为随着种群规模的增大，种群的多样性得到提高，因此搜索到的结果也会有所改善。但种群规模越大，算法计算复杂度的代价也会越大，在综合考虑搜索复杂度和优化结果之后，本书将种群规模、空间维数和迭代代数分别设定为40、10、1000，并测试后续的基准函数和复合函数。*5.2.4实验及分析表5-11ROSENBROCK函数的平均值和方差表5-12RASTRIGRIN函数的平均值和方差MDGer.PSOQPSOMOQPSOMeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.2010100084.160980.630547.814490.12046.36680.6404201500170.9015106.0103102.5762184.673716.56101.0230302000342.0081127.6591121.7741160.748826.23741.5560e-14401010007.35557.875734.841567.04096.23746.2944e-1520150087.036544.459946.461944.378216.23741.4083e-14302000210.0328113.128167.366182.551726.30210.4575801010005.73714.04533.50273.70746.23744.2500e-1520150057.873638.200634.046533.427316.23728.8926e-15302000141.761461.320144.630842.880326.23741.9212e-14MDGer.PSOQPSOMOQPSOMeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.2010100026.176110.40055.31872.58550.55710.782620150099.540219.457818.32195.23390.59691.2585302000180.600431.277236.53447.76630.91532.16344010100020.24498.76333.36781.71740.29840.731620150071.000721.066314.16025.19870.21880.4163302000150.356436.126328.98347.33270.19890.40208010100022.734712.23462.33031.61430020150061.794224.598211.44604.47670.03970.1969302000123.24029.018023.06856.09980.01980.1407*5.2.4实验及分析表5-13十个测试函数的平均值和方差表5-13给出了PSO、QPSO和MOQPSO三种算法对十个基准测试函数的实验结果，包括平均值和方差。表中结果可以看出，MOQPSO的搜索结果均等于或非常接近函数的最优值，且具有较小的方差，尤其对于函数1、2、3、5和7。这证实了本书提出的算法的有效性。函数PSOQPSOMOQPSOMeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.f10.15440.46722.3904e-581.5590e-5700f244.916443.319628.713866.368.10048.9719e-15f321.307110.67013.49261.839500f42.5261e-34.3049e-33.8873e-041.9232e-31.9431e-41.3740e-3f53.64812.74735.2673e-283.5928e-2700f6-66.73137.8987-76.07042.7394-74.54362.3279f7-186.69380.0888-183.966219.5478-186.73097.2012e-7f8-Inf-Inf-2.25991.8080e-7-2.25991.0917e-9f9-0.23992.8037e-17-0.23998.7196e-12-0.22340.0818f10-1.03166.7289e-16-1.03161.5692e-9-1.03165.8053e-11*5.2.4实验及分析迭代次数/代迭代次数/代迭代次数/代迭代次数/代迭代次数/代迭代次数/代f1f3f4f1f5f6f2*5.2.4实验及分析迭代次数/代迭代次数/代迭代次数/代迭代次数/代f7f8f9f10图5-27三个算法在十个测试函数上独立运行50代的收敛曲线图比较*5.2.4实验及分析为了证实算法的收敛速度，图5-27给出了三种算法对十个测试函数分别独立运行50次之后得到的收敛曲线图。可以发现，对于大多数函数，MOQPSO的收敛速度均为最快。因为在QPSO和MOQPSO中算法的参数设置是一样的，因此可以说新算法中引入的多次塌陷和正交交叉起了积极作用。*5.2.4实验及分析适应度值适应度值适应度值适应度值适应度值适应度值适应度值适应度值函数（1）函数（2）函数（3）函数（4）函数（5）函数（6）函数（7）函数（8）*5.2.4实验及分析图5-28PSO、QPSO、MOQPSO三种算法对十个测试函数的盒图测试结果比较每一个函数独立运行50次的结果的盒图描述如图5-28所示。其中，M代表MOQPSO算法，Q代表QPSO算法，而P代表PSO算法。盒图常用来测评算法的鲁棒性。图示结果显示，M所获得的函数值较密集于最优值周围，也就是说，MOQPSO的鲁棒性均要优于QPSO，除了函数9；同时在大多数函数上也要优于PSO，除了函数9和10。总体来看，MOQPSO的统计结果显示其性能是由于其它两种算法的，尤其在函适应度值适应度值函数（9）函数（10）*5.2.4实验及分析数2、3、4、5、6和8上效果更加明显。总之，在测试上述是个函数的过程中不难发现，无论是在算法收敛速度、鲁棒性，还是在优化结果上，改进后的算法都更胜一筹。2)复合函数测试结果及分析为了进一步测试算法的性能，本书采用四个具有转换和旋转特性的CEC05复合函数进行测试。测试函数F1、F3分别为具有转换特性的ShiftedSphere、Rosenbrock’s函数，在原点取得最优值-450、390；F2、F4分别为具有转换和旋转特性的ShiftedRotatedWeierstrass、Ackley’s函数，最优值为90、-140。*5.2.4实验及分析表5-14CEC05复合函数的测试结果problemsPSOQPSOMOQPSOMeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.F12.1801e+32.2248e+3-4500-4500F297.93841.3479101.57642.952295.49202.9946F39.6533e+062.2919e+07396.76127.2330394.27283.5650F4-119.66388.9924e-02119.570.0645-119.70200.0578*5.2.4实验及分析迭代次数/代迭代次数/代f1f20250500026x109迭代次数/次适应度值MOQPSOQPSOPSO05001000-119.7-119.3-119-118.7迭代次数/次适应度值MOQPSOQPSOPSO适应度值适应度值图5-29三个算法分别对复合函数独立测试50次的收敛曲线图*5.2.4实验及分析图5-29三个算法分别对复合函数独立测试50次的收敛曲线图0200040006000MQP函数(1)9296100104MQP函数(1)0246x107MQP-119.8-119.7-119.6-119.5MQP适应度值适应度值适应度值适应度值f1f2f3f4图5-30三种算法对复合函数独立运行50次的测试结果的盒图表5-14给出了四个函数的测试结果。在没有旋转特性的F1上，QPSO和MOQPSO均搜索到了最优值，对于F3，M
浙公网安备 33021202002483