3.3.2简单的线性
规划
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问题(一)【学习目标】1.了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求目标函数的最大值、最小值.3.训练数形结合、化归等常用思想，培养和发展数学应用意识.y的值，使z＝x＋3y取到最大值或最小值，其中__________为可行域，___________为线性目标函数.z＝x＋3y图3-3-2线性规划问题可行解可行域最优解【问题探究】1.z＝x2＋y2－3是线性目标函数吗？
答案
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：不是，因为x，y的系数是2.2.线性目标函数的最优解只有唯一一个吗？答案：不是，最优解可能有无数个.题型1线性目标函数的最值最大值和最小值.思维突破：把z看成直线在y轴上的截距，先画出可行域，再求z的最值.解：作出不等式组所表示的可行域，如图D11.图D11设直线l0：2x＋y＝0，直线l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距.显然，当直线越往上移动时，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直线越往下移动时，对应在y轴上的截距越小，即z越小.本题中，z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，z代表直线在y轴上的截距，所以越向上平移，z越大，反之则越小，解决这种题目，首先要搞清z的几何意义.一般地，对目标函数z＝ax＋by，若b>0，则纵截距与z同号，因此，纵截距最大时，z也最大；若b<0，则纵截距与z异号，因此，纵截距最大时，z反而最小.作一组与直线l0平行的直线系l，上下平移，可得：当直线l移动到直线l2时，即过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当直线l移动到直线l1时，即过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.【变式与拓展】则z＝x＋y的最大值是_________.解析：画出可行域如图D13所示的阴影部分，线性目标函数z＝x＋y在点C处取得最大值，易求得点C(1,4)，故zmax＝5.图D13答案：5题型2已知线性目标函数的最值求参数＝x－y的最小值为－1，那么实数m＝()A.7C.4B.5D.3思维突破：本题属逆向思维类型题，使用数形结合的
方法
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.画出x，y满足的可行域，可得直线y＝2x－1与直线x＋y＝m的交点使目标函数z＝x－y取得最小值.答案：B【变式与拓展】2.在如图3-3-3所示的可行域内，目标函数z＝x＋ay取得)D最大值的最优解有无数个，则a的一个可能值是(图3-3-3A.－3B.3C.－1D.1解析：分析知“目标函数与直线BC重合时z最大”，故D解析：画图后知：当x＝3时z＝2x＋4y取最小值－6.－3x－2y的最值.易错分析：直线在y轴上的截距与目标函数z＝－3x－2y取值的关系上出错.直线ax＋by＝z往右(或往左)平移时，z随之增大(或减小)，只有当a>0时，才能成立.当a<0时，可利用换元将a变为大于0.解：作出约束条件表示的可行域，如图D12中的阴影部分，则点A(10,4)，B(3,6).令p＝3x＋2y，作直线l：3x＋2y＝0，图D12当直线l右移过点B(3,6)时，pmin＝21；当直线l继续右移过点A(10,4)时，pmax＝38.又z＝－p，故zmax＝－21，zmin＝－38.[方法·规律·小结]解简单线性规划问题的基本步骤：(1)画图：画出线性约束条件所表示的平面区域；(2)定线：令z＝0，得到一过原点的直线；(3)平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且截距最大或最小的直线；(4)求最优解；(5)求最值.
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