第1章123

第1章导数及其应用1.2.3简单复合函数的导数1.2导数的运算明目标、知重点1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．填要点、记疑点1.复合函数的概念2.复合函数的求导法则明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺1.复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作.x的函数y＝f(g(x))2.复合函数的求导法则明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx′＝.即y对x的导数是.yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积探要点、究所然探究点一复合函数的定义探究点二复合函数的导数探究点三复合函数导数的应用探究点一复合函数的定义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考1　观察函数y＝2xcosx及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答　y＝2xcosx是由u＝2x及v＝cosx相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝lnu(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数，所以y＝ln(x＋2)称为复合函数.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考2　对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答　复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程.在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x)).探究点一复合函数的定义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考3　在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答　A⊆B.探究点一复合函数的定义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺小结　要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法.探究点一复合函数的定义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺例1　指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos3x.探究点一复合函数的定义解　(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的；(3)y＝cos3x是由函数y＝cosu，u＝3x复合而成的.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺 反思 小班合家欢主题反思小班合家欢主题审议反思小班合家欢反思恩怨历尽后的反思下载恩怨历尽后的反思下载 与感悟　分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系.探究点一复合函数的定义明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺跟踪训练1　指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y＝ln；(2)y＝esinx；(3)y＝cos(x＋1).探究点一复合函数的定义解　(1)y＝lnu，u＝(2)y＝eu，u＝sinx；(3)y＝cosu，u＝探究点二复合函数的导数明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺思考　如何求复合函数的导数？答　对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量.注意不要漏掉第(3)步回代的过程.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺例2　求下列函数的导数：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝(3)y＝sin(－2x＋)；(4)y＝102x＋3.探究点二复合函数的导数解　(1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3；明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(2)y＝＝可看作y＝，u＝1－2x的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(－)·(－2)＝(1－2x)(3)原函数可看作y＝sinu，u＝－2x＋的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·(－2)＝－2cos(－2x＋)＝－2cos(2x－)；探究点二复合函数的导数明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(4)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝10u·ln10·2＝(ln100)102x＋3.探究点二复合函数的导数明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺反思与感悟　分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数.复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.探究点二复合函数的导数明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺跟踪训练2　求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ).解　(1)函数y＝(2x＋3)2可以看成函数y＝u2，u＝2x＋3的复合函数.∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(2x＋3)′＝2u·2＝4(2x＋3)＝8x＋12.探究点二复合函数的导数明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(2)函数y＝e－0.05x＋1可以看成函数y＝eu，u＝－0.05x＋1的复合函数.∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05e－0.05x＋1.(3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看成函数y＝sinu，u＝πx＋φ的复合函数.∴yx′＝yu′·ux′＝(sinu)′·(πx＋φ)′＝cosu·π＝πcos(πx＋φ).探究点二复合函数的导数探究点三复合函数导数的应用明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺例3　求曲线y＝e2x＋1在点(，1)处的切线方程.解　∵y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，∴y′＝2，∴曲线y＝e2x＋1在点(，1)处的切线方程为y－1＝2(x＋)，即2x－y＋2＝0.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺反思与感悟　求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法.探究点三复合函数导数的应用明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺跟踪训练3　曲线y＝esinx在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程. 解　设u＝sinx，则y′＝(esinx)′＝(eu)′(sinx)′.＝cosxesinx.y′|x＝0＝1.则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.探究点三复合函数导数的应用明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺若直线l与切线平行可设直线l的方程为x－y＋c＝0.两平行线间的距离d＝⇒c＝3或c＝－1.故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.探究点三复合函数导数的应用当堂测、查疑缺12341234明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺1.函数y＝(3x－2)2的导数y′＝___________.18x－12解析　y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2).明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺2.若函数y＝sin2x，则y′＝________.sin2x1234解析　y′＝2sinx·(sinx)′＝2sinx·cosx＝sin2x.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.若f(x)＝sin(3x＋)，则f′()＝________.-31234解析　f′(x)＝3cos(3x＋)，∴f′()＝－3.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺4.(1)设函数f(x)＝ex－e－x，证明：f(x)的导数f′(x)≥2；(2)设函数f(x)＝x＋ln(x－5)，g(x)＝ln(x－1)，解不等式f′(x)>g′(x).1234(1)证明　f′(x)＝(ex－e－x)′＝ex＋e－x，因为ex>0，e－x>0，所以ex＋e－x≥＝2，当且仅当ex＝e－x,即e2x＝1，x＝0时，等号成立，所以f′(x)≥2.明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺(2)解　因为f′(x)＝1＋，g′(x)＝所以由f′(x)>g′(x)，得即，所以x>5或x<1.又两个函数的定义域为即x>5，所以不等式f′(x)>g′(x)的解集为(5，＋∞).1234明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺呈重点、现规律求简单复合函数f(ax＋b)的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.谢谢观看更多精彩 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 请登录：http://www.91taoke.com