江苏省泰州市2020-2021学年高一下学期期末数学试卷（解析版）

高考复习试卷资料2020-2021学年江苏省泰州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设z1＝3+i，z2＝1+mi，若z1z2为纯虚数，则实数m＝（　　）A．﹣3B．﹣C．D．32．某校高一年级1000名学生的血型情况如图所示．某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是（　　）．[图中数据：A型22%，B型28%，O型38%，AB型12%]A．11B．22C．110D．2203．在△ABC中，tanA＝2，BC＝10，AC＝5，则tanB＝（　　）A．B．C．D．14．甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是，则这道数学题被解出的概率是（　　）A．B．C．D．5．如图，已知点P是函数f（x）＝Acos（x+φ）（x∈R，A＞0，|φ|＜）图象上的一个最高点，M，N是函数f（x）的图象与x轴的两个交点，若•＝0，则A的值为（　　）A．2B．C．4D．π6．已知A，B，C，D四点均在半径为R的球O的球面上，△ABC的面积为R2，球心O到平面ABC的距离为，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为24，则球O的表面积为（　　）A．4πB．16πC．27πD．64π7．设a＝tan16°+tan14°+tan16°tan14°，b＝sin44°cos14°﹣sin46°cos76°，c＝2sin14°sin76°，则a，b，c的大小关系是（　　）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞a＞b8．已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为1．设点O到边BC，CA，AB的距离分别为d1，d2，d3，若•+•+•＝﹣1，则d12+d22+d32＝（　　）A．B．1C．D．3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如表所示，成绩10987人数1432则下列说法正确的有（　　）A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为7.4B．这10名男生引体向上的测试成绩没有众数C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数8.5D．这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为7.510．下列说法正确的有（　　）A．设z1，z2是两个虚数，若z1+z2，和z1z2均为实数，则z1，z2是共轭复数B．若z1﹣z2＝0，则z1与互为共轭复数C．设z1，z2是两个虚数，若z1与z2是共轭复数，则z1+z2和z1z2均是实数D．若z1+z2∈R，则z1与z2互为共轭复数11．在平面直角坐标系xOy中，△OAB的三个顶点O，A，B的坐标分别为（0，0），（x1，y1），（x2，y2），设＝，＝，＝，则（　　）A．S△OAB＝B．S△OAB＝C．S△OAB＝（R为△OAB外接圆的半径）D．S△OAB＝|x1y2﹣x2y1|12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，则下列结论正确的有（　　）A．A1D⊥D1PB．三棱锥A﹣B1PD1的体积为定值C．存在点P使得∠APD1＝D．直线DP∥平面AB1D1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将参考答案填写在答题卡相应的位置上.13．若sincos﹣sincos＝sinx，请写出一个符合要求的x＝　　．14．若数据3（a1+1），3（a2+1），…，3（a7+1）的方差为9，则数据a1，a2，…，a7的方差为　　．15．如图，由若干个边长为1的正方形拼接而成一个矩形A0B0B2021A2021，则•（+++…+）＝　　．16．如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．已知拟柱体ABCD﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1和下底面ABCD均为平行四边形，点E，F，G，H分别为侧棱AA1，BB1，CC1，DD1，的中点，记三角形D1HG的面积为S1，梯形CC1D1D的面积为S2，则＝　　；若三棱锥D1﹣EGH的体积为1，则四棱锥E﹣BCC1B1的体积为　　．四、解答题：本题共6小题，共70分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知平面向量，满足+＝（﹣3，6），﹣＝（m，﹣2），其中m∈R．（1）若∥，求|﹣|；（2）若m＝5，求与夹角的余弦值．18．已知复数z1＝（1+i）2，设z2＝．（1）求复数z2；（2）若复数z满足＝，z+z2＝，求|z|．19．在平面四边形ABCD中，∠ADB＝，AB＝7．（1）若BD＝5，求△ABD的面积；（2）若BC⊥BD，∠BAC＝，BC＝，求sin∠ABD．20．今年四月份某单位组织120名员工参加健康知识竞赛，将120名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示．（1）求实数a的值，并求80分是成绩的多少百分位数？（2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩；（3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间[90，100]内的员工中，随机选取2名员工到某社区开展“学知识、健体魄”活动．已知这次健康知识竞赛成绩落在区间[90，100]内的员工中恰有3名男性，求至少有1名男性员工被选中的概率．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝2，E为PC的中点，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：AF⊥平面PBC；（2）求AE与平面PBC所成角的正弦值．22．在斜三角形ABC中，已知tanBtanC＝，tanB+tanC＝．（1）求A；（2）设0＜x＜，若＝sinA，求tanx的值．参考参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设z1＝3+i，z2＝1+mi，若z1z2为纯虚数，则实数m＝（　　）A．﹣3B．﹣C．D．3解：∵z1＝3+i，z2＝1+mi，∴z1z2＝（3+i）（1+mi）＝3+3mi+i+mi2＝（3m+1）i+（3﹣m），∵z1z2为纯虚数，∴3﹣m＝0，即m＝3．故选：D．2．某校高一年级1000名学生的血型情况如图所示．某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是（　　）．[图中数据：A型22%，B型28%，O型38%，AB型12%]A．11B．22C．110D．220解：根据分层抽样的定义可得，从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是50×22%＝11；故选：A．3．在△ABC中，tanA＝2，BC＝10，AC＝5，则tanB＝（　　）A．B．C．D．1解：因为tanA＝＝2，所以sin2A+cos2A＝sin2A+＝1，可得sin2A＝，所以sinA＝，又BC＝10，AC＝5，由正弦定理，可得sinB＝＝＝，可得cosB＝＝，则tanB＝＝．故选：C．4．甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是，则这道数学题被解出的概率是（　　）A．B．C．D．解：当甲，乙都解不出时，这道数学题不被解出，概率为；所以这道数学题被解出的概率是．故选：C．5．如图，已知点P是函数f（x）＝Acos（x+φ）（x∈R，A＞0，|φ|＜）图象上的一个最高点，M，N是函数f（x）的图象与x轴的两个交点，若•＝0，则A的值为（　　）A．2B．C．4D．π解：函数f（x）＝Acos（x+φ）的周期T＝，则|MN|＝，又•＝0，∴△MPN为等腰直角三角形，∴，∴A＝．故选：B．6．已知A，B，C，D四点均在半径为R的球O的球面上，△ABC的面积为R2，球心O到平面ABC的距离为，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为24，则球O的表面积为（　　）A．4πB．16πC．27πD．64π解：如图，设三角形ABC的外心为G，其外接球的球心为O，则OG⊥平面ABC，且OG＝，要使三棱锥D﹣ABC体积的最大，则D在GO的延长线上，此时OD＝R，∵△ABC的面积为R2，∴三棱锥D﹣ABC体积的最大值为＝24，解得R＝4，∴球O的表面积为4π×42＝64π．故选：D．7．设a＝tan16°+tan14°+tan16°tan14°，b＝sin44°cos14°﹣sin46°cos76°，c＝2sin14°sin76°，则a，b，c的大小关系是（　　）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞a＞b解：∵tan30°＝tan（16°+14°）＝，∴tan16°+tan14°＝，∴a＝tan16°+tan14°+tan16°tan14°＝，∵b＝sin44°cos14°﹣sin46°cos76°＝sin44°cos14°﹣cos44°sin14°＝sin（44°﹣14°）＝sin30°＝，c＝2sin14°sin76°＝2sin14°cos14°＝sin28°，∴a＞b＞c．故选：A．8．已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为1．设点O到边BC，CA，AB的距离分别为d1，d2，d3，若•+•+•＝﹣1，则d12+d22+d32＝（　　）A．B．1C．D．3解：不影响一般性，设A（1，0），B（﹣1，0），C（0，1），如图，此时＝﹣1+0+0＝﹣1，容易知道，d3＝0，所以，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如表所示，成绩10987人数1432则下列说法正确的有（　　）A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为7.4B．这10名男生引体向上的测试成绩没有众数C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数8.5D．这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为7.5解：根据成绩10987人数1432所以：对于A：这10名男生引体向上的平均值为，故A错误；对于B：这10名男生引体向上的测试成绩众数为9，故B错误；对于C：这10名男生引体向上测试成绩的中位数＝8.5，故C正确；对于D：这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为＝7.5，故D正确．故选：CD．10．下列说法正确的有（　　）A．设z1，z2是两个虚数，若z1+z2，和z1z2均为实数，则z1，z2是共轭复数B．若z1﹣z2＝0，则z1与互为共轭复数C．设z1，z2是两个虚数，若z1与z2是共轭复数，则z1+z2和z1z2均是实数D．若z1+z2∈R，则z1与z2互为共轭复数解：对于选项A：设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d∈R），则b≠0，d≠0，b+d＝0，ad+bc＝0，故b＝﹣d≠0，a＝c，故z1，z2是共轭复数，故正确；对于选项B：∵z1﹣z2＝0，∴z1＝z2，又∵z2与互为共轭复数，∴z1与互为共轭复数，故正确；对于选项C：设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R，b≠0），则z1+z2＝2a∈R，z1z2＝a2+b2∈R，故正确；对于选项D：设z1＝3+i，z2＝4﹣i，则z1+z2＝7，但z1与z2不互为共轭复数，故错误；故选：ABC．11．在平面直角坐标系xOy中，△OAB的三个顶点O，A，B的坐标分别为（0，0），（x1，y1），（x2，y2），设＝，＝，＝，则（　　）A．S△OAB＝B．S△OAB＝C．S△OAB＝（R为△OAB外接圆的半径）D．S△OAB＝|x1y2﹣x2y1|解：由正弦定理可得＝＝＝2R（R为△OAB外接圆的半径），所以||＝，||＝，sin∠AOB＝，所以S△OAB＝||||sin∠AOB＝||||sin∠AOB＝＝，故A错误；S△OAB＝||||sin∠AOB＝||||＝，故C错误，S△OAB＝||||sin∠AOB＝||||＝＝＝＝|x1y2﹣x2y1|，故B，D正确．故选：BD．12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，则下列结论正确的有（　　）A．A1D⊥D1PB．三棱锥A﹣B1PD1的体积为定值C．存在点P使得∠APD1＝D．直线DP∥平面AB1D1解：对于A，D1C1⊥平面AA1D1D，则D1C1⊥A1D，A1D⊥AD1，则A1D⊥D1B，而D1B∩D1C1＝D1，∴A1D⊥平面D1C1B，而D1P⊂平面D1C1B，∴A1D⊥D1P，故A正确；对于B，∵AD1∥BC1，AD1⊂平面AD1B1，BC1⊄平面AD1B1，∴BC1∥平面AD1B1，则P到平面AD1B1的距离为定值，∴为定值，故B正确；对于C，∵，两平行线AD1与BC1间的距离为1，则平面ABC1D1内以AD1为直径的圆与BC1无交点，故∠APD1为锐角，C错误；对于D，∵AD∥B1C1，AD＝B1C1，∴四边形AB1C1D为平行四边形，可得AB1∥DC1，同理可证DB∥D1B1，而DB∩DC1＝D，∴平面DBC1∥平面AB1D1，而DP⊂平面DBC1，∴直线DP∥AB1D1，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将参考答案填写在答题卡相应的位置上.13．若sincos﹣sincos＝sinx，请写出一个符合要求的x＝　　．解：∵sincos﹣sincos＝＝sinx，∴x＝或，当k＝0时，x＝符合题意．故参考答案为：．14．若数据3（a1+1），3（a2+1），…，3（a7+1）的方差为9，则数据a1，a2，…，a7的方差为　1　．解：数据3（a1+1），3（a2+1），…，3（a7+1）的方差为9，则数据a1，a2，…，a7的方差为：＝1．故参考答案为：1．15．如图，由若干个边长为1的正方形拼接而成一个矩形A0B0B2021A2021，则•（+++…+）＝　2021　．解：由图可知，，即（k＝1，2，...，2021），又＝，∴•（+++…+）＝+...+＝1+1+...+1＝2021．故参考答案为：2021．16．如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．已知拟柱体ABCD﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1和下底面ABCD均为平行四边形，点E，F，G，H分别为侧棱AA1，BB1，CC1，DD1，的中点，记三角形D1HG的面积为S1，梯形CC1D1D的面积为S2，则＝　　；若三棱锥D1﹣EGH的体积为1，则四棱锥E﹣BCC1B1的体积为　4　．解：由条件知CDD1C1为梯形，设CD＝a，C1D1＝b，则HG＝．设梯形的高为h，则，，所以．因为EFGH为平行四边形，所以；因为D1C1∥平面EFGH，所以，所以．因为，所以．故参考答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知平面向量，满足+＝（﹣3，6），﹣＝（m，﹣2），其中m∈R．（1）若∥，求|﹣|；（2）若m＝5，求与夹角的余弦值．解：（1）∵+＝（﹣3，6），﹣＝（m，﹣2），∴＝（，2），＝（，4），∵∥，∴，解得m＝1，∴＝（1，﹣2），||＝．（2）∵当m＝5时，＝（1，2），＝（﹣4，4），∴•＝1×（﹣4）+2×4＝4，∴，，设与的夹角为θ，则cosθ＝，故与夹角的余弦值为．18．已知复数z1＝（1+i）2，设z2＝．（1）求复数z2；（2）若复数z满足＝，z+z2＝，求|z|．解：（1）z1＝（1+i）2＝2i，z2＝．故z2＝．（2）设复数z＝x+yi（其中x，y∈R）．由，得，所以，解得x＝﹣1．由z+z2＝，得，所以，解得．所以z＝．故．19．在平面四边形ABCD中，∠ADB＝，AB＝7．（1）若BD＝5，求△ABD的面积；（2）若BC⊥BD，∠BAC＝，BC＝，求sin∠ABD．解：（1）在△ABD中，由余弦定理得AB²＝AD²+BD²﹣2AD•BD•cos∠ADB，即7²＝AD²+5²﹣2AD×5×（﹣），整理得AD²+5AD﹣24＝0，解得AD＝3，或AD＝﹣8（舍去）；所以×AD×BD×sin＝×3×5×sin＝，（2）设∠ABD＝θ（0＜θ＜），则∠BCA＝π﹣﹣（θ+）＝﹣θ，在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin（﹣θ）＝，因为0＜θ＜，所以0＜﹣θ＜，cos（﹣θ）＝，sinθ＝sin＝sincos（）﹣cossin（），＝20．今年四月份某单位组织120名员工参加健康知识竞赛，将120名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示．（1）求实数a的值，并求80分是成绩的多少百分位数？（2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩；（3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间[90，100]内的员工中，随机选取2名员工到某社区开展“学知识、健体魄”活动．已知这次健康知识竞赛成绩落在区间[90，100]内的员工中恰有3名男性，求至少有1名男性员工被选中的概率．解：（1）10（a+3a+4a+5a+6a+a）＝1，解得a＝0.005，1﹣10（4×0.005+0.005）＝0.75，∴80分是成绩的75百分位数．（2）45×0.05+55×0.15+65×0.25+75×0.30+85×0.20+95×0.05＝71（分），∴这次知识竞赛的平均成绩是71分．（3）这次知识竞赛成绩落在区间[90，100]内的员工有120×0.05＝6名，记“至少有一个男性员工被选中”为事件A，记这6人为1，2，3，4，5，6号，其中男性员工为1，2，3号，则样本空间：Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）}，A＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6）}，∴P（A）＝＝．∴至少有1名男性员工被选中的概率为．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝2，E为PC的中点，过点A作AF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：AF⊥平面PBC；（2）求AE与平面PBC所成角的正弦值．解：（1）证明：在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB，∵AB⊥AC，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，在△PAC中，由E为PC的中点，且PA＝AC，可知AE⊥PC，∵AB∩AE＝A，AB⊂平面ABE，AE⊂平面ABE，∴PC⊥平面ABE，又AF⊂平面ABE，∴PC⊥AF，∵AF⊥BE，PC∩BE＝E，PC⊂平面PBC，BE⊂平面PBC，∴AF⊥平面PBC．（2）由（1）知，AF⊥平面PBC，∴AE与平面PBC所成角为∠AEF，又由（1）知，AB⊥平面PAC，AE⊂平面PAC，∴AB⊥AE，由PA⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，由PA＝AC＝2，E为PC的中点，得AE＝，在Rt△ABE中，BE＝＝，∴AF＝＝＝，∴AE与平面PBC所面角的正弦值为．22．在斜三角形ABC中，已知tanBtanC＝，tanB+tanC＝．（1）求A；（2）设0＜x＜，若＝sinA，求tanx的值．解：（1）在斜三角形ABC中，A+B+C＝π，∵tanBtanC＝，tanB+tanC＝．∴tanA＝tan[π﹣（B+C）]＝﹣tan（B+C）＝＝，又∵0＜A＜π，∴．（2）∵＝sinA，∴＝sinA，∴cosBcosCtan2x+sin（B+C）tanA+sinBsinC＝sinA①，由（1）可知A＝，∴sin（B+C）＝sin＝，∵tanB+tanC＝，∴，即sin（B+C）＝，∴cosBcosC＝，又∵cos（B+C）＝cos，∴，∴sinBsinC＝，∴①式可化为6tan2x+5tanx﹣4＝0，解得tanx＝﹣或tanx＝，∵0＜x＜，∴tanx＝．