机械工程控制基础第五章系统稳定性分析

*/88第五章控制系统的稳定性分析5.1系统稳定性的基本概念5.2系统稳定的充要条件5.3代数稳定性判据（Routh判据、Hurwitz判据）5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据）5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性5.6由伯德图判断系统的稳定性5.7控制系统的相对稳定性第一页，共88页。5.1系统稳定性的基本概念稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的，否则，该系统为不稳定。*第二页，共88页。5.2系统稳定的充要条件三角变化整理=0特征方程第三页，共88页。*/88撤除扰动，按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于零，即当时，上式成立，以上条件形成系统稳定的充分必要条件之一。5.2系统稳定的充要条件第四页，共88页。*/88对应闭环系统特征根的实部，因此对于定常线性系统，若系统所有特征根的实部均为负值，则零输入响应最终将衰减到零，这样的系统就是稳定的。5.2系统稳定的充要条件反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就是不稳定的。控制系统稳定的另一充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，控制系统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传递函数的极点全部具有负实部，或说闭环传递函数的极点全部在[s]平面的左半面。第五页，共88页。5.3代数稳定性判据劳斯判据这一判据是基于方程式的根与系数的关系而建立的。设系统特征方程为5.3.1劳斯判据*第六页，共88页。*/88由根与系数的关系可求得5.3代数稳定性判据劳斯判据第七页，共88页。*/88从上式可知，要使全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件。（1）特征方程的各项系数(i=0，1，2，…，n)都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足上式；此时系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。（2）特征方程的各项系数的符号都相同，才能满足上式，按照惯例，一般取正值，上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即＞0。但这只是一个必要条件,既使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为它不是充分条件。5.3代数稳定性判据劳斯判据第八页，共88页。*/88同时，如果劳斯阵列中第一列所有项均为正号，则系统一定稳定。劳斯阵列为5.3代数稳定性判据劳斯判据第九页，共88页。*/88其中系数根据下列公式计算：系数的计算，一直进行到其余的值都等于零时为止，用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c，d,e等各行的系数5.3代数稳定性判据劳斯判据第十页，共88页。这种过程一直进行到第n行被算完为止。系数的完整阵列呈现为三角形。在展开的阵列中，为了简化其后的数值计算，可用一个正整数去除或乘某一整个行。这时，并不改变稳定性结论。劳斯判据还说明：实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。5.3代数稳定性判据劳斯判据*第十一页，共88页。*/88劳斯判据的表述：1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的，同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必须满足这个条件）2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）如果系统不稳定还可以利用劳斯阵列的第一列变号情况来确定系统极点（即系统闭环特征方程式的根，简称为特征根）在[s]右平面有几个。5.3代数稳定性判据劳斯判据第十二页，共88页。*/88用劳斯判据判断系统稳定性的步骤：1.先判断特征方程式的系数是否全部为正。2.如果全部为正，则列劳斯阵列。3.判断系统是否稳定。5.3代数稳定性判据劳斯判据第十三页，共88页。例:设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。5.3代数稳定性判据劳斯判据*第十四页，共88页。*/88解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正值，所以控制系统稳定。5.3代数稳定性判据劳斯判据第十五页，共88页。*/88例2设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列第一列中系数改变符号两次，说明闭环系统有两个正实部的根，控制系统不稳定。5.3代数稳定性判据劳斯判据第十六页，共88页。*/88对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳斯判据可化为如下简单形式，以便于应用。二阶系统特征式为,劳斯表为故二阶系统稳定的充要条件是系数全大于零5.3代数稳定性判据劳斯判据第十七页，共88页。*/88三阶系统特征式为，劳斯表为故三阶系统稳定的充要条件是5.3代数稳定性判据劳斯判据第十八页，共88页。*/885.3代数稳定性判据劳斯判据第十九页，共88页。*/88劳斯判据两种特例：1).某一行的第一列数值为05.3代数稳定性判据劳斯判据第二十页，共88页。*/88解:1)所有系数都为正.2)劳斯阵列：系统不稳定，有两个右半平面的根5.3代数稳定性判据劳斯判据第二十一页，共88页。*/882).劳斯阵列整行为0列辅助多项式解:1)所有系数都为正.2)劳斯阵列：5.3代数稳定性判据劳斯判据第二十二页，共88页。*/88不变号，没有右半平面的根.思考:这个系统是否稳定?5.3代数稳定性判据劳斯判据第二十三页，共88页。*/885.3.2赫尔维兹稳定判据n×n第二十四页，共88页。*/885.3.2赫尔维兹稳定判据例:设控制系统的特征方程式为试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。各系数排成如下的行列式n×n第二十五页，共88页。*/88由于故该系统稳定。5.3.2赫尔维兹稳定判据第二十六页，共88页。5.4乃奎斯特稳定性判据米哈伊洛夫定理是证明乃奎斯特稳定性判据的一个引理，其表述为：设n次多项式D（s）有P个零点位于复平面的右半面，有q个零点在原点上，其余n-P-q个零点位于左半面，则当以s=jω代入D（s）并令ω从0连续增大到∞时，复数D（jω）的角增量应等于：5.4.1米哈伊洛夫定理如何使用开环传递函数判断闭环系统的稳定性*第二十七页，共88页。*/88证：（1）设S1为负实根，对于矢量（S-S1）,当S：0→jω变化时 图5-4负实根情况5.4.1米哈伊洛夫定理第二十八页，共88页。*/88具有负实部的共轭复根情况因此，（n-p-q）个左根的总角变化量为（n-p-q）π/25.4.1米哈伊洛夫定理第二十九页，共88页。*/88设S2、S3为具有负实部的共轭复根，S2=-a+jb(a>0,b>0)S3=-a-jb对于矢量（S-S2）和（S-S3）,当S：0→jω变化时5.4.1米哈伊洛夫定理第三十页，共88页。*/88设Sm为正实根，对于矢量（S-Sm）,当S：0→jω变化时 图5-6正实根情况5.4.1米哈伊洛夫定理第三十一页，共88页。5.4.1米哈伊洛夫定理*第三十二页，共88页。*/88设Sm+1、Sm+2为具有正实部的共轭复根，Sm+1=c+jd(c>0,d>0)Sm+2=c-jd对于矢量（S-Sm+1）和（S-Sm+2）,当S：0→jω变化时因此，p个左根的总角变化量为p(-π/2)。5.4.1米哈伊洛夫定理第三十三页，共88页。*/88另外，原点根不引起角变化量。综上，有：推论：如果n次多项式D(s）的所有零点都位于复平面的左半面，则当以s=jω代入D（s）并命ω从0连续增大到∞时，复数D（s）的角连续增大:5.4.1米哈伊洛夫定理第三十四页，共88页。*/885.4.1乃奎斯特稳定性判据设反馈控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为则其开环传递函数为第三十五页，共88页。*/88分子为系统闭环特征多项式，而分母为系统开环特征多项式。由于系统开环传递函数分母阶次大于等于分子阶次，故分子分母阶次相同，均为n阶。闭环传递函数为：闭环传递函数5.4.1米哈伊洛夫定理第三十六页，共88页。*/88（1）如果开环极点均在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，则我们的目的是要用开环（GH）乃氏图区判断闭环是否稳定（全是左平面特征根）第三十七页，共88页。*/88（2）如果开环特征多项式有P个根在s右半平面，q个零点在原点，其余（n-p-q）个根在s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，第三十八页，共88页。*/88或开环乃氏图相对（-1，j0）点的角变化量为，系统闭环后就是稳定的。也就是说，对于一个稳定的闭环系统而言，当ω从0连续增大到∞时，开环传递函数在右半平面的每一个极点使角增量为180°；开环传递函数在原点处的每一个极点使角增量为90°。1+G(s)H(s)相对于(0,j0)的角增量G(s)H(s)相对于(-1,j0)的角增量则第三十九页，共88页。*/88设开环特征多项式在右半平面有p个根，原点处有q个根，其余（n-p-q）个根在左半平面，则乃奎斯特稳定判据可表述为：对于系统开环乃氏图，当ω从0到∞变化时，其相对（-1，j0）点的角变化量为时，系统闭环后稳定。乃氏判据第一种表述这样，闭环系统是否稳定，可以从开环频率特性的角增量来判断。5.4.1米哈伊洛夫定理第四十页，共88页。*/88例:K/(Ts-1)Xi(s)+X0(s)_-1K>1K<1P＝1，q＝0，稳定条件为pπ＋qπ/2＝π问k为何值时，系统稳定-K5.4.1米哈伊洛夫定理第四十一页，共88页。*/88-1,j0K=10-1,j0K=40P＝0，q＝1，稳定条件为p∏＋q∏/2＝∏/25.4.1米哈伊洛夫定理第四十二页，共88页。*/88令ω从-∞增长到0，相应的出的乃氏图是与ω从0增长到+∞的出的哦乃氏图以实轴对称的。乃奎斯特稳定性判据的另一类表述5.4.1乃奎斯特稳定性判据第四十三页，共88页。*/88当开环特征式有右根时，乃氏判据可表述为：如果开环特征式具有P个右根，对应封闭的乃氏曲线逆时钟包围（-1，j0）点p圈，则系统闭环后稳定，否则不稳定。有右根当开环特征式没有右根时，乃氏判据可表述为：如果G（jω）曲线不包围（-1，j0）点，则系统闭环后稳定，否则不稳定。没有右根5.4.1乃奎斯特稳定性判据第四十四页，共88页。*/88当开环特征式具有零根时，对应的乃氏图曲线不封闭。为使其封闭，实用中可将其处理成左根，如图所示，其中ε为非常小的正数，φ从0o->90o。有零根5.4.1乃奎斯特稳定性判据第四十五页，共88页。*/885.4.1乃奎斯特稳定性判据第四十六页，共88页。*/885.4.1乃奎斯特稳定性判据第四十七页，共88页。*/88原点根也可以处理成右根，当处理成右根时，如下图所示，其中ε为非常小的正数，φ从180o->90o5.4.1乃奎斯特稳定性判据第四十八页，共88页。*/885.4.1乃奎斯特稳定性判据第四十九页，共88页。*/885.4.1乃奎斯特稳定性判据第五十页，共88页。*/885.4.1乃奎斯特稳定性判据第五十一页，共88页。*/88下图所示为机床的长悬臂梁式主轴的工作情况，由于主轴刚性低，常易产生振动，下面分析其动态特性。铣床切削工件示意图主轴系统力学模型5.4.1乃奎斯特稳定性判据第五十二页，共88页。*/88机床主轴系统的传递函数将主轴简化为集中质量m作用于主轴端部，令：P（t）-切削力；y（t）-主轴前端刀具处因切削力产生的变形量；D-主轴系统的当量粘性系统；km-主轴系统的当量刚度。主轴端部的运动微分方程为：5.4.1乃奎斯特稳定性判据第五十三页，共88页。*/885.4.1乃奎斯特稳定性判据第五十四页，共88页。*/885.4.1乃奎斯特稳定性判据第五十五页，共88页。*/88这样就将乃氏判据中开环频率特性的极坐标是否包围（-1，j0）问题归结为Gm（jω）的极坐标轨迹是否包围Gc（jω）的极坐标轨迹的问题。下面分别作为Gm（jω）和Gc（jω）的mc极坐标轨迹。5.4.1乃奎斯特稳定性判据第五十六页，共88页。*/885.4.1乃奎斯特稳定性判据第五十七页，共88页。*/88乃氏图S走向5.4.1乃奎斯特稳定性判据第五十八页，共88页。*/881.若Gm（jω）不包围Gc（jω），即Gm（jω）与Gc（jω）不相交，如曲线（1），则系统绝对稳定。因此系统绝对稳定的条件是Gm（jω）中的最小负实部的绝对值小于km/2kc。2.若Gm（jω）不包围Gc（jω）一部分，即Gm（jω）与Gc（jω）相交，如曲线（3），则系统可能不稳定。但一定条件下，也可以稳定。如果在工作频率ω下，保证τω避开τAωA～τBωB范围，也就是适当选择τ，系统仍可稳定。所以，在此条件下系统稳定的条件为：选择适当的主轴转速n（单刃铣刀时，τ=1/n），使Gm（jω）不包围τω点。5.4.1乃奎斯特稳定性判据第五十九页，共88页。*/885.6由伯德图判断系统的稳定性已知系统1和系统2开环稳定，如图，因曲线1不包围（-1，j0）点，故闭环系统1稳定，而闭环系统1稳定，而闭环系统2不稳定；在乃氏图上画一单位圆。其单位圆相当与伯德图幅频特性中的0dB线，而ωj点相当于对数相频特性的-1800轴；所以伯德图稳定性判据为：如果开环稳定，且在L（w）>0的所有角频率w值下，相角范围都大于-1800线，那么该闭环系统稳定。-1ImReω=0ωgωgωcωc012第六十页，共88页。*/88先求出各转角频率为：W1=0.2，w2=0.8，w3=50，w4=200因为特征方程式没有右根，开环稳定，所以可用上述方法判断闭环稳定性。由图可知，在L（w）>0的范围内，相频特性不与-180o相交，故系统闭环是稳定的。5.6由伯德图判断系统的稳定性第六十一页，共88页。*/885.6由伯德图判断系统的稳定性-180-90-2700第六十二页，共88页。*/88由伯德图判断系统稳定性的普遍情况如果0型或Ⅰ型系统在开环状态下的特征方程有p个根在右半平面，并设开环静态放大倍数大于零，在所有L（ω）≥0的频率范围内，相频特性曲线Φ（ω）在（－∏）线上的正负穿越之差为p/2次，则闭环系统稳定；如果是Ⅱ型系统在开环状态下的特征方程有p个根在右半平面，并设开环静态放大倍数大于零，在所有L（ω）≥0的频率范围内，相频特性曲线Φ（ω）在（－∏）线上的正负穿越之差为（p＋1）/2次，则闭环系统稳定。第六十三页，共88页。*/88当乃氏图从大于－π的第三象限（顺时针）越过负实轴到第二象限时，叫负穿越；当乃氏图随ω增大逆时针从第二象限穿过负实轴向第三象限去的时候，叫正穿越；如果ω＝0时，φ(0)为－π，乃氏图往第三象限去，则为半次正穿越；往第二象限去，则为半次负穿越。－π/2－π负穿越－π/2－π正穿越半次负穿越半次正穿越5.6由伯德图判断系统的稳定性第六十四页，共88页。*/885.6由伯德图判断系统的稳定性第六十五页，共88页。*/885.6由伯德图判断系统的稳定性第六十六页，共88页。5.7控制系统的相对稳定性如果系统闭环特征根均在s左半平面，且和虚轴有一段距离，则系统有一定的稳定裕量。如右图，向左平移虚轴σ，令z=s-(-σ),即将s=z-σ代入系统特征式,得到z的方程式，类似采用劳斯判据，即可求出距离虚轴σ以右是否有根。5.7.1采用劳斯判据看系统的相对稳定性*第六十七页，共88页。*/88例：令z=s-(-1),即s=z-1,代入系统特征式,得即z的多项式各项系数无相反符号，且劳斯判据第一列未变号，可见，系统特征式在s=-1以右没有根。5.7控制系统的相对稳定性第六十八页，共88页。乃氏判据看系统的相对稳定性及其相对稳定性指标-1-1稳定系统不稳定系统*第六十九页，共88页。稳定系统不稳定系统乃氏判据看系统的相对稳定性及其相对稳定性指标*第七十页，共88页。*/88系统开环传递函数如下，试分析k为10时系统的相对稳定性练习乃氏判据看系统的相对稳定性及其相对稳定性指标第七十一页，共88页。*/881550－180－90－2701510502040[-20][-40][-60]ωc=6.2Kg=14.8dbγ=32°ωg=15.8第七十二页，共88页。*/88例5－10-1,j0T1>τ2T1<τ2P＝0，q＝2，稳定条件为p∏＋q∏/2＝∏第七十三页，共88页。*/88当开环特征式均为左根时，如果对应ω从－∞到＋∞封闭的乃氏图不包围（－1，j0）点，则系统闭环后稳定当开环特征式具有零根时，对应ω从－∞到＋∞的乃氏图曲线不封闭，为使其封闭，在实用中可将零根处理成左根当开环特征式具有右根时，设右根个数为p，对应ω从－∞到＋∞封闭的乃氏图包围（－1，j0）点p圈，则系统闭环后稳定乃奎斯特稳定性判据的第二种表述：第七十四页，共88页。*/88乃奎斯特稳定性判据的第二种表述：第七十五页，共88页。*/88-1系统稳定乃奎斯特稳定性判据的第二种表述：第七十六页，共88页。*/88ω=0+ω=+∞例:第七十七页，共88页。ω=0+ω=+∞ω=0+ω=+∞例:第七十八页，共88页。*/88-1,j0K=10-1,j0K=40例:第七十九页，共88页。-1,j0T1>τ2-1,j0T1<τ2ω=+∞ω=+∞ω=0+ω=0+例:*第八十页，共88页。-1,j0ω=0+例:第八十一页，共88页。*/88ω=0+ω=+∞例:第八十二页，共88页。*/88将零根处理成左根的方法a.一个零根的情况-1,j0b.两个零根的情况ω=0+ω=+∞ω=0+ω=+∞例:第八十三页，共88页。*/88ω=0+ω=+∞C.三个零根的情况例:第八十四页，共88页。*/88K/(Ts-1)Xi(s)+X0(s)_-1K>1K<1例:第八十五页，共88页。*/88例:第八十六页，共88页。*/88练习设某闭环系统的开环传递函数为，试求系统稳定时的k值范围。第八十七页，共88页。谢谢！*/52第八十八页，共88页。