第2章信息光学------ 二维线性系统分析

第二章二维线性系统分析第二章二维线性系统分析§2-1线性系统一、线性系统的定义用算符 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示系统定义:g(x,y)={f(x,y)}输入f(x,y)输出g(x,y){a1f1(x,y)+a2f2(x,y)}={a1f1(x,y)}+{a2f2(x,y)}=a1{f1(x,y)}+a2{f2(x,y)}=a1g1(x,y)+a2g2(x,y)如果g1(x,y)={f1(x,y)}，g2(x,y)={f2(x,y)}若对任意复常数a1，a2有：则称该系统为线性系统。{}§2-1线性系统线性系统具有叠加性质线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于单个激励所产生的响应的线性组合。{}输入f1(x,y)输出g1(x,y){}输入f2(x,y)输出g2(x,y){}输入输出§2-1线性系统线性系统具有叠加性质利用线性系统的叠加性质，可以把复杂的输入函数分解为简单的“基元”函数的线性组合，则输出就是这些“基元”函数响应的线性组合。光学系统可看成二维线性系统常用“基元”函数有d函数、复指数函数等等。系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存在而改变。系统的响应性质不会因为输入幅度的改变而改变。线性系统对各个输入的响应是互相独立的。§2-1线性系统二、脉冲响应和叠加积分系统对处于原点的脉冲函数的响应：h(x,y)={d(x,y)}系统对输入平面上坐标为(x,h)处的脉冲函数的响应：h(x,y;x,h)={d(x-x,y-h)}在线性系统中引入脉冲响应的意义：1.任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合。2.若已知线性系统的脉冲响应函数，则系统的输出为脉冲响应函数的线性组合。§2-1线性系统二、脉冲响应和叠加积分任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合根据d函数的卷积性质或d函数的筛选性质:此式的物理意义:脉冲分解函数f(x,y)可以看成输入(x,y)平面上不同位置处的许多d函数的线性组合。每个位于(x,h)的d函数的权重因子是f(x,h)。§2-1线性系统二、脉冲响应和叠加积分线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合对于线性系统:g(x,y)={f(x,y)}叠加积分只要知道各个脉冲响应函数，系统的输出即为脉冲响应函数的线性组合。问题是如何求对任意点的脉冲d(x-x,y-h)的响应h(x,y;x,h)成像光学系统的输出脉冲分解脉冲响应叠加积分§2-2二维线性不变系统一、二维线性时不变系统设系统在t=0时刻对脉冲的响应为h(t)，即:{d(t)}=h(t)若输入脉冲延迟时间t，其响应只有相应的时间延迟t，而函数形式不变，即{d(t-t)}=h(t-t)则此线性系统称为时不变系统。系统的性质不随所考察的时间而变，是稳定的系统。时间轴平移了，响应也随之平移同样的时间，即具有平移不变性。则此线性系统称为时不变系统。系统的性质不随所考察的时间而变，是稳定的系统。时间轴平移了，响应也随之平移同样的时间，即具有平移不变性。tt0d(t-t)t0d(t)例：时不变(一维)系统:RC电路th(t)0th(t-t)t0§2-2二维线性不变系统一、二维线性时不变系统实际物理系统大多可近似为平移不变系统。对一般系统而言，脉冲响应函数的形式可能是点点不同的只有对一类特殊的系统—线性空不变系统，h(x,y;x,h)=h(x-x,y-h)成立，分析可以得到简化。则h(x;1)h(x-1)=1例如，设{d(x)}=h(x)=1而{d(x-1)}=h(x;1)=exp(-j2px)§2-2二维线性不变系统二、二维线性空不变系统脉冲响应函数h(x,y;x,h)的求法：§2-2二维线性不变系统二、二维线性空不变系统一个二维脉冲函数在输入面上位移时，线性系统的响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响应函数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即：{d(x-x,y-h)}=h(x-x,y-h)线性不变系统的脉冲响应：线性不变系统的输入--输出变换关系不随空间位置变化。这样的系统称为二维线性空不变系统。h(x,y;x,h)=h(x-x,y-h)观察点坐标输入脉冲坐标二个坐标的相对间距推广到二维空间函数§2-2二维线性不变系统二、二维线性空不变系统例：空不变(二维)系统：等晕成像系统d(x-x;y-h)(x;h)h(x-x;y-h)xyxy光学成像系统在等晕区内是空间不变的。晕斑d(x,y)h(x,y)例§2-2二维线性不变系统二、二维线性空不变系统输入输出关系:空域输出是输入与脉冲响应函数的卷积积分。这也是线性空不变系统的判据。§2-2二维线性不变系统三、线性不变系统的传递函数两边作F.T.G(fx,fy)=F(fx,fy)•H(fx,fy)传递函数输出频谱输入频谱传递函数是脉冲响应函数的.F.T.={h(x,y)}§2-2二维线性不变系统三、线性不变系统的传递函数注意H(fx,fy)是h(x,y)的F.T.，即h(x,y)的频谱函数h(x,y)是对d(x,y)函数的响应d函数的频谱恒为1，即含有所有频率成分,并且各频率成分的权重都相等(=1)。但h(x,y)的频谱已经改变成H(fx,fy)∴H(fx,fy)反映了系统对不同频率成分的响应，即频率响应。§2-2二维线性不变系统三、线性不变系统的传递函数对于给定的系统和输入，F(fx,fy)和H(fx,fy)较容易求出，因此容易由输出的频谱推算出系统的输出，可避免冗繁的卷积积分求输出的运算。G(fx,fy)=F(fx,fy)•H(fx,fy)例1:已知线性不变系统的脉冲响应为h(x,y)=7sinc(7x)d(y)试用频域方法对输入为f(x,y)=[1+cos(8px)]rect(x/75)时，求其输出g(x,y)§2-2二维线性不变系统三、线性不变系统的传递函数例1系统的输入：f(x,y)=[1+cos(8px)]rect(x/75)脉冲响应：h(x,y)=7sinc(7x)d(y)间隔为3的脉冲阵列,基频为1/3在有限空间区域不为零,|x|<25三角波,底宽为2输入:0-25-3325............xg(x)1§2-2二维线性不变系统三、线性不变系统的传递函数例2输入频谱：输入:间隔为1/3的脉冲阵列包络,半宽为1窄带谱,半宽1/50f0-1/31/3G(f)2/3-2/3251-12-2§2-2二维线性不变系统三、线性不变系统的传递函数例2传递函数H(f)1f01-12-2§2-2二维线性不变系统三、线性不变系统的传递函数例2G(f)=F(f).H(f)f0-1/31/3G(f)2/3-2/350/31-12-20输出频谱：G(f)f0-1/31/32/3-2/350/31-12-2G(f)=G(f).H(f)§2-2二维线性不变系统三、线性不变系统的传递函数例2输出：输出频谱：g(x)注意H(fx,fy)是h(x,y)的F.T.，即h(x,y)的频谱函数h(x,y)是对d(x,y)函数的响应d函数的频谱恒为1，即含有所有频率成分，并且各频率成分的权重都相等（=1）。但h(x,y)的频谱已经改变成H(fx,fy)∴H(fx,fy)反映了系统对不同频率成分的响应，即频率响应§2-2二维线性不变系统三、线性不变系统的传递函数§2-3抽样定理脉冲分解脉冲响应叠加积分§2-3抽样定理问题的提出：对于一个连续的物（模拟信号），是否必须采集物的所有点（用无穷多个d函数的线性组合来表示），才能表达物所包含的全部信息？答：为了完全描述一个频带受限制的信号(限带信号)，可以对它在离散点(时间或空间点)进行抽样。抽样定理若函数g(x,y)不包括高于Bx和By的频率分量，则此函数可以由一系列间隔(X,Y)等于或小于1/(2Bx)和1/(2By)处的函数值完全决定。X,Y:时/空域、间隔；Bx,By:频域、带宽§2-3抽样定理一、函数的抽样上式表明，抽样后的函数gs(x,y)由间距分别为X和Y的d函数阵列构成，每个d函数下的面积正比于该点的函数值。将连续函数g(x,y)在间隔为X和Y的分立的空间点上抽样，就是与梳函数相乘的过程。抽样后的函数系列用gs(x,y)表达：g(x)0x=x0xcomb(x/X).0gs(x)§2-3抽样定理一、函数的抽样二维情形§2-3抽样定理二、抽样函数gs(x,y)的频谱经过抽样后函数的频谱，是原连续函数的频谱以间隔1/X，1/Y重复平移并叠加。如果G(fx,fy)频带无限制，则这些频谱函数必然会叠加。Gs(fx,fy)即使G(fx,fy)是频带有限的函数，若X,Y取值不合适，这些重复的频谱函数之间也会互相重叠。fxGs(fx)01/X1/X只有使这些频谱函数互不重叠，才有可能用滤波的方法，从中提取出原函数的频谱，进而求出原函数。fxGs(fx)0§2-3抽样定理二、抽样函数gs(x,y)的频谱§2-3抽样定理三、抽样间隔fxG(fx)-BxBx0Gs(fx,fy)(2)原函数抽样时，在x方向和y方向抽样点的间隔X和Y不得大于1/(2Bx)和1/(2By)，(1)g(x,y)是限带函数，其频谱G(fx,fy)仅在频率平面上一个有限区域上不为零2Bx,2By:带宽:包围的最小矩形在fx和fy方向上的宽度。则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠fxGs(fx)-BxBx01/X有可能用滤波的方法，提取出原函数的频谱G，进而求出原函数。§2-3抽样定理三、抽样间隔fxGs(fx)-BxBx01/X则Gs中各个区域（间隔为1/X,1/Y）的频谱就不会重叠，有可能用滤波的方法，提取出原函数的频谱G，进而求出原函数。称为奈奎斯特(Niquest)间隔只要以小于或等于奈奎斯特间隔对g(x,y)抽样，则gs(x,y)的频谱就是G(fx,fy)的周期性复现，包含了g(x,y)的全部信息。§2-3抽样定理四、原函数的复原为了从gs(x,y)中还原出g(x,y)，将gs(x,y)通过一个理想低通滤波器，只允许所有频率|fx| 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 等效于一系列的信息抽样。重新恢复连续函数所必需的离散值的最小数目由抽样定理决定。§2-3抽样定理四、原函数的复原抽样和还原的图示抽样空域g(x,y)频域G(fx,fy)comb(x/X)comb(y/Y)gs(x,y)Gs(fx,fy)还原低通滤波器h(x,y)H(fx,fy)g(x,y)=gs(x,y)*h(x,y)G(fx,fy)=Gs(fx,fy)·H(fx,fy)抽样定理表明:在一定条件下可以由插值准确恢复原函数。一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信息。§2-3抽样定理五、抽样定理的适用性在数学上，限带函数在空域上一定是无限扩展的函数函数不可能在空域和频域都被限制在某一范围内。只要信号存在于有限的时空范围，就会有所有的频率分量。严格的限带函数在物理上是不存在的。但是，实际信号的大部分能量被一定范围的频率分量所携带。高频分量携带的能量甚少。由于忽略高频分量，所引入的误差可以忽略，故可近似看作限带函数。因而抽样理论在信息的传输和处理中有重要的意义。§2-3抽样定理六、空间带宽积若限带函数g(x,y)在频域中|fx|