常微分方程 基本概念

会计学1常微分方程基本概念2021/6/22300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.第1页/共98页2021/6/23定义1　凡含有未知函数导数(或微分)的方程，一、微分方程称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称做常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称做偏微分方程.　本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程.(1)y=kx,k为常数；　　例如，下列方程都是微分方程(其中y,v,q均为未知函数).(2)(y-2xy)dx+x2dy=0；(3)mv(t)=mg-kv(t)；第2页/共98页2021/6/24微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.例如，方程(1)-(3)为一阶微分方程，通常，n阶微分方程的一般形式为F(x,y,y,,y(n))=0，其中x是自变量，y是未知函数，F(x,y,y,,y(n))是已知函数，而且一定含有y(n).(4)(5)方程(4)-(5)为二阶微分方程.第3页/共98页2021/6/25　　定义2任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.二、微分方程的解若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解.　　例如方程y=2x的解y=x2+C中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，因此，这个解是方程的通解；如果求满足条件y(0)=0的解，代入通解y=x2+C中，得C=0，那么y=x2就是方程y=2x的特解.第4页/共98页2021/6/26二阶微分方程的初始条件是即y(x0)=y0与y(x0)=y0，　　一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题.求解某初值问题，就是求方程的特解.　　用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称为初始条件.通常一阶微分方程的初始条件是第5页/共98页2021/6/27例1验证函数y=3e–x–xe–x是方程y+2y+y=0的解.解求y=3e–x–xe–x的导数，y=-4e–x+xe-x,y=5e–x-xe-x,将y，y及y代入原方程的左边，(5e–x-xe-x)+2(-4e–x+xe-x)+3e–x–xe–x=0，即函数y=3e–x–xe–x满足原方程，得有　　　　　　　　　　　　　　　　所以该函数是所给二阶微分方程的解.第6页/共98页2021/6/28得C=2，故所求特解为y=2x2.例2验证方程的通解为y=Cx2(C为任意常数)，并求满足初始条件y|x=1=2的特解.解由y=Cx2得y=2Cx,将y及y代入原方程的左、右两边，左边有y=2Cx，所以函数y=Cx2满足原方程.又因为该函数含有一个任意常数，所以y=Cx2是一阶微分方程将初始条件y|x=1=2代入通解，第7页/共98页2021/6/29　　例3　设一个物体从A点出发作直线运动，在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍.求物体运动规律(或称运动方程)解　首先建立坐标系：取A点为坐标原点，物体运动方向为坐标轴的正方向(如图)，并设物体在时刻t到达M点，其坐标为s(t).显然，s(t)是时间t的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待求的未知函数，　s(t)的导数s(t)就是物体运动的速度v(t).由题意，知v(t)=2t，以及s(0)=0.①②ASOMs(t)第8页/共98页2021/6/210　　因为v(t)=s(t)，因此，求物体的运动方程已化成了求解初值问题积分后，得通解s(t)=t2+C.故初值问题的解为s(t)=t2，也是本题所求的物体的运动方程.再将初始条件②代入通解中，得C=0，第9页/共98页2021/6/211　　例4　已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程.解设所求曲线的方程为y=y(x)，根据导数的几何意义及本题所给出的条件，y=y2，即积分得又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得所以，求此曲线的方程为得第10页/共98页2021/6/212　　一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数y=y(x)，　　　　　　　其图形是一条平面曲线，我们称它为微分方程的积分曲线.　　　　　　　　　　　通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分曲线族，特解的图形是积分曲线族中的一条确定的曲线.这就是微分方程的通解与特解的几何意义.第11页/共98页2021/6/213一、可分离变量方程第六章　微分方程第二节　一阶微分方程三、一阶线性微分方程二、齐次方程第12页/共98页2021/6/214一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0.第13页/共98页2021/6/215一、可分离变量方程例如：形如y=f(x)g(y)的微分方程，称为可分离变量方程.(1)分离变量将方程整理为使方程各边都只含有一个变量.的形式，第14页/共98页2021/6/216(2)两边积分两边同时积分，得故方程通解为　　我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，　　　　　　　　　　　而把积分所带来的任意常数明确地写上.第15页/共98页2021/6/217例1求方程解　分离变量，得两边积分，得这就是所求方程的通解．第16页/共98页2021/6/218例2求方程解　分离变量，得两边积分，得化简得第17页/共98页2021/6/219另外，y=0也是方程的解，因此C2为任意常数．求解过程可简化为：两边积分得即通解为其中C为任意常数.中的C2可以为0，这样，方程的通解是分离变量得第18页/共98页2021/6/220　　例3求方程dx+xydy=y2dx+ydy满足初始条件y(0)=2的特解.解　将方程整理为分离变量，得两边积分，有第19页/共98页2021/6/221化简，得即将初始条件y(0)=2代入，为所求之通解.得C=3.故所求特解为第20页/共98页2021/6/222例4解　分离变量得即第21页/共98页2021/6/223两边积分，得经整理，得方程的通解为也可写为第22页/共98页形如方程称为齐次方程,求解方法:二、可化为变量分离方程类型第23页/共98页例4求解方程解:方程变形为这是齐次方程,即将变量分离后得第24页/共98页两边积分得:即代入原来变量,得原方程的通解为第25页/共98页例6求下面初值问题的解解:方程变形为这是齐次方程,将变量分离后得第26页/共98页两边积分得:整理后得变量还原得故初值问题的解为第27页/共98页2021/6/229三、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程.其中P(x)、Q(x)都是自变量的已知连续函数.左边的每项中仅含y或y，且均为y或y的一次项.①它的特点是：右边是已知函数，第28页/共98页2021/6/230称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程，0，则称方程①为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程.通常方程②称为方程①所对应的线性齐次方程.②若Q(x)若Q(x)0，则方程成为第29页/共98页2021/6/2311.一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程是可分离变量方程.两边积分，得所以，方程的通解公式为分离变量，得第30页/共98页2021/6/232例6求方程y+(sinx)y=0的通解.　　解　所给方程是一阶线性齐次方程，且P(x)=sinx，由通解公式即可得到方程的通解为则第31页/共98页2021/6/233　　例7　求方程(y-2xy)dx+x2dy=0满足初始条件y|x=1=e的特解.解　将所给方程化为如下形式：这是一个线性齐次方程，则由通解公式得该方程的通解将初始条件y(1)=e代入通解，得C=1.故所求特解为第32页/共98页2021/6/2342.一阶线性非齐次方程的解法设y=C(x)y1是非齐次方程的解，　将y=C(x)y1(其中y1是齐次方程y+P(x)y=0的解)及其导数y=C(x)y1+C(x)y1代入方程则有即第33页/共98页2021/6/235因y1是对应的线性齐次方程的解，因此有其中y1与Q(x)均为已知函数，代入y=C(x)y1中，得容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程所以可以通过积分求得第34页/共98页2021/6/236且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程的通解在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：　　上述讨论中所用的方法，是将常数C变为待定函数C(x)，再通过确定C(x)而求得方程解的方法，称为常数变易法.第35页/共98页2021/6/237例8求方程2y-y=ex的通解.解法一使用常数变易法求解．将所给的方程改写成下列形式：这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为将y及y代入该方程，得设所给线性非齐次方程的解为第36页/共98页2021/6/238于是，有因此，原方程的通解为解法二运用通解公式求解．将所给的方程改写成下列形式：第37页/共98页2021/6/239则代入通解公式，得原方程的通解为第38页/共98页2021/6/240例9求解初值问题．解　使用常数变易法求解．将所给的方程改写成下列形式：则与其对应的线性齐次方程的通解为第39页/共98页2021/6/241设所给线性非齐次方程的通解为于是，有将y及y代入该方程，得第40页/共98页2021/6/242因此，原方程的通解为将初始条件y(p)=1代入，得C=p，　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以，所求的特解，即初值问题的解为第41页/共98页2021/6/243例10　求方程y2dx+(x-2xy-y2)dy=0的通解.解　将原方程改写为这是一个关于未知函数x=x(y)的一阶线性非齐次方程，它的自由项Q(y)=1.第42页/共98页2021/6/244代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有即所求通解为第43页/共98页2021/6/245第七章　微分方程第三节　一阶微分方程应用举例　　例1设曲线过点(1,1)，且其上任意点P的切线在y轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程.　　解　设所求的曲线方程为y=y(x)，P(x,y)为其上任意点，　　　则过点P的切线方程为其中(X,Y)是切线上动点,(x,y)是曲线上任意固定的点.xyOP(x,y)L第44页/共98页2021/6/246令X=0，得切线在y轴上的截距为Y=y-xy，y-xy=3y，这是一阶线性齐次方程，其通解为因曲线过点(1,1).代入方程，得C=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　所以曲线方程为由题意得第45页/共98页2021/6/247　　例2设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的速度成正比(比例系数为常数k>0)，起跳时的速度为0.求下落的速度与时间之间的函数关系.解　设下落速度为v(t)，　　则加速度a=v(t)运动，物体所受的外力为：F=mg–kv，于是，由牛顿第二定律可得mg-kv=mv，第46页/共98页2021/6/248又由题意得初始条件v|t=0=0，可见，初值问题是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为由v(0)=0得C=mg.即为所求的函数关系.所以，特解第47页/共98页2021/6/249例4假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却，　　　　　　　　　　　　　　　　　物体的初始温度为200C，且由200C冷却到100C需要40s.已知(冷却定律)：冷却速率与物体和介质的温度差成正比.其介质(冷却剂)温度始终保持为10C，并求物体温度降到20C所需的时间.解　设物体温度为q=q(t)，则物体的冷却速率为q(t).由冷却定律可得q(t)应满足的微分方程为q(t)=-k[q(t)-10](k>0)，试求物体温度q与时间t的函数关系,第48页/共98页2021/6/250另由题意知q(t)所满足的初始条件为q|t=0=200.于是，初值问题是解此初值问题，得特解q(t)=10+190e-kt.因此，得由于(40)=100，即100=10+190e-40k，第49页/共98页2021/6/251最后，将q=20代入上式，即物体温度降到20C大约需要2min38s.从而得物体温度q与时间t的函数关系为并解出第50页/共98页2021/6/252一、二阶线性微分方程解的结构第七章　微分方程第四节　二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程的解法三、应用举例第51页/共98页2021/6/253一、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式y+p(x)y+q(x)y=f(x)称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.f(x)称为自由项，当f(x)0时，称为二阶线性非齐次微分方程，简称二阶线性非齐次方程.　　　　　　　　　　　当f(x)恒为0时，称为二阶线性齐次微分方程，简称二阶线性齐次方程.方程中p(x)、q(x)和f(x)都是自变量的已知连续函数.这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含y或y或y，且每项均为y或y或y的一次项，例如y+xy+y=x2就是二阶线性非齐次方程.而y+x(y)2+y=x2就不是二阶线性方程.第52页/共98页2021/6/254　　定理1　如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解，y=C1y1+C2y2仍为该方程的解，　　证　因为y1与y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个解，与所以有其中C1，C2是任意常数.则函数第53页/共98页2021/6/255于是有y+p(x)y+q(x)y=0所以y=C1y1+C2y2是y+p(x)y+q(x)y=0的解.第54页/共98页2021/6/256　　定义　设函数y1(x)和y2(x)是定义在某区间I上的两个函数，k1y1(x)+k2y2(x)=0不失一般性，考察两个函数是否线性相关，我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，事实上，当y1(x)与y2(x)线性相关时，有k1y1+k2y2=0，其中k1,k2不全为0，如果存在两个不全为0的常数k1和k2，使在区间I上恒成立.　　　　　　　　　则称函数y1(x)与y2(x)在区间上是线性相关的，否则称为线性无关.第55页/共98页2021/6/257即y1与y2之比为常数.反之，若y1与y2之比为常数，则y1=ly2，即y1-ly2=0.所以y1与y2线性相关.因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例如函数y1=ex，y2=e-x，　　　　　　　　　　　　　　　　所以，它们是线性无关的.如果不是常数，则它们线性无关.第56页/共98页2021/6/258　　定理2　如果函数y1与y2是二阶线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关的特解，y=C1y1+C2y2是该方程的通解，　　证　因为y1与y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0的解，所以，由定理1知y=C1y1+C2y2也是该方程的解.又因为y1与y2线性无关，即y1与y2之比不为常数，故C1与C2不能合并为一个任意常数，因此y=C1y1+C2y2是二阶线性齐次方程的通解.则其中C1,C2为任意常数.所以它们中任一个都不能用另一个(形如y1=ky2或y2=k1y)来表示.第57页/共98页2021/6/259　　定理3　如果函数y*是线性非齐次方程的一个特解，y=Y+y*，是线性非齐次方程的通解.　　证　因为y*与Y分别是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)和线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的解，所以有y*+p(x)y*+q(x)y*=f(x)，Y+p(x)Y+q(x)Y=0.Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则第58页/共98页2021/6/260又因为y=Y+y*，y=Y+y*，所以y+p(x)y+q(x)y=(Y+y*)+p(x)(Y+y*)+q(x)(Y+y*)=(Y+p(x)Y+q(x)Y)+(y*+p(x)y*+q(x)y*)=f(x).第59页/共98页2021/6/261求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：　　(1)求线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的线性无关的两个特解y1与y2，得该方程的通解Y=C1y1+C2y2.　　(2)求线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的一个特解y*.那么，线性非齐次方程的通解为y=Y+y*.又Y是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，故y=Y+y*中含有两个任意常数.即y=Y+y*是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解.这说明函数y=Y+y*是线性非齐次方程的解，第60页/共98页2021/6/262y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+f2(x)，y+p(x)y+q(x)y=f1(x)，和y+p(x)y+q(x)y=f2(x)则是方程①的特解.定理4　设二阶线性非齐次方程为①②③的特解，第61页/共98页2021/6/263证　因为y1*与y2*分别是②与③的特解，y1*+p(x)y1*+q(x)y1*=f1(x)，与y2*+p(x)y2*+q(x)y2*=f2(x).于是有=f1(x)+f2(x)，所以有=[y1*+p(x)y1*+q(x)y1*]+[y2*+p(x)y2*+q(x)y2*]即y1*+y2*满足方程①，第62页/共98页2021/6/264二、二阶常系数线性微分方程的解法如果二阶线性微分方程为y+py+qy=f(x)，其中p、q均为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程.第63页/共98页2021/6/265设二阶常系数线性齐次方程为y+py+qy=0.考虑到左边p，q均为常数，我们可以猜想该方程具有y=erx形式的解，其中r为待定常数.　将y=rerx,y=r2erx及y=erx代入上式，erx(r2+pr+q)=0.1.二阶常系数线性齐次方程的解法由于erx0，因此，只要r满足方程r2+pr+q=0，即r是上述一元二次方程的根时，　　　　　　　　　　　　　　　　　y=erx就是④式的解.方程⑤称为方程④的特征方程.　　　　　　　　　　　　　　　　　特征方程根称为特征根.④⑤得第64页/共98页2021/6/2661特征方程具有两个不相等的实根r1与r2，2特征方程具有两个相等的实根，这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解y1=erx.还需再找一个与y1线性无关的特解y2，为此，设y2=u(x)y1，其中u(x)为待定函数.将y2及其一阶、二阶导数y2=(uerx)=erx(u(x)+ru(x))，y2=erx(u(x)+2ru(x)+r2u(x))，代入方程y+py+qy=0中，得因而它的通解为所以y1与y2线性无关，都是④的解，即r1r2.那么，这时函数即第65页/共98页2021/6/267注意到是特征方程的重根，所以有r2+pr+q=0及2r+p=0.且erx0，因此只要u(x)满足则y2=uerx就是④式的解，为简便起见，取方程u(x)=0的一个解u=x，于是得到方程④且与y1=erx线性无关的解y2=xerx.　因此，④式的通解为第66页/共98页2021/6/268　　3特征方程具有一对共轭复根r1=a+ib与r2=a–ib.这时有两个线性无关的特解y1=e(a+ib)x与y2=e(a-ib)x.这是两个复数解，为了便于在实数范围内讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解.由欧拉公式(这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得第67页/共98页2021/6/269于是有由定理1知，以上两个函数eaxcosbx与eaxsinbx　均为④式的解，且它们线性无关.　因此，这时方程的通解为第68页/共98页2021/6/270上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：(1)写出所给方程的特征方程；(2)求出特征根；　(3)根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.第69页/共98页特征根方程的通解一对共轭复根r1,2=i两个不等的实根r1,r2两个相等的实根r1=r2=r(0)第70页/共98页2021/6/272例1　求方程y-2y-3y=0的通解.　　解　该方程的特征方程为r2-2r–3=0,它有两个不等的实根r1=-1，r2=3,　其对应的两个线性无关的特解为y1=e-x与y2=e3x,所以方程的通解为第71页/共98页2021/6/273　　例2　求方程y-4y+4y=0的满足初始条件y(0)=1，y(0)=4的特解.　　解　该方程的特征方程为r2-4r+4=0，求得将y(0)=1，y(0)=4代入上两式，得C1=1，C2=2，y=(1+2x)e2x.其对应的两个线性无关的特解为y1=e2x与y2=xe2x，所以通解为因此，所求特解为它有重根r=2.第72页/共98页2021/6/274例3　求方程2y+2y+3y=0的通解.　　解　该方程的特征方程为2r2+2r+3=0，它有共轭复根对应的两个线性无关的解为所以方程的通解为第73页/共98页2021/6/275例4　求方程y+4y=0的通解.　　解　该方程的特征方程为r2+4=0，它有共轭复根r1,2=2i.即a=0，b=2.　对应的两个线性无关的解y1=cos2x.y2=sin2x.所以方程的通解为第74页/共98页2021/6/2762.二阶常系数线性非齐次方程的解法1自由项f(x)为多项式Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为y+py+qy=Pn(x),其中Pn(x)为x的n次多项式.当原方程⑥中y项的系数q0时，k取0；当q=0，但p0时，k取1；当p=0，q=0时，k取2.⑥因为方程中p、q均为常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设⑥式的特解为其中Qn(x)与Pn(x)是同次多项式，第75页/共98页2021/6/277例5　求方程y-2y+y=x2的一个特解.解　因为自由项f(x)=x2是x的二次多项式，则代入原方程后，有且y的系数q=10，取k=0.所以设特解为第76页/共98页2021/6/278比较两端x同次幂的系数，有解得A=1，B=4，C=6.故所求特解为第77页/共98页2021/6/279例6　求方程y+y=x3–x+1的一个特解.　　解　因为自由项f(x)=x3–x+1是一个x的三次多项式，则代入原方程后，有且y的系数q=0，p=10，取k=1.所以设方程的特解为第78页/共98页2021/6/280比较两端x同次幂的系数：解得故所求特解为第79页/共98页2021/6/2812自由项f(x)为Aeax型设二阶常系数线性非齐次方程为y+py+qy=Aeax，其中a，A均为常数.　　由于p，q为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，其中B为待定常数，当a不是⑦式所对应的线性齐次方程的特征方程r2+pr+q=0的根时，取k=0；当a是其特征方程单根时，取k=1；当是其特征方程重根时，取k=2.⑦因此，我们可以设⑦的特解第80页/共98页2021/6/282例7　求方程y+y+y=2e2x的通解.　　解　a=2它不是特征方程r2+r+1=0的根，取k=0，则代入方程，得故原方程的特解为所以，设特解为.B72=第81页/共98页2021/6/283例8　求方程y+2y-3y=ex的特解.　　解　a=1是特征方程r2+2r-3=0的单根，取k=1，则代入方程，得故原方程的特解为所以，设特解为,41=B第82页/共98页2021/6/2843自由项f(x)为eax(Acoswx+Bsinwx)型设二阶常系数线性非齐次方程为y+py+qy=eax(Acoswx+Bsinwx)，其中a，A，B均为常数.　　由于p，q为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，因此,我们可以设⑧有特解⑧其中C，D为待定常数.取k=0，是根时，取k=1，代入⑧式，求得C及D.当a+wi不是⑧式所对应的齐次方程的特征方程的根时，第83页/共98页2021/6/285例9　求方程y+3y-y=excos2x的一个特解.　　解　自由项f(x)=excos2x为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，则且a+wi=1+2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程r2+3r–1=0的根，取k=0，所以设特解为第84页/共98页2021/6/286代入原方程，得比较两端cos2x与sin2x的系数，得解此方程组，得故所求特解为第85页/共98页2021/6/287例10　求方程y+y=sinx的一个特解.　　解　自由项f(x)=sinx为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，且a=0，w=1，则代入原方程，得且a+wi=i是特征方程r2+1=0的根，取k=1，所以，设特解为第86页/共98页2021/6/288比较两端sinx与cosx的系数，得故原方程的特解为而对应齐次方程y+y=0的通解为Y=C1cosx+C2sinx.故原方程的通解为第87页/共98页2021/6/289例11　方程y+4y=x+1+sinx的通解.　　解　自由项f(x)=x+1+sinx可以看成f1(x)=x+1和f2(x)=sinx之和，y+4y=x+1，y+4y=sinx.和⑨⑩方程⑨的特解易求得，设方程⑩的特解为的特解.所以分别求方程第88页/共98页2021/6/290代入⑩，得3Asinx=sinx.所以得原方程的特解第89页/共98页2021/6/291　　原方程所对应的线性齐次方程为y+4y=0，其通解为Y=C1cos2x+C2sin2x，故原方程的通解为第90页/共98页2021/6/292三、应用举例例12弹簧振动问题　　设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为m的物体，　　　　当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，设给物体一个初始位移x0初速度v0，则物体便在其平衡位置附近上下振动.已知阻力与其速度成正比，O试求振动过程中位移x的变化规律.第91页/共98页2021/6/293物体在振动过程中，受到两个力的作用：ma=-kx–mv,其中a为加速度，v为速度，　　解建立坐标系，平衡位置为原点,铅垂方向为x轴的正向，则物体位移x是时间t的函数x=x(t).根据牛顿第二定律F=ma，知负号表示阻力f2与速度v方向相反，其中m为比例系数大于0(或称阻尼系数)，阻力f2与速度v成正比，f2=-mv,负号表示弹性恢复力与位移x方向相反；其中k为弹性系数大于0，由胡克定律知，f1=-kx，弹性恢复力f1与阻力f2，第92页/共98页2021/6/294　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　则上式方程可表示为称为振动的微分方程，是一个二阶常系数线性齐次方程，它的特征方程为r2+2nr+w2=0，其根为那么，上式变为这里n，w为正常数，第93页/共98页2021/6/295由题意列出初始条件于是，上述问题化为初值问题：第94页/共98页2021/6/296下面分三种情况来讨论1大阻尼情形，即n>w.是两个不相等的实根.所以方程的通解为2临界阻尼情形，即n=w.这时，特征根r1=r2=-n，所以方程的通解为第95页/共98页2021/6/2973小阻尼情形，即n<w.这时，特征根为共轭复数所以方程的通解为上式也可写成第96页/共98页2021/6/298对于1，2情形，x(t)都不是振荡函数，且当t+时，x(t)0，即物体随时间t的增大而趋于平衡位置.　对于3的情形，虽然物体的运动是振荡的，　但它仍随时间t的增大而趋于平衡位置，　总之，这一类振动问题均会因阻尼的作用而停止，　　　　　　　　　　　称为弹簧的阻尼自由振动.第97页/共98页