WTDstandardizationoffice【WTD5AB-WTDK08-WTD2C】数列找规律万能公式数列找规律公式数列找规律用拉格朗日插值。拉格朗日“提出”了这种方法,所谓的插值,就是“插”“值”,就是指找出一个通过给出离散数据点的函数。即,数列中给出数据可以表示为在坐标系上的点,x坐标就是第几项,y坐标就是该项的值。比如说,“1,3,7,8,0,5,9,2,4,6”这个数列可以表示为:在Mathematica中用几行简单的代码即可做到:接下来,我们找出这些点都在哪一个函数上面,接着下来把下一项的项数带进去,就得到了下一项的值——这实际上就是通项公式!事不宜迟,马上来试一试!首先,我们先来看看拉格朗日插值公式是怎么样的:好吧,我知道
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生又看不懂了。那下面我们先试一一个简单的数列:1、8、27…那下一个是什么呢?首先,这表示存在一个函数。当自变量分别为1、2、3时函数值为1、8、27。于是我们可以设一个函数:接下来就是关键的一步了!小学生可以不懂这是怎么回事。但有什么问题?考试会用就行了(如果你不介意再解释一下一些其他的问题...比如未知数、自变量和分数的运算)。容易看到,整个式子是三项的和,每一个点都有一项。对于每一个单独的点来说,分子是这一点的函数值乘上x与其他点的自变量的差。而分母就是该店的自变量和其他点的自变量的差的积。于是,一个通项公式就出来了。是于是我们迫不及待地把x=4带进去,得到58.至此,大功告成。等等,什么答案写着是64?别管了,肯定是盗版书印错答案了。有什么可能拉格朗日大牛会错呢?什么,我们的规律不对?正确的是y=x^3?好的,让我看看。嗯…难道是拉格朗日错了?但是前面我们的估算也是没问题的啊。再仔细看一下坑爹的高数课本,才发现原来是我们一直搞错了。如果我们给的是n个点,那么拉格朗日给出的函数将会是(n-1)次的。这不坑爹吗…用公式之前还得想清楚这个函数是几次的,而且如果是更高次数的还没办法加上点去求(更别说斐波那契数列这样的用递归定义的数列了)。这就意味着,就算是1、2、3、4、5、6…这样的数列,拉格朗日插值法在耗尽你大量的考试时间去求出通项公式以后,还会给出一个超级坑爹的答案!那么这个方法还有什么用!别急,前面的计算都是为后面做铺垫的。现在才是主要内容。无论是分布得多么奇怪的点,拉格朗日插值法总能给出一条经过这些点的函数图象。也就是说,就算是1、2、3、4、5、6、(1568)这样明显不靠谱的答案也是“有规律的”。因为你总可以设一个六次多项式,找出这个数列的通项公式。所以说:1、3、5、7、9、(1598),是对的3、1、4、1、5、9、2、(999),是对的1,1,2,3,5,7,(8989),是对的2,4,6,8,(5),是对的如果老师斗胆把你的答案批错的话,你大可以把这篇文章打印出来,然后跟老师说:“这个空填任何数都是可以的,因为你总可以设一个n次多项式,然后……”