工业设计机械基础第三章、第四章

第三章构件与产品的强度分析第一节材料力学的研究目的杆件的基本变形形式一、材料力学的研究目的材料力学是研究构件与产品承载能力的学科。承载能力指构件在外载作用下满足强度、刚度和稳定性要求的能力。构件应在使用中安全可靠第一，在载荷作用下不破坏，即有足够的强度。第二，在载荷作用下不产生过大的变形，即要求有足够的刚度。第三，对细长杆、薄板、薄壳一类形状的构件来说，还要求有足够的稳定性。二、安全性与经济性的关系产品的安全可靠和经济性是矛盾的两侧面，材料力学将正确处置这对矛盾。并非简单地用材多、用材贵，安全性就高。正确的截面形状、合理的结构形式，…通常更重要。…1实例同等重量的实心和空心棒材“工”字形或“╔╗”形截面的梁，…………图3-1省了材料却更为耐用的例子又如钢材、铝材、塑料等各种“型材”，其截面形状的力学性能优于同量的实心圆、实心方截面材料，又能满足某些结构联接的需要。三、变形体性质的基本假设材料力学中把材料抽象化为“变形固体”的理想模型。⑴连续均匀假设…⑵各向同性假设…一般限于研究材料在弹性范围内变形较小的问题。1四、杆件及杆件的基本变形形式1.杆件图3-2杆件的基本变形形式杆件：长度远大于其他两方向上的尺寸。材料力学主要研究杆件的强度、刚度和稳定性问题。轴线横截面直杆曲杆等直杆2.杆件的基本变形形式①轴向拉伸或压缩（图3-2a、b）②剪切（图3-2c）③扭转（图3-2d）④弯曲（图3-2e）轴向拉伸或压缩（简称“轴向拉压”）的外载荷条件是：拉力或压力的作用线与杆件的轴线一致，且作用在横截面的形心上。复杂的变形一般能看成是上述四种基本变形形式的某种组合，称为组合变形。1第二节内力、应力与应变一、内力与截面法1.内力由外力引起的构件（材料）内部各部分之间相互作用力的改变量，称为内力。⑴内力的作用者与被作用者是一个构件中的这一部分与那一部分；⑵内力是由外力引起的，是原有相互作用力的“改变量”；内力的大小应完全取决于外力；外力解除，内力也随之消失。弹簧受力伸缩时，弹簧材料内部产生阻止伸缩的抵抗力就是内力。材力中的强度、刚度计算，都以计算内力为前提。内力是重要概念。4种基本变形横截面上的内力各有特点，各有特定的名称和 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示符号。轴向拉压时横截面上的内力的作用线与横截面垂直，且作用于横截面图形的形心上，特称为“轴力”，表示符号是“N”。2.截面法用假想截面将构件截分开来，然后用平衡方程由外力求算内力的方法。1图3-3截面法和内力的概念示例求某横截面m-m上的内力①以假想截面m-m将杆截开，AB分成Ⅰ、Ⅱ两部分②任选一段（如Ⅰ）研究，取分离体，画受力图③弃去另一段Ⅱ，将Ⅱ对于Ⅰ的作用以力来代替内力一般即指此截面上分布力系的合力列平衡方程求内力N∑Fx＝0，N－F＝0，求得m-m截面上的内力：N＝F。如选Ⅱ为研究对象，通过同样过程，画出Ⅱ的受力图如图3-3c，可以得到另一个N＝F。求算内的力截面法很重要，通过这个引例，可知截面法的3步骤：⑴截开在要计算内力的截面，假想截开，留下研究对象，弃去另一部分。⑵替代以作用力（即欲求算的内力）替代弃去部分对研究对象的作用。⑶求算画研究对象的受力图，用平衡方程由已知外力求算内力。注意：应选取含有足够已知信息（主要指已知外力）的部分作为研究对象。1图3-4用截面法求内力举例例3-1等直杆在轴线上A、B、C三点受三力组成的平衡力系的作用：F1＝5kN，F2＝8kN，F3＝3kN。求1-1、2-2两横截面上的内力。解⑴按截开、替代、求算“三部曲”求N1①假想在1-1截面将杆件截开，留下左段研究，弃去右段，画分离体。②以轴力N1替代弃去部分对于留下部分的作用③列平衡方程求解：∑Fx＝0，F1－N1＝0得到：N1＝－F1＝－5kN⑵按同样的3个步骤求轴力N2∑Fx＝0，F1＋N2－F2＝0，得到：N2＝F2－F1＝8kN－5kN＝3kN。重要提示求内力的受力图中，约定俗成地均假设轴力为背离截面的方向。因为背离截面的轴力是拉力，使杆件伸长，材料力学中 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 为正值；而使杆件缩短的轴力为负值。假设轴力背离截面方向的好处是：假设对了，计算得到正值，符合“拉力为正”的规定；假设错了，计算得到负值，也符合“压力为负”的规定。要求读者解题时也如此假设。(本题求解结果，N1为负值，说明真实指向与图中所画相反，它使该杆段受压；N2为正值，说明真实指向与图中一致，它使该杆段受拉。)1二、应力单位面积上的内力称为应力。材料破坏与否，不直接取决于内力，而取决于应力的大小。方向与横截面垂直的应力，称为正应力，用希腊字母“σ”表示。图3-5轴向拉压横截面上内力均匀分布理论与实践 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ，在等直杆轴向拉压的条件下，横截面的内力是均匀分布的（3-1）式中，N为横截面上的轴力值，A为横截面面积。正应力σ的正负号规定与轴力N相同，拉伸时σ为正，压缩时σ为负。应力的基本单位是帕斯卡，简称帕，符号Pa：1Pa＝1N/m2。材料力学中的应力单位是兆帕（MPa），有时还用吉帕（GPa）：1MPa＝106Pa＝106N/m2＝1N/mm21GPa＝109Pa＝103MPa1图3-6例3-2图例3-2G1＝8kN，梁BC自重G2＝5kN，圆吊杆AB直径d＝30mm，方吊杆DC截面边长a＝10mm。求AB、CD两杆横截面上的正应力。解⑴先求AB、CD所受的拉力F1和F2由式（1），将F2值代入式（2），F1＝（8＋5－4.5）kN＝8.5kN。⑵求AB杆的轴力N1、CD杆的轴力N2从前面引例知，等直杆两端受拉时，横截面上轴力就等于拉力，取正值，即N1＝F1＝8.5kN＝8.5×103N，N2＝F2＝4.5kN＝4.5×103N⑶求AB、DC两杆横截面上的应力σ1、σ2AB杆横截面面积AB杆横截面上的应力CD杆横截面面积A2＝a2＝102mm2＝100mm2，CD杆横截面上的应力σ2＝N2/A2＝4.5×103N/100mm2＝45MPa。1三、拉压变形与应变虎克定律1.绝对变形图3-7拉压变形杆件受拉时纵向尺寸伸长，横向尺寸缩短；受压时，则纵向尺寸缩短，横向尺寸伸长。长度为l、直径为d的等直圆杆，两端受F力轴向拉伸后，长度变为l1，直径变为d1变形后的尺寸与变形前的尺寸之差，称为绝对变形。纵向和横向绝对变形：Δl＝l1－l，Δd＝d1－d2.相对变形——线应变线应变ε是变形量与原始尺寸的比值。（3-2）3.胡克定律杆件受轴向拉压，应力未超过某一限度时，绝对变形Δl与轴力N及杆件原长l成正比，与横截面面积A成反比。引入材料性能参数作比例系数：（3-3）式中E称为材料的拉压弹性模量，简称材料的弹性模量。弹性模量E表征了材料抵抗拉伸压缩变形的性能，是材料的刚性指标。1EA是杆件抵抗拉压变形能力的度量，称为杆件的抗拉（压）刚度。胡克定律的另一表达式σ＝Eε（3-4）胡克定律又可表述为：应力当不超过某一限度时，应变与应力成正比。材料的弹性模量E由实验测定。表3-1几种常用材料的弹性模量值（略）数量概念“心中有数”：让“死”数据“活”起来，不再枯燥“想把圆珠笔粗细的钢棒拉长千分之一，约需多大的力量？”“不是钢棒而是尼龙棒呢？两者能相差多少倍？”棒子的相对伸长为千分之一，即线应变ε＝10-3，钢材的E值E≈200×109Pa，对应的应力值σ＝Eε＝（200×109Pa）×10-3＝200×106Pa；圆珠笔横截面积约A＝π×（102/4）mm2≈80mm2＝80×10-6m2，需要的拉力，即轴力F＝N＝σA＝（200×106Pa）（80×10-6m2）＝16000N≈1600kgf。一千六百千克，要那么大的力量啊！若换成尼龙棒，只要拉钢棒力量的1/125，也就是12.8公斤力就行了！1第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能材料的力学性能：材料受力从小到大、直到破坏过程中的性状表现。一、低碳钢拉伸时的力学性能图3-8拉伸试验的标准试件标准试件圆截面直径d，“标距”有l＝10d，和l＝5d试件两端装卡在试验机卡头上，施加缓慢增加的拉力，直到把试件拉断为止。拉伸图：“F–Δl（拉力–伸长量）”的曲线图图3-9低碳钢拉伸时的应力应变图（F/A）-（Δl/A）曲线：σ-ε曲线即应力-应变曲线，亦称应力应变图。从σ-ε曲线得到的重要材料性能参数：1.比例极限σp，弹性极限σp材料服从胡克定律的最大应力值，称为材料的比例极限σp。弹性变形塑性变形弹性阶段弹性极限σeσp与σe很接近，有时不严格区分。12.屈服强度（屈服点）σsσ-ε图上bc对应这一段叫材料的屈服阶段。这段应力的最低值σs称为屈服极限（或屈服点），是材料的重要强度指标。国标GB/T700—1988中，碳素结构纲牌号就由屈服极限来定，如σs＝215MPa、235MPa、255MPa的碳素结构纲，牌号分别为Q215、Q235、Q255等。3.抗拉强度σbσ-ε曲线上cd段叫材料的强化阶段。其最高点d对应的σb是试件能承受的最大应力值，称为材料的抗拉强度，是材料的另一个重要强度指标。图3-10拉伸试验中的颈缩现4.延伸率δ和断面收缩率ψ颈缩现象延伸率（3-5）（l1－l为试件的轴向塑性变形）断面收缩率（3-6）（A为试件横截面原面积，A1为拉断试件断口的横截面面积。）延伸率δ和断面收缩率ψ是表征材料塑性的两个性能指标。一般称延伸率δ＞5%者为塑性材料，延伸率δ＜5%者称为脆性材料。1低碳钢的拉伸试验小结：①拉伸过程经历4个阶段：弹性、屈服、强化和颈缩，然后拉断。②通过σ-ε曲线获得6个性能参数：σp、σe、σs、σb、δ和ψ。二、其他某些材料拉伸时的力学性能图3-11几种塑性材料拉伸时的应力应变曲线1.几种没有屈服阶段的塑性材料2.灰铸铁图3-12灰铸铁拉伸时的应力应变曲线应力较小时，近似服从胡克定律。拉伸中变形很小时就突然断裂，属于脆性材料，强度极限σb是其唯一强度指标。抗拉强度低，不适于制作承拉构件。定义条件屈服强度σ0.2作为无屈服现象材料的强度指标。σ0.2是加载卸载后能残留0.2%塑性变形所对应的应力值，1三、低碳钢、灰铸铁压缩时的力学性能图3-13压缩试验试件和应力应变曲线a）压缩试件b）低碳钢c）灰铸铁1.低碳钢低碳钢压缩时σp、σe和E都和拉伸时相同。但压缩时不存在强度极限σb。2.灰铸铁灰铸铁压缩破坏是沿约45°的斜截面断裂。灰铸铁的抗压强度σbc灰铸铁价廉，吸震，耐摩，易浇铸成型，是制作较大型产品底座的常用材料。表3-2几种常用材料的力学性能（常温、静载）（略）数量概念：对比钢材，H68黄铜、杉木、PVC、ABS、尼龙6等材料性能差别如何？比抗拉强度σb高得多，约3～4倍，可见灰铸铁耐压，宜做承压件。1第四节拉压杆的强度一、许用应力与安全系数1.两类材料的极限应力构件丧失工作能力叫失效。引起构件失效的应力称为极限应力，用σj表示。塑性材料构件的极限应力是它的屈服极限σs（或σ0.2）。脆性材料的极限应力是它的强度极限σb。2.许用应力与安全系数构件在工作时允许产生的最大应力，称为许用应力，用[σ]表示。[σ]由σj除以大于1的系数n得到，系数n称为安全系数。塑性材料式中，ns是对应于塑性材料的安全系数，一般取ns＝1.4～1.8。脆性材料式中，nb是对应于脆性材料的安全系数，一般取nb＝2.0～3.5。构件失效危及安全或引起其他严重后果时，ns或nb的取值需适当加大。安全系数涉及诸多因素，较为复杂，力学计算是分析该问题的基础。1二、拉压杆的强度计算（3-7）式（3-7）称为杆件在轴向拉伸或压缩时的强度条件。式（3-7）中，N为危险截面上的轴力值，A为危险截面的面积。进行强度计算，首先要确定危险截面，即构件上产生最大应力的截面。强度计算有以下三类问题：⑴强度校核已知杆件尺寸、载荷和材料许用应力[σ]，校核是否满足强度条件：σ＝N/A≤[σ]⑵ 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 截面尺寸已知载荷、材料的[σ]，确定杆件的横截面面积A，要求（3-8）⑶计算许可载荷已知杆件尺寸、材料的[σ]，确定轴力和许可载荷，即（3-9）1图3-14例3-3图例3-3秋千4根尼龙绳直径d＝8mm，许用应力[σ]＝4MPa；吊重设为G＝600N。校核尼龙绳的强度。解尼龙绳横截面上的轴力N等于每根尼龙绳的载荷：尼龙绳横截面面积为A，横截面上的工作应力为对比可知，σ＜[σ]，因此结论为：尼龙绳的强度足够。图3-15例3-4图例3-4汽缸内径D＝140mm，缸压p＝0.6MPa，活塞杆材料材料许用应力[σ]＝80MPa，设计活塞杆直径d。解活塞杆的拉力即截面上的轴力N根据式（3-8）计算活塞杆横截面面积A1活塞杆的直径d一点说明得到“d≥12.1mm”结果，计算已经结束。但实际“设计”时要把算得的结果“圆整化”：取一个与计算结果接近的“圆整值”或“标准值”作为应用值。图3-16例3-5图例3-5木杆AB横截面积AAB＝10×103mm2，[σ]AB＝7MPa；钢杆BC横截面积ABC＝600mm2，[σ]BC＝160MPa。求端点B的最大许可载荷Q。解求两个许可载荷QAB和QBC，取小者。⑴计算AB、BC两杆的轴力NAB、NBCAB、BC都是二力杆，受的外力等于两杆的轴力NAB和NBC1第五节剪切和挤压强度一、抗剪强度与切应变1.剪切的实例与概念⑵根据式（3-9），计算两杆的许可载荷因QAB＜QBC，取其中较小者，结构的许可载荷为40.5kN。图3-17受剪切的铆钉剪切变形的受力特点是：作用在构件两侧面上外力的合力大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。1图3-18其他的剪切实例a）轮与轴间的键b）冲剪钢板2.抗剪强度的计算图3-17c中剪切面m-n上的作用力Q即剪切变形的内力，称为剪切力或剪力。由平衡条件知，剪力大小Q等于作用在铆钉侧面之力的合力F，方向则相反，剪力对应的应力称为切应力，以希腊字母“τ”表示。切应力τ的单位为帕（Pa）或兆帕（MPa）。实用中通常假设切应力τ在剪切面上是均匀分布的，于是有：（3-10）式中A为剪切面的面积。抗剪强度条件为（3-11）式中[τ]为许用切应力一般有塑性材料[τ]＝（0.6～0.8）[σ]，脆性材料[τ]＝（0.8～1.0）[σ]。13.切应变和剪切虎克定律图3-19切应变的概念剪切变形时，剪切面附近截面间发生错动。歪斜角度用“γ”表示，称为切应变或角应变，用弧度（rad）来度量。剪切虎克定律切应力不超过材料的剪切比例极限τp时，切应变与切应力成正比。τ＝Gγ（3-12）式中G称为材料的切变模量，是表证材料抵抗剪切变形能力的指标。线应变ε和切应变τ是度量材料变形的两个基本参量。各种材料的剪切弹性模量G值能在手册中查得，钢材的G＝80GPa。二、挤压强度的计算1.挤压的概念与实例图3-20挤压的例子局部接触面被压陷压塌压碎，称为挤压破坏，相应的受力形式则称为挤压。压缩是杆件整体受力形式，挤压是局部接触面上的受力形式。12.挤压强度的计算单位面积上的挤压力称为挤压应力，以σjy表示。通常以挤压面上的平均挤压应力σjy为计算依据，即（3-13）式中Pjy为挤压面上的挤压力，由外载荷求得。Ajy称为挤压计算面积，分两种情况作不同处理：①挤压接触面为平面时，按实际接触面积计算。②挤压接触面为半圆柱面时，以半圆柱面的投影面积计算。例如圆柱面的高度为t，直径为d，则取Ajy＝dt，图3-21挤压面面积的计算1挤压的强度条件为（3-14）式中[σjy]为材料的许用挤压应力。[σjy]与压缩许用应力[σ]的关系是：塑性材料[σjy]＝（1.5～2.5）[σ]，脆性材料[σjy]＝（0.9～1.5）[σ]。图3-22例3-6图例3-6钢板厚t＝4mm，剪切极限应力τb＝300MPa，欲将钢板冲出直径d＝25mm的孔，求冲剪力F。解剪切面面积需要的冲剪力提示解题运算过程中，养成采用基本单位的习惯⑴本题求解中，把题目里的“d＝25mm”换成“25×10－3m”写进算式；同样，把“t＝10mm”换成“10×10－3m”，把“τb＝300MPa”换成“300×106（N/m2）”等。即：在解题运算过程中，均采用基本单位。1”、这样做的好处非常突出、明显，因此很重要。这在以后会更加明显，因为除“长度”、“长度2”外，将更多地出现“长度3”、“长度4”之类的量纲，计算式里，还有、、等算式，若计算式里单位混杂，运算必难避免错误。⑵均采用基本单位进行运算，得到的最终结果也肯定是基本单位的，因此在所有的中间运算步骤里，各种量的单位都可省略不写，省事得多，算式又简洁清楚得多，只在计算结果处把单位写明即可。⑶涉及最多的两个基本量单位是长度单位m和力值单位N，包括它们的导出单位m2、m3、m4、N·m、N/m、N/m2等。此外，还有时间单位用s、功的单位用J、功率单位用W、角度单位用rad（弧度）等，也须注意。⑷个别不用基本单位运算的公式，如式（2-37）等，肯定会有特别提示。⑸强调采用基本单位，指的是“运算过程中”。至于计算最终结果的单位则酌情而定，例如应力单位要统一用MPa、较小的尺寸宜表示为mm，较大的力或重量宜用kN，较大的功率宜用kW等。例如板材的厚度写成6mm要比0.006m合于情理，棒材的直径写成22mm要比0.022m显得自然等。1图3-23例3-7图例3-7悬挂式垃圾箱由两侧金属销轴支承，垃圾箱重G＝400N。箱体塑料板厚t＝3mm，[σjy]＝6MPa。原设计销轴直径d＝5mm，使用后销孔扩展成椭圆形，如图3-23b所示。解释此现象，并重新设计销轴直径d1。解判断销孔的挤压强度够否，验算如下。⑴每销孔的挤压力Pjy＝G/2＝400/2＝200N，⑵挤压面积Ajy＝dt＝5×10-3×3×10-3＝15×10-6m2，⑶（平均）挤压应力对比：σjy＝13.3MPa＞[σjy]＝6MPa，箱孔处材料的挤压强度确实不够。⑷将箱孔直径加大到d1，令该处受挤压面积Ajy1满足以下条件：即实际可取圆整值d1＝12mm。1图3-24例3-8图例3-8木榫头t＝8mm，h＝18mm，b＝14mm，预设受力P＝450N，[τ]＝3MPa，[σjy]＝6MPa。⑴校核剪切与挤压强度，⑵如需调整尺寸，提出简单 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 。解⑴校核剪切强度与挤压强度①剪切强度剪切力Q等于预设载荷P：Q＝P，剪切面面积A：A＝th，切应力对比：τ＝3.13MPa＞[τ]＝3MPa，可见榫头剪切强度不够。②挤压强度挤压力Pjy等于预设载荷P：Pjy＝P，挤压面面积Ajy：Ajy＝tb，挤压应力对比：σjy＝4.02MPa＜[σjy]＝6MPa，可见榫头的挤压强度够。⑵调整尺寸将榫高增至h1＝20mm，增加剪切面积，验算切应力τ1如下：对比：τ1＝2.81MPa＜[τ]＝3MPa，可见榫头增高后可满足剪切强度要求。1第六节圆轴抗扭强度一.扭转的概念和实例图3-25扭转的概念杆件发生扭转变形的受力特点是：在与杆件轴线垂直的平面内，受到一对大小相等、方向相反的力偶作用。扭转变形的特点是：各横截面绕杆件轴线发生相对转动。杆件两横截面相对转过的角度称为扭转角，用“φ”表示。图3-26扭转的实例1二、圆轴扭转的内力——扭矩图3-27用截面法求扭转内力—扭矩设轮B上作用着主动力偶MB＝6kN·m，三从动轮上的阻力偶矩为MA＝3kN·m，MC＝2kN·m，MD＝1kN·m，用截面法求Ⅱ-Ⅱ截面的内力。假想将轴沿Ⅱ-Ⅱ截开，弃右段，留左段研究。该段受外力偶MA、MB的作用，能与它们平衡的只能是力偶，即Ⅱ-Ⅱ截面上的内力必为力偶。可见圆轴扭转时横截面上的内力是（作用面与轴线垂直的）力偶，称为扭矩，用T表示。求扭矩T2：得到T2＝MA－MB＝（6－3）kN·m＝3kN·m（1）如取右段研究：得到T2＝MC＋MD＝（2+1）kN·m＝3kN·m（2）可见：对同一截面的内力，无论取哪一段来研究，算得的结果相同。结论：任一截面上的扭矩，在数值上等于该截面（任意）一侧轴上所有外力偶矩的代数和。1图3-28例3-9图例3-9主动轮A输入功率PA＝40kW，三轮输出功率为PB＝18kW，PC＝PD＝11kW，轴转速n＝200rpm。有a、b两种主、从动轮布置形式，⑴求传动轴各段的扭矩；⑵对比传动轴扭矩大小，指出合理的布置形式。解⑴求作用于传动轴上的外力偶矩由式（2-37）⑵传动轴各段中的扭矩值对布置形式a，由图c写出AB段扭矩TAB＝MA＝1910N·m，由图dTBC＝MA－MB＝（1910－860）N·m＝1050N·m，由图eTCD＝MD＝525N·m。对布置形式b，同样可直接写出各段的扭矩：TAB＝860N·m，TBC＝1050N·m，TCD＝525N·m。⑶对比两种布置形式图a情况下最大扭矩TAB＝1910N·m，而图b情况下最大扭矩只有TBC＝1050N·m。说明图b的布置形式更合理。可见，主动轮置于几个从动轮的中间位置，是合理的布置形式。1【讨论注意表示内力的专用符号】有的力偶用M表示，如MA、MB、MD等；而有的却用T表示，如TAB、TBC、TCD等。若问：“都是力偶，省点事，统一用一种符号行吗？”或：“都是力偶，用M的改用T，或用T的改用M，行吗？”回答是：不行!为什么？因为“M”和“T”表示了概念上有根本区别的两种力偶：“M”表示作用于构件的外力偶，常称为旋转力矩或转矩；而“T”表示构件截面上的“内力”，扭转变形下的内力特称为“扭矩”。材料力学中对于几种不同变形形式的内力都规定了专用名称和专用符号，避免与外力混淆，以利于概念的廓清。此问题在轴向拉压变形和剪切变形中早已存在。例如都是沿杆件轴线方向的力，凡外力就用符号“F”表示，而内力（轴力）必用符号“N”表示等。到本节为止，已经学习过的内力种类及其专用符号如下：变形形式轴向拉压剪切扭转内力名称及符号轴力N剪切力Q扭矩T应力种类及符号正应力σ切应力τ切应力τ11三、圆轴扭转的应力1.横截面上的应力及其分布图3-29圆轴扭转时的应变和应力圆轴扭转时横截面上应力及其分布，应据变形情况推断：轴向正应变ε＝0，可知不存在正应力。因横截面以绕轴旋转形式互相错动，发生了切应变，所以圆轴扭转时横截面上的应力是切应力。变形中横截面上任一点的切应变γ与该点到轴心的距离ρ成正比：γ∝ρ。根据剪切虎克定律τ＝Gγ可得结论：圆轴扭转时横截面上任一点的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比：即τρ∝ρ。切应力的方向与半径垂直，这是该点材料发生相对错动的方向。2.圆轴扭转时横截面上任一点的切应力（3-15）式中τρ为横截面上离圆心距离为ρ的点的切应力值，1T为该横截面上的扭矩值，Iρ称为横截面对圆心的极惯性矩。极惯性矩Iρ是一个与截面的尺寸和形状有关的几何量，表证截面的抗扭能力。Iρ的单位是m4、cm4或mm4。3.圆轴扭转时的最大切应力τmax圆轴半径为R，在圆轴表面即ρ＝R处，切应力最大,以τmax表示，则式中的Iρ和R都取决于截面几何尺寸，把两者合成为一个量，令（3-16）Wn称为抗扭截面模量（又称抗扭截面系数），直接表证截面的抗扭强度。Wn的单位是m3、cm3或mm3。圆轴扭转时横截面上的最大切应力：（3-17）1图3-30非圆截面杆件的扭转式（3-15）和式（3-17）只适用于实心圆轴和圆管弹性变形范围内扭转应力计算。不适用于非圆截面杆件的扭转。5.实心、空心圆截面的极惯性矩Iρ和抗扭截面模量Wn⑴直径为D的圆截面极惯性矩（3-18）抗扭截面模量（3-19）⑵外径为D、内径为d的圆环形截面极惯性矩（3-20）抗扭截面模量（3-21）式中α为圆环截面内径与外径的比值：α＝d/D。1四、圆轴扭转的强度计算圆轴扭转的强度条件（3-22）式中T为危险截面上的扭矩值，Wn为危险截面的抗扭截面模量许用切应力值[τ]的参考数据可在有关设计手册中查取。已知外载荷和[τ]，设计圆轴直径D，或圆管外径D和内径d的公式：实心圆轴直径D（3-23）空心圆轴外径D（3-24）图3-31例3-10图例3-10方向盘直径D＝520mm，驾驶的最大切向力F＝40N。空心转向轴外径32mm、内径24mm，求转向轴内的最大切应力τmax。解本题转向轴横截面上的扭矩T就等于外力偶矩M：T＝M＝FD＝40N×0.52m＝20.8N·m1空心圆管的抗扭截面模量最大扭转切应力图3-32例3-11图例3-11传动轴转速n＝500rpm，主动轮Ⅰ输入功率PⅠ＝3kW，从动轮Ⅱ、Ⅲ输出功率PⅡ＝2kW，PⅢ＝1kW，[τ]＝30MPa，确定轴的直径D。解⑴求危险截面上的扭矩T判断Ⅱ-Ⅰ段轴的横截面是危险截面，其扭矩值T⑵根据强度条件确定受扭圆轴的直径D由式（3-23）1图3-33例3-12图例3-12汽车传动轴AB管外径D＝90mm，壁厚t＝2.5mm，传递的最大转矩M＝1.5kN·m，[τ]＝60MPa。⑴校核该传动轴的扭转强度；⑵改用实心圆轴，求扭转强度不变的直径DS；⑶比较空心轴和实心轴的重量。解⑴校核传动轴的扭转强度横截面上最大扭矩T等于它传递的最大转矩M，即T＝M＝1.5kN·m，该轴内、外径之比可得对比：τmax＜[τ]，可见传动轴AB满足扭转强度要求。⑵计算同等抗扭强度的实心圆轴直径DS要求实心圆轴横截面的抗扭截面模量WnS和原圆管截面的Mn相等，即得到1⑶空心轴重量G和实心轴重量GS的对比两轴的材料和长度相同，两者重量之比等于它们的横截面面积之比：五、空心传动轴的合理性图3-34空心圆轴受扭的合理性在例3-12中，采用同等抗扭强度的空心管，重量降到实心轴的31%，可有效节省材料，减轻自重，因此汽车、钻机等产品中一般都采用空心传动轴。空心轴受扭在力学上的合理性，可从扭转切应力在横截面上的分布情况得到说明：空心轴轴心附近的材料但圆管壁厚不能过薄，那样受扭时会产生皱折（“失稳”）而失效。另外，开口圆管的抗扭能力比闭口圆管低很多。远不能发挥其应有效能，而空心圆管，则所有材料都接近获得充分的利用。1第七节梁的弯曲强度（一）一、弯曲的概念与梁的基本形式1.弯曲的实例和概念图3-35弯曲的实例弯曲变形的受力特点：在通过杆轴线的平面内，受到垂直于轴线的外力（横向力）、或力偶的作用；使杆件的轴线由直线变成曲线（或原曲线曲率发生变化）。梁只发生弯曲变形或以弯曲变形为主的构件图3-36平面弯曲的概念横截面的对称轴对称轴y与梁轴线x构成纵向对称面平面弯曲作用在梁上的外力和力偶都在纵向对称面内，变形后梁的轴线将是该平面内的一条曲线。12.梁的基本形式根据约束的主要力学特性，将梁归纳为三种基本类型。图3-37梁的基本形式及其实例⑴简支梁一端可简化为固定铰支座，另一端可简化为活动铰支座的梁⑵外伸梁简支梁有一端或两端伸出支座之外者⑶悬臂梁一端为固定端、另一端自由的梁梁的计算简图跨度梁支座间的距离1二、梁的弯曲内力分析强度问题的3步骤：①求内力，②求构件内最大应力，③强度计算。1.弯曲内力——剪力Q和弯矩M图3-38梁的弯曲内力——剪力和弯矩用截面法分析简支梁的弯曲内力。设截面1-1将梁截开，取左段研究。A处力RA将驱使该段梁向上移动。因该段梁处于平衡状态，可知1-1截面上必产生一与RA等值反向的力Q。又RA和Q组成的力偶将驱使该段梁顺时针转动,可知1-1截面上必产生一等值反向力偶M维持该段梁的平衡。力Q与截面相切，称为剪力。力偶M使梁的轴线曲率发生变化，称为弯矩。结论：梁的弯曲内力有与横截面相切的剪力Q和使梁的轴线曲率发生改变的弯矩M。若取梁的右段研究，得到剪力Q′和弯矩M′，它们是截开的左段对右段的作用。12.剪力Q和弯矩M的计算前面3种强度计算都以计算内力为基础，分析弯曲强度也要先计算其内力。仍以图3-38中的简支梁为引例。先用求出支座反力RA和RBRA＝bF/L，RB＝aF/L。再取图3-38c中左段梁研究，计算弯曲内力剪力Q和弯矩M由，得到（1）由得到（2）若取右段梁研究，同样可得（3）（4）本引例说明，计算弯曲内力的步骤是：①由外载荷求支座反力；②用截面法，由载荷和支座反力，列平衡方程求剪力和弯矩。从引例知：横截面上剪力，等于其左段或右段梁上所有外力的代数和；横截面上弯矩，等于其左段或右段梁上所有外力对该截面形心力矩的代数和。13.剪力与弯矩的正负规定图3-39剪力与弯矩的正负规定⑴剪力使分离体顺时针转动为正；反之为负。⑵弯矩使分离体发生向下凸的变形（像菜盘子盛着菜）为正；反之（菜盘子倒放着空水的状态）为负。﹝关于弯曲内力正负号的两点说明﹞①对钢材、塑料等塑性材料的梁，弯矩正负在物理上并无区别。这类梁的强度仅取决于弯矩的绝对值。因此，强度计算中所说的“梁内最大弯矩”，对塑性材料梁，俗成约定地指绝对值最大的弯矩，即但脆性材料的抗拉、压强度不同，弯矩正负对梁强度的影响可能不同。②梁受有几种外载荷时，用“叠加法”计算梁内弯矩是较为简便的。即先分别计算出各单一载荷所产生的弯矩，然后求其代数和。由于是求代数和，同号弯矩累加，异号的弯矩互相消减。制定弯矩的正负号规则，从实用说主要为了要求代数和。14.弯矩图剪力值和弯矩值通常随横截面位置而变化，即Q和M是横截面位置的函数。以距梁一端的距离x表示截面的位置，则剪力值Q是x的函数：Q＝Q（x），这个关系式称为剪力方程。相应地，M＝M（x）则称为弯矩方程。图3-40例3-13图剪力图沿梁的轴线（横坐标）表示Q＝Q（x）的图像。弯矩图沿梁的轴线（横坐标）表示M＝M（x）的图像。除跨度很小的情况以外，绝大多数的梁，弯矩是其强度、刚度的决定因素。例3-13悬臂梁AB长L，在自由端A受集中力F作用。⑴求梁上任意截面的剪力和弯矩，画弯矩图。⑵求梁内的最大弯矩。解⑴求任意截面上的剪力、弯矩、画弯矩图建立坐标系yAx，画出悬臂梁AB的计算简图。假想离A端x的Ⅰ-Ⅰ截面处将梁截开，留左段研究。列平衡方程（以截面形心C为矩心），求Q和M：得到任意截面上的剪力Q＝F。得到任意截面上的弯矩（1）1根据弯矩方程式（1）画出弯矩图。弯矩M与x成正比，因此弯矩图沿x轴是一条斜直线；整段梁为“向上凸”的变形，故弯矩为负值。⑵求梁内的最大弯矩弯矩绝对值与x成正比，可见在x＝L、即梁的固定端B，有最大弯矩值：﹝关于绘制弯矩图的两点说明﹞⑴按通行习惯，弯矩图与梁的结构简图对齐，置于结构简图的下方。⑵应在弯矩图上标出：①最大弯矩值，②弯矩图转折处的弯矩值，③最大弯矩值及弯矩图转折处所在截面的位置。1图3-41例3-14图例3-14径向力F通过轮毂传给齿轮轴AB。画梁AB的弯矩图。解⑴计算梁的支座反力。⑵列弯矩方程有集中力F作用，AC和CB两段梁的弯矩方程不同，需分列。①AC段（1）②CB段（2）⑶画弯矩图弯矩M1和M2分别是x1和x2的一次方程，图形都是一条斜直线，只要确定两个点就可画出。两条斜直线，即可分别画出。画出全梁的弯矩图，并在图上C截面处标明最大的弯矩值Mmax＝abF／l。从例3-13和例3-14的弯矩图可以看出：⑴某一段梁上没有载荷作用，则该段梁的弯矩图是一条直线。⑵集中力作用之处，弯矩图发生转折；且最大弯矩常发生在有集中力作用的某一截面上。1图3-42例3-15图例3-15火车轮轴可简化为外伸梁，尺寸a、l如图注，画火车轴的弯矩图。解⑴画计算简图（图3-42b）⑵求出支座反力RA＝RB＝F⑶画弯矩图没有载荷作用的三段梁，弯矩图是三条直线。A、B处有集中力，弯矩图直线转折。可知只要算出几个特征截面的弯矩值，就能画出梁的弯矩图，可免除分段列弯矩方程。C截面：x＝0，MC＝0A截面：x＝a，MA＝－FaB截面：x＝a＋l，MC＝－F（a＋l）＋RAl＝－FaD截面：x＝2a＋l，MD＝0按比例作出这四个截面的弯矩值点，连成折线，即此外伸梁的弯矩图。（下面两个例题，作弯矩图的方法和前面三个例题相同，不做详细解释。）1图3-43例3-16图图3-44例3-17图例3-17简支梁跨度l，均布载荷集度q，分析载荷与弯矩图的关系。例3-16简支梁C点作用着集中力偶M，分析载荷与弯矩图间的关系。分析①最大弯矩在力偶M作用的C截面。其值为Mmax＝Ma/l。②AC段和CB段上无载荷，这两段梁的弯矩图是直线，③M作用处弯矩值有突变，变化量等于此处的集中力偶值M。区别：“集中力点弯矩图转折”和“集中力偶点弯矩值突变”不同。分析①最大弯矩在梁的正中截面，其值为Mmax＝ql2/8。②均布载荷梁段弯矩图为二次抛物线，可依三个弯矩值画出。③梁的结构和载荷对正中截面对称，弯矩图也对正中截面对称。15.用叠加法画复杂载荷下梁的弯矩图梁受几种载荷共同作用，若最大应力不超过材料比例极限，可用叠加法画复杂载荷下的弯矩图。即分别画出各简单载荷的弯矩图，然后叠加。因各种单一载荷的弯矩图可在手册中查到，“查表然后叠加”于实用很是方便。图3-45例3-18图例3-18画简支梁AB的弯矩图。解梁受两种简单载荷作用，用叠加法解很方便。①简支梁受一集中力作用，弯矩图见图3-41e；②简支梁受均布载荷作用，弯矩图见图3-44b。因此，若梁内最大应力不超过材料的比例极限，两种载荷作用的弯矩图可直接叠加而成，如图。叠加所得弯矩图中，最大弯矩出现的截面，必是各单一载荷弯矩图上最大弯矩所在截面之一。互相之间，需要计算对比确定最大者。1第八节梁的弯曲强度（二）一、梁的弯曲应力内力→应力及其分布规律→最大应力→强度计算除跨度很小的情况外，一般梁的强度主要取决于由弯矩引起的正应力。横截面上只有弯矩、没有剪力的梁段，其受力状态称为纯弯曲。纯弯曲梁的正应力计算公式，能推广应用于截面上存在剪力的一般情况。图3-46梁的纯弯曲变形1、纯弯曲横截面上的应力及其分布研究方法观察研究变形→应变的分布规律—（虎克定律）→应力分布规律观察图3-46所示变形情况（略）看出：①横向线变形后仍为直线且仍与纵向线垂直，但发生了相对转动。②纵向直线变成弧线，凹边缩短，凸边伸长。可知：梁变形后横截面仍为平面，仍垂直梁轴线。从凹边缩短、凸边伸长推断：中部必存在一薄层既没缩短也没伸长。1图3-47弯曲变形的中性层弯曲变形中纵向长度不变的，称为中性层；中性层与横截面的交线称为中性轴。中性轴通过横截面的形心。中性层以上，离中性层越远，缩短得越多；中性层以下，离中性层越远，伸长得越多。即材料的纵向应变与到中性层的距离成正比，中性层以上线应变为负，中性层以下线应变为正,中性层处线应变为零。图3-48横截面上弯曲正应力的分布于是，根据胡克定律得出结论：梁弯曲时横截面上各点正应力值σ，与该点到中性轴的距离y成正比：σ∝y。中性轴处的应力为零，梁的凹边顶层压应力最大，凸边底层拉应力最大。2.横截面上应力与弯矩的关系弯矩M是截面上正应力σ的合力，两者互为因果，即：⑴每一点的正应力值σ都与弯矩M成正比：σ∝M；⑵以中性轴为分界，一侧为压应力，另一侧为拉应力，是拉是压由弯矩的转向决定。13.梁弯曲时横截面上任一点的正应力（3-25）式中σ为横截面上任一点的正应力，y为所论点到中性轴的距离，M为横截面上的弯矩，Iz为横截面对中性轴（z轴）的惯性矩，与截面尺寸和形状有关，表征截面的抗弯能力。Iz的单位是m4、cm4或mm4。4.梁弯曲时的最大正应力σmax离中性轴最远的点与中性轴距离为ymax，此处正应力为最大：（3-26）把Iz和ymax合成为一个量（3-27）Wz称为抗弯截面模量（抗弯截面系数），Wz的单位是m3、cm3或mm3。得到σmax的计算公式（3-28）1对于跨度l与截面高度h之比（l/h）＞5的梁，即使横截面上存在剪力，上两个公式仍可适用。图3-49对中性轴不对称的截面若截面上、下最远点离中性轴的距离y1和y2不等，则对应的Wz1和Wz2不相等，相应的最大拉应力σ拉max和最大压应力σ压max的绝对值也不相等。5.截面惯性矩和抗弯截面模量各种型材如角钢、槽钢、工字钢等，它们的Iz和Wz能从手册中查出。常见梁截面的惯性矩Iz和抗弯截面模量Wz的计算公式列于表3-3中。（略）四、梁的弯曲强度计算在梁的弯曲中，内力弯矩通常随位置而变化。对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面。若不是等截面、而是变截面梁，就需要综合弯矩和抗弯截面模量两个因素，才能找到危险点，算出危险点应力，再进行强度计算。梁弯曲的强度条件（3-29）1图3-50例3-19图例3-19货架可视为两根矩形截面的木简支梁，跨度L＝1.6m，截面b＝40mm，h＝60mm，最大承重为全长均布载荷q＝800N/m。[σ]＝12MPa。校核弯曲强度。解⑴确定危险截面，计算Mmax木档为等截面梁，弯矩最大的正中截面是危险截面。⑵计算梁截面的抗弯截面模量Wz由表3-3，对于矩形截面，⑶进行弯曲强度校核由式（3-28）对比得σmax＝10.7MPa＜12MPa＝[σ]，木档满足强度要求。1图3-51例3-20图例3-20游乐设施的钢圆轴可视为外伸梁，尺寸及受力如图示，人的体重设定值G＝1200N,取[σ]＝60MPa，设计轴的直径d。解⑴判断危险截面，计算Mmax画出该等截面梁的弯矩图，可知C为危险截面，该截面的弯矩为Mmax＝1200N×1.2m＝1440N·m。⑵设计轴的直径d由表3-3查得实心圆截面的抗弯截面模量Wz≈0.1d3，强度条件为求得1图3-52例3-21图例3-21悬臂梁长L＝1.5m，两条不等边角钢缀接而成，[σ]＝160MPa，单条角钢的抗弯截面模量Wz单＝37.33cm3，求悬臂梁自由端B的许可载荷P。解⑴确定危险截面及其弯矩M危险截面在固定端，弯矩为M＝PL。⑵求许可载荷值P由强度条件得到，即。两根角钢相缀，抗弯截面模量加倍：于是有。﹝一点说明﹞角钢截面对于中性轴是不对称的，本题中的角钢上、下边缘到中性轴的距离不等，分别为83.6mm和41.4mm（图中已标出）。弯曲时与中性轴距离大的点（图3-52中下尖角的点）是危险点，应力大。本例题中给出的抗弯截面模量数据，为对应于此危险点的数据。1五、提高梁承载能力的方法1.选用梁的合理截面形状图3-53材料用量相同承载能力迥异“W”优于“╔╗”优于“═”Wz大，σmax小，梁的承载能力就能提高。现代建筑中，常采用“V”形折板或“～”形波纹板构件。表3-4几种抗弯截面模量相等的截面面积对比（略）工字钢抗弯性能为何优越？——“物尽其用”图3-54矩形到工字形的“演变”设计人员不但要会定性地、还应该能定量地把握设计对象。例如矩形截面的抗弯截面模量Wz＝bh2/6说明：截面宽度增加到2、3、4、…倍，其承载能力也仅提高到2、3、4、…倍。而截面高度增加到2、3、4、…倍，则承载能力将提高到22＝4、32＝9、42＝16、…倍，效果大得多。12.合理配置载荷和支座图3-55载荷位置不同最大弯矩值改变图3-56分散载荷提高梁的承载能力合理配置载荷位置的实例简支梁在跨度正中受载荷F作用，最大弯矩为Mmax＝Fl/4；载荷移到离支座l/6处，则Mmax＝5Fl/36，后者仅为前者的56%左右。分散载荷降低Mmax的实例将跨中集中力F分散成两个力F/2,作用在离左右支座l/3处，则Mmax＝Fl/6，降到了原来的2/3。1图3-57合理安置支座降低梁内最大弯矩合理配置支座位置的实例全跨度均布载荷作用的简支梁，最大弯矩为Mmax＝ql2/8；两端支座内移0.2l成外伸梁，则Mmax＝ql2/40，降到了原来的20%！力学合理、视觉轻巧的玻璃茶几龙门吊车，梁的支承构架内移图3-58力学合理富于美感的“鱼腹梁”3.采用变截面梁变截面梁等强度梁截面尺寸随弯矩变化，截面上σmax接近相等。力学合理富于美感1第九节组合变形强度问题简介构件在外力作用下，同时发生两种或多种基本变形，称为组合变形。一、弯曲与轴向拉压组合变形1.实例和概念两种常见类型：斜拉伸（或斜压缩）和偏心拉压。图3-59弯拉组合变形的实例和概念杆件在自由端截面形心受F作用，力F与杆件轴线成φ角，则杆件产生斜拉伸变形。2.强度计算方法轴向拉压和平面弯曲两种变形中，横截面上都产生正应力。若总的最大应力不超过σp，每一点的应力值是两种变形所引起应力的代数和。图3-59所示情况下，中性轴以上的拉应力因叠加而加大，中性轴以下因消减而减小，全杆危险点在固定端截面上边缘的A点。1该点应力值为σmax＝σl＋σwmax上式中，σl＝F1/A，横截面上轴向拉应力值σwmax＝M/Wz＝F2L/Wz，横截面上弯曲正应力值强度条件为σmax＝σl＋σwmax≤[σ]（3-30）图3-60例3-22图例3-22拆卸爪杆许用应力[σ]＝180MPa，根据强度确定最大拆卸力F。解⑴受力及变形分析爪杆的受力称为偏心拉伸。⑵强度计算拉伸正应力σl＝N/A＝（F/2）/A＝F/2A，爪杆上危险点为C。截面Ⅰ-Ⅰ的弯矩M＝（F/2）×32×10-3N·m，抗弯截面模量Wz＝（17×262×10-9/6）m3，危险点C弯曲应力：σwmax＝M/Wz，代入强度条件式（3-30）σmax＝σl＋σwmax≤[σ]，1将数据代入上式上式中F为唯一未知量，计算后得到：F＝18.98×103N≈19kN。二、弯曲与扭转的组合变形1.实例和概念图3-61弯扭组合变形的实例和概念圆轴B端固定，自由端A有半径R的圆盘，圆盘外缘作用着力F。将力F向轴心A简化，得到一力值为F通过A点的力，和一个顺时针力矩M＝FR。前者使AB成为悬臂梁；后者使AB受扭转，扭矩T＝FR。可见AB杆同时发生弯曲和扭转，称为弯曲和扭转的和扭转的组合变形，简称弯扭组合变形。2.强度计算简介弯曲正应力和扭转剪应力方向不同，不能简单地叠加。对塑性材料的弯扭组合变形，定义了相当应力σxd：（3-31）式中，M为危险截面的弯矩，T为该截面的扭矩，Wz为该截面的抗弯截面模量。1圆轴弯扭组合变形的强度条件（3-32）图3-62例3-23图例3-23长l＝1.6m的轴AB用联轴器和电动机联接，AB的中点带轮重W＝100N，直径D＝0.4m，带的拉力F＝200N，2F＝400N。[σ]＝50MPa。设计轴径d。解（只给步骤和结果）⑴计算支座反力RA、RB，计算带轮紧边、松边拉力形成的转矩Me，画轴AB的计算简图。⑵画出弯矩图、扭矩图如图c、d所示。判定危险截面在轴的中点。算出该截面的弯矩M和扭矩T：M＝280N·m，T＝40N·m。⑶根据强度条件式（3-32）算出AB轴的最小直径d＝38.4mm。1第四章构件的刚度、压杆稳定和动载荷问题第一节构件的变形与刚度一、轴向拉压杆的变形计算对轴向拉压变形的参量规定伸长变形量Δl为正，缩短变形量Δl为负。若横截面面积A和轴力N都是常量，则Δl＝Nl/EA。若A和N是沿杆件轴线的变量：（4-1）图4-1例4-1图例4-1木柱直径d＝150mm，已知P1＝