王松桂第三版概率论与数理统计第三章答案

一、第三章习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 详解：3.1设二维随机向量(,)XY的分布函数为:1222,0,0,(,)0,xyxyxyFxy其他求12,35PXY.解：因为257(2,5)1222F，6512221)5,1(F5322221)3,2(F，4312221)3,1(F所以)3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(FFFFYXP7654733222221283.2盒中装有3个黑球,2个白球.现从中任取4个球,用X表示取到的黑球的个数,用Y表示取到的白球的个数,求(X,Y)的概率分布.解：因为X+Y=4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)且0)1,2(YXP，6.053)2,2(452223CCCYXP4.052)1,3(451233CCCYXP，0)2,3(YXP故(X,Y)的概率分布为X\Y12200.630.403.3将一枚均匀的硬币抛掷3次,用X表示在3次中出现正面的次数,用Y表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率分布.解：因为|32||)3(|XXXY，又X的可能取值为0,1,2,3所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)且81)21()3,0(3YXP，83)21()21()1,1(2113CYXP83)21()21()1,2(1223CYXP，81)21()3,3(3YXP故(X,Y)的概率分布为X\Y13001/813/8023/80301/83.4设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为:(6),01,02,(,)0,axyxyfxy其他(1)确定常数a;(2)求0.5,1.5PXY(3)求{(,)}PXYD,这里D是由0,0,1xyxy这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为dxdyyxadxdyyxf1020)6(),(dxxxadxyxa102210202])4()6[(2])6(21[adxxa9)5(210由1),(dxdyyxf，得9a=1，故a=1/9.(2)dxdyyxYXP5.005.10)6(91)5.1,5.0(dxxdxyyx5.005.005.102]89)6(23[91]21)6([91125)687(5.00dxx(3)11001{(,)}(,)(6)9xDPXYDfxydxdydxxydy278)1211(181]21)6([9110210102dxxxdxyyxx3.5设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为:(2)2,0,0,(,)0,xyexyfxy其他(1)求分布函数(,)Fxy;(2)求PYX解：(1)求分布函数(,)Fxy;当0,0xy，(2)220000(,)(,)22(1)(1)yxyxxyuvuvxyFxyfuvdudvedudveduedvee其他情形，由于(,)fxy=0，显然有(,)Fxy=0。综合起来，有2(1)(1),0,0,(,)0,xyeexyFxy其他(2)求PYX(2)200330{}2211033xyyxyyyyPXYdyedxedyedxedye3.6向一个无限平面靶射击,设命中点(,)XY的概率密度函数为2221(,),,,(1)fxyxyxy求命中点与靶心(坐标原点)的距离不超过a的概率.解：drrrddxdyyxaYXPaayx20022222222)1()1(1)(222222021111]11[2112aaara3.7设二维随机向量(,)XY的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.X\Y02510.150.250.3530.050.180.02解：因为75.035.025.015.0)1(XP25.002.018.005.0)3(XP所以，X的边缘分布为X13P0.750.25因为20.005.015.0)0(YP43.018.025.0)2(YP37.002.035.0)5(YP所以，Y的边缘分布为Y025P0.200.430.373.8设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为23,02,01,(,)20,xyxyfxy其他求边缘概率密度(),()XYfxfy.解：因为，当20x时，22123),()(103102xxydyxydyyxfxfX；其他情形，显然()0.Xfx所以，X的边缘分布密度为其他0202/)(xxxfX又因为，当10y时，2202220234323),()(yyxdxxydxyxfyfY其他情形，显然()0.Yfy所以，Y的边缘分布密度为其他0103)(2yyyfY3.9设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为4.8(2),01,0,(,)0,yxxyxfxy其他求边缘概率密度(),()XYfxfy.解，积分区域显然为三角形区域，当01x时，0yx，因此2200()(,)4.8(2)2.4(2)2.4(2)xxXfxfxydyyxdyxyxx；其他情形，显然()0.Xfx所以，X的边缘分布密度为22.4(2)01()0Xxxxfx其他同理，当01y时，1,yx因此1122()(,)4.8(2)2.4(4)2.4(34)Yyyfyfxydxyxdxyxxyyy其他情形，显然()0.Yfy所以，Y的边缘分布密度为22.4(34)01()0Yyyyyfy其他3.10设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为2,,(,)0,cxyxfxy其他(1)确定常数c的值.(2)求边缘概率密度(),()XYfxfy.解：(1)因为dycdxdxdyyxfxx102),(16)32()(1032102cxxcdxxxc所以c=6.(2)因为，当10x时，)(6),()(22xxdycdyyxfxfxxX所以，X的边缘分布密度为其他010)(6)(2xxxxfX又因为，当10y时，)(66),()(yydxdxyxfyfyyY所以，Y的边缘分布密度为其他010)(6)(yyyyfY3.11求习题3.7中的条件概率分布.解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37(1)当X=1时，Y的条件分布为5175.015.0)1|0(XYP3175.025.0)1|2(XYP15775.035.0)1|2(XYP即Y025P1/51/37/15(2)当X=3时，Y的条件分布为5125.005.0)3|0(XYP251825.018.0)3|2(XYP25225.002.0)1|2(XYP即Y025P1/518/252/25(3)当Y=0时，X的条件分布为4320.015.0)0|1(YXP4120.005.0)0|3(YXP即X13P3/41/4(4)当Y=2时，X的条件分布为581.043.025.0)2|1(YXP419.043.018.0)2|3(YXP即X13P0.5810.419(5)当Y=5时，X的条件分布为946.037.035.0)5|1(YXP054.037.002.0)5|3(YXP即X13P0.9460.0543.12设X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0<x<1)时,Y在区间(x,1)上随机地取值,求Y的概率密度函数.解：因为其他0101)(xxfX，其他0111)|(|yxxxyfXY所以(X,Y)的联合密度为其他01,1011)|()(),(|yxxxxyfxfyxfXYX于是yydxxdxyxfyfyY11ln)1ln(11),()(0)10(y故Y的密度函数为其他01011ln)(yyyfY3.13设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为2,01,02,(,)30,xyxxyfxy其他求条件概率密度(),XYfxy(),YXfyx以及11{}22PYX.解：因为，当10x时，xxdyxyxdyyxfxfX322)3(),()(2202又当20y时，631)3(),()(102ydxxyxdxyxfyfY所以，在Y=y的条件下X的条件概率密度为其他010226)(),()|(2|xyxyxyfyxfyxfYYX在X=x的条件下Y的条件概率密度为其他020263)(),()|(|yxyxxfyxfxyfXXYdyydyyfXYPXY210210|523)21|()21|21(407401203)10103(2102yy3.14问习题3.7中的X与Y是否相互独立？解:由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37{1}PX0.75,{2}0.43PY,而{1,2}0.25PXY,显然{1}PX{2}PY{1,2}0.25PXY,从而X与Y不相互独立.3.15设二维随机向量(,)XY的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.X\Y02510.150.250.3530.050.180.02问,ab取何值时,X与Y相互独立?解：因为311819161)1(XP，aYP91)2(要X和Y相互独立，则)2()1()2,1(YPXPYXP即)91(3191a，得929131a由(1)(2)1PXPX，得12(2)1(1)133PXPX即3231ba，得913132ab3.16问习题3.8和习题3.9中的X与Y是否相互独立？解：由习题3.8，二维随机向量(,)XY的概率密度函数为23,02,01,(,)20,xyxyfxy其他X的边缘分布密度为其他0202/)(xxxfX，Y的边缘分布密度为其他0103)(2yyyfY，显然有(,)()()XYfxyfxfy，X与Y相互独立.由习题3.9,维随机向量(,)XY的概率密度函数为4.8(2),01,0,(,)0,yxxyxfxy其他,X的边缘分布密度为22.4(2)01()0Xxxxfx其他，Y的边缘分布密度为22.4(34)01()0Yyyyyfy其他,显然有(,)()()XYfxyfxfy，X与Y不独立.3.17设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为21,0,0,(1)(,)0,xxexyyfxy其他,问X与Y是否相互独立?解：因为dyyxedyyxfxfxX02)1(1),()()0()11(0xxeyxexxdxyxedxyxfyfxY02)1(1),()()0()1(1)()1(1)()1(120202yyexeyedxyxxx对于x>0,y>0，都有)()(),(yfxfyxfYX,所以，X与Y是相互独立的.3.18设二维随机向量(,)XY的分布函数为()1,0,0,(,)0,xyxyeeexyFxy其他讨论,XY的独立性.解：因为)0(1),(lim)(xeyxFxFxyX)0(1),(lim)(yeyxFyFyxY由于)0,0(),(1)1)(1()()()(yxyxFeeeeeyFxFyxyxyxYX所以，X与Y是相互独立的。3.19设X与Y是两个相互独立的随机变量,并且均服从区间(0,1)上的均匀分布,求X+Y的概率密度函数.解：由于X与Y均服从区间(0,1)上的均匀分布，故X与Y的边缘密度函数分别为：101()0Xxfx其他，101()0Yyfy其他记ZXY,由于X与Y是两个相互独立的随机变量,根据 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 中72页（3.7.3）式,Z的概率密度函数可以写为()()()ZXYfzfxfzxdx当01z时,若0xz，则0()1zZfzdxz；若0x或xz，被积函数为0，此时显然有()0Zfz.当12z时，若11zx,则11()12Zzfzdxz，若1xz或1x，被积函数为0，此时显然有()0Zfz；z的其他情形,显然有()()()ZXYfzfxfzxdx=0.综合起来，有,01,()2,120,Zzzfzzz其他此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是,当12z时，积分区域要分成两个部分.3.20设X与Y是两个相互独立的随机变量,概率密度函数分别为21,0,()20,0xXexfxx31,0,()30,0yYeyfyy求XY的概率密度函数.解：记ZXY,由于X与Y是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,Z的概率密度函数可以写为()()()ZXYfzfxfzxdx，于是有13623600110,0(1)0()66000zxxzzxzZeedxxzxeedxzeezfz其他其他其他3.21设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为(2),01,01,(,)0,xyxyfxy其他求ZXY的概率密度函数.解:根据书中72页（3.7.1）式,Z的概率密度函数可以写为()(,)Zfzfxzxdx当01z时,若0xz，则000()(2)(2())(2)(2)zzzZfzxydxxzxdxzxzz，若0x或xz，被积函数为0，此时显然有()0Zfz；当12z时，若11zx,则1112111()(2)(2())(2)(2)Zzzzfzxydxxzxdxzxz，若1xz或1x，被积函数为0，此时显然有()0Zfz；z的其他情形,显然有()0Zfz.综合起来，有2(2),01,()(2),120,Zzzzfzzz其他3.22设随机变量~[0,1],XUY服从 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 为1的指数分布,并且X与Y相互独立,求max{,}XY的概率密度函数.解：由于~[0,1],XU所以分布函数为0,0,(),011,1.XxFxxxx由于Y服从参数为1的指数分布，所以分布函数为1,0()0,0,yYeyFyyX与Y相互独立，故max{,}XY的分布函数为max0,0,()()()(1),01,(1),1,zXYzzFzFzFzzezez对分布函数求导以后得max{,}XY的密度函数maxmax0,0,()()1(1),01,,1,zzzfzFzezzez3.23设随机变量~[0,1],~[0,2]XUYU,并且X与Y相互独立,求min{,}XY的概率密度函数.解：由于~[0,1],XU所以分布函数为0,0,(),011,1.XxFxxxx由于~[0,2]YU，所以分布函数为0,0,1(),0121,1.YyFyyyyX与Y相互独立，故max{,}XY的分布函数为min0,0,1()1[1()][1()](3),01,21,1,XYzFzFzFzzzzz对分布函数求导以后得max{,}XY的密度函数minmin1.5,01,()()0,zzfzFz其他3.24设随机变量12,,,nXXX相互独立,并且都服从正态分布2(,)N,求12(,,,)nXXX的概率密度函数.解：由于12,,,nXXX相互独立,根据P76公式（3.8.4），易知222121212~(,)nnnZXXXN，于是12(,,,)nXXX的概率密度函数为：21212()212122(,,)()()()(2)niinxnXXXnnnefxxxfxfxfx其中，,1,2,,.ixin3.25对某种电子装置的输出测量了5次,得到观察值12345,,,,XXXXX.设它们是相互独立的随机变量,且有相同的概率密度函数28,0()40,0,xxexfxx,求12345max{,,,,}ZXXXXX的分布函数.解：由题意，(1,2,)iXin的分布函数为：281,0()0,0ixXiexFxx又由于12345,,,,XXXXX，是相互独立的随机变量,根据书中77页（3.8.6）式,12345max{,,,,}ZXXXXX的分布函数为：281,0()0,0zZezFzz3.26设电子元件的寿命X(单位:小时)的概率密度函数为0.00150.0015,0()0,0,xexfxx今测试6个元件,并 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 下它们各自的失效时间.求(1)到800小时时没有一个元件失效的概率;(2)到3000小时时所有元件都失效的概率.解：电子元件的寿命X(单位:小时)的分布函数为：0.00151,0()0,0,xXexFxx(1)一个元件使用到800小时时没有一个失效的概率为(800)1(800)1(800)PXPXF=1.2e，由于6个元件显然彼此独立，因此，到800小时时没有一个元件失效的概率为1.267.2()ee二、第三章定义、定理、公式、公理小结及补充：（1）联合分布离散型如果二维随机向量的所有可能取值为至多可列个有序对(,)XY，则称为离散型随机向量。设=(,)XY的所有可能取值为),2,1,)(,(jiyxji，且事件{=),(jiyx}的概率为pij,,称),2,1,()},(),{(jipyxYXPijji为=(,)XY的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1…ijp…这里pij具有下面两个性质：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）.1ijijp连续型对于二维随机向量),(YX，如果存在非负函数),)(,(yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有DdxdyyxfDYXP,),(}),{(则称为连续型随机向量；并称(,)fxy为=(,)XY的分布密度或称为(,)XY的联合分布密度。分布密度(,)fxy具有下面两个性质：（1）(,)fxy≥0;（2）.1),(dxdyyxf（2）二维随机变量的本质)(),(yYxXyYxX（3）联合分布函数设(,)XY为二维随机变量，对于任意实数,xy,二元函数},{),(yYxXPyxF称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件})(,)(|),{(2121yYxX的概率为函数值的一个实值函数。分布函数(,)Fxy具有以下的基本性质：（1）;1),(0yxF（2）(,)Fxy分别对x和y是非减的，即当21xx时，有21(,)(,)FxyFxy;当21yy时，有21(,)(,)FxyFxy;（3）(,)Fxy分别对x和y是右连续的，即);0,(),(),,0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对于，，2121yyxx0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，，，，.（4）离散型与连续型的关系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，，，离散型X的边缘分布为),2,1,()(jipxXPPijjii；Y的边缘分布为),2,1,()(jipyYPPijijj。（5）边缘分布连续型X的边缘分布密度为；dyyxfxfX),()(Y的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为；iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP（6）条件分布连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为)(),()|(yfyxfyxfY；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型jiijppp有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：①可分离变量②正概率密度区间为矩形二维正态分布,121),(2222121211221))((2)1(212yyxxeyxf＝0（7）独立性随机变量的函数若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其他,0),(1),(DyxSyxfD其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1D1O1x图3.1y1O2x图3.2ydcOabx图3.3D21D3（9）二维正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为,121),(2222121211221))((2)1(212yyxxeyxf其中1||,0,0,21,21是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）～N（).,,,2221,21由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N（).(~),,22,2211NY但是若X～N（)(~),,22,2211NY，(X，Y)未必是二维正态分布。Z=X+Y根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ对于连续型，fZ(z)＝dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（222121,）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。iiiC，iiiC222（10）函数分布Z=max,min(X1,X2,…Xn)若nXXX21,相互独立，其分布函数分别为)()()(21xFxFxFnxxx，，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx)](1[)](1[)](1[1)(21minxFxFxFxFnxxx2分布设n个随机变量nXXX,,,21相互独立，且服从 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布，可以证明它们的平方和niiXW12的分布密度为.0,0,0221)(2122uueunufunn我们称随机变量W服从自由度为n的2分布，记为W～)(2n，其中.2012dxexnxn所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设),(2iinY则).(~2112kkiinnnYZt分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且),(~),1,0(~2nYNX可以证明函数nYXT/的概率密度为2121221)(nntnnntf).(t我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。)()(1ntntF分布设)(~),(~2212nYnX，且X与Y独立，可以证明21//nYnXF的概率密度函数为0,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1,n2).),(1),(12211nnFnnF