§1.4常用的分布及其分位数卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(O,1)时，z二》Xj的分布I称为自由度等于n的力2分布，记作Z〜力2@),它的分布密式中的厂彳=f^°°w2eudu,称为Gamma函数，且厂(1)二1,I2丿寸斗二"。力2分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与ZI2丿相互独立，且Y〜龙2(坊,Z〜力2(e),则Y+Z〜力2(炉"讥证明：先令X1、X2、…、Xn、Xn+l、Xn+2、・・・、Xn+m相互独立且都服从N(O,1),再根据力2分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令Y二Xf+X汁・・+X爲Z二X/+X爲+…+X；Y+Z二X?+X汁…+X咋+X和+出+2+・・・+X：即可得到Y+Z〜力2(力+巾)。2・t分布若X与Y相互独立，且X〜N(O,1),Y〜Z2(/2),则Z二x/J］的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z〜t(n),它的分布密度"+⑴-p丽舄请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,l)的密度曲线几乎重叠为一。这时,t分布的分布函数值查N(0,l)的分布函数值
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便可以得到。3.F分布若X与Y相互独立，且X〜力2(功，丫〜Z2(m),Y/V则Z二-/-的分布称为第一自由度等于力、第二自由度等于巾n/m的F分布，记作Z〜F(力,巾)，它的分布密度P⑵二/、(\rnrmJJ\2丿Jz2,z>0n+ni0,(m+nz)2其他〃+1To请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z〜F(n,ni)时，?〜F(qr)。4・t分布与F分布的关系7若X〜t(Q,则Y二X「〜F(lq)。宀rl证：X〜t(功，X的分布密度p⑶二二,Y二X2的分布函数F丫®二P{Yv力二p{X2v力。当庐0时，PY(y)=0,py®二0；当户0时，F©二P{・7?vXvC}二匸秽〃(兀)d兀二2j；'p(Qdx,n--1y2T+n20YX的分布密度P◎二市可・[2)(2)⑺+刃2与第一自由度等于1、笫二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y二X，〜F(lq)。为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：4.常用分布的分位数1)分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即0C分位数、上侧0C分位数与双侧a分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F(R,实数oc满足OVoc＜1时，a分位数是使P{Xv巫}=F(j%)=a的数巫,上侧a分位数是使P{X＞入}=1-F(X)=a的数入,双侧oc分位数是使P{XO1}=F(X1)二0・5a的数入1、使P{X＞入2}=1-F(X2)二0・5a的数入2o因为1_F@)=a,F(X)=l-a,所以上侧oc分位数入就是1-a分位数-x-i-a；F(11)二O・5oc,1-F(12)二O・5oc,所以双侧oc分位数入1就是O・5oc分位数xo.5a，双侧oc分位数入2就是1-O・5oc分位数丙一0・5a°2)标准正态分布的oc分位数记作匕,0.5a分位数记作虫.5a,1-O・5oc分位数记作Ui_o.5a。P{XVg_o5a}=Fo>1(U_o.5a)=1-0.5a。根据标准正态分布密度曲线的对称性,当oc二0.5时，匕二0;当a<0.5时，巴<0。巴二一q_a°如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,则先查出5_a>然后得到巴二-Uj_a°论述如下：当X〜N(0,l)时，P{X
1(%)=a,P{XV}―Fo>1(W_a)=1-OC,P{X>q_a}=1-Fo>1G_a)=a>故根据标准正态分布密度曲线的对称性，巴二-07。仞］如,uo.io二一uo.9o二一1・282,U0.05二一U0.95二_1・645,U0.01二_口0.99二_2・326,U0.025二一U0975二一1・960,U0.005二一U0.995二一2.576。又因为P{|X|Vuj_05a}=l-a，所以标准正态分布的双侧0C分位数分别是Ui_o.5a和-q_0.5oc。标准正态分布常用的上侧0C分位数有：a=0.10,u090=1.282;oc—0.059u0.95=1.645；oc—0.01、u.o.99二2.326;a=0.025,u0.975=1.960;a=0.005,u0995二2.576。3)卡平方分布的a分位数记作力2幺(n)oZ2a(n)>0,当X〜力2@)时，P{X力，0.995(4)二14・9。4)t分布的oc分位数记作Q(n)o当X〜t(n)时，P{X30时，在比较简略的表中查不到匕(n),可用vfec作为E@)的近似值。XoX5)F分布的oc分位数记作兔@,m)。兔(力，zn)>0,当X〜F(q,zn)时，P{X<兔(力，/n)}二oc。另外，当a较小时，在表中查不出Fq(n,ni),须先查Fi_a(m,n),再求Fa(n9ni)--X。论述如下：F[_a(加，n)当X〜F(m,功时，P{XVF—(血,功}二l—oc,TOC\o"1-5"\h\zP{—>1}=l-a,P{-<1}=a,XXFi_q(加,n)f'XF,n)5又根据F分布的定义，丨〜F(n,ni),P{^P{X<9.01}=0.95,Y〜F(3,5),{Y<5.41}=0.95,试写出有关的分位数。&设爼、X?、…、Xg相互独立且都服从N(0,0・09)分布，试求P{》x；>l・44}。/习题答案：1.©2.73,②21.0。2.①一1.860,②1.782。①占,②3.37。4.1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双侧0.05分位数。5・2.132为上侧0.05分位数,-2.132与2.132为双侧0.1分位数。6・0.711为上侧0.95分位数,9.49为上侧0.05分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。7.9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，着与5.41为双侧0.1分位数,丄与9.01为双侧0.1分位数。8.0.1o
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