学习必备欢迎下载立体几何知识点整理姓名：一．直线和平面的三种位置关系：线面平行lα符号表示：线面相交lAα符号表示：线在面内lα符号表示：线面平行：方法一：用线线平行实现。l//mmml//αl方法二：用面面平行实现。βl//l//lα方法三：用平面法向量实现。nl若n为平面的一个法向量，nl且l,则αl//。3.面面平行：二．平行关系：线线平行：方法一：用线面平行实现。ll//ll//mm方法一：用线线平行实现。l//l'lβmm//m'l'l,mαm'l',m'方法二：用线面平行实现。//且相交且相交m方法二：用面面平行实现。l//βll//mγmmα方法三：用线面垂直实现。若l,m，则l//m。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则l//m。l//lβmm////l,m且相交α三．垂直关系：线面垂直：方法一：用线线垂直实现。lACllABAClCABAAC,ABAαB学习必备欢迎下载方法二：用面面垂直实现。βlmlmlm,lα面面垂直：方法一：用线面垂直实现。βlllα方法二：计算所成二面角为直角。线线垂直：方法一：用线面垂直实现。lllmmmα方法二：三垂线定理及其逆定理。PPO步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：a2b2c2acθcos2abb(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角C(计算结果可能是其补角)：θABACAcosBABAC(二)线面角定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。PAθOα(2)范围：[0,90]AOllOAlPAl当0时，l或l//当90时，l(3)求法：方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为0，则lm。三．夹角问
题
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。(一)异面直线所成的角：范围：(0,90]求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。方法一：定义法。步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。方法二：向量法(n为平面的一个法向量)。sincosn,APnPnAPαAθOnAP学习必备欢迎下载(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。mPln范围：[0,180]求法：方法一：定义法。步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。步骤2：解三角形，求出二面角。PθAO方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。n1n2θ步骤一：计算cosn1n1n2n2n2n1步骤二：判断与n1n2的关系，可能相等或者互补。四．距离问题。1．点面距。方法一：几何法。PAO步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)方法二：坐标法。PdAPcosnAPnθAOnAPαn2．线面距、面面距均可转化为点面距。3．异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。mn如图，m和n为两条异面直线，n且m//，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。BaAmcdnbDm'C如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，m//m'，则异面直线m和n之间的距离为：dc2a2b22abcos学习必备欢迎下载五．空间向量(一)空间向量基本定理若向量a,b,c为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p，都存在唯一的有序实数对x、y、z，使得pxaybzc。(二)三点共线，四点共面问题A，B，C三点共线OAxOByOC，且xy1当x1时，A是线段BC的y2A，B，C三点共线ABACA，B，C，D四点共面OAxOByOCzOD，且xyz1当xyz1时，A是△BCD的3A，B，C，D四点共面ABxACyAD(三)空间向量的坐标运算已知空间中A、B两点的坐标分别为：A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)则：AB;dA,BAB若空间中的向量a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)则abababcosab六．常见几何体的特征及运算(一)长方体长方体的对角线相等且互相平分。若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、、，则cos2+cos2+cos2αβγβαγ若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、，则cos2+cos2+cos2若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为。(二)正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四)正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体)(五)棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六)体积：V棱柱V棱锥(七)球1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是。球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。球的表面积公式：体积公式：
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