高等数学(下)知识点总结归纳

主要 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 总结第八章空间解析几何与向量代数1、二次曲面1）椭圆锥面：2）椭球面：旋转椭球面：3）单叶双曲面：双叶双曲面：4）椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：5）椭圆柱面：双曲柱面：6）抛物柱面：（二）平面及其方程1、点法式方程：法向量：n(A,B,C)，过点2、一般式方程：截距式方程：3、两平面的夹角：n1(A1,B1,C1)，n2(A2,B2,C2)，cosA1A2B1B2C1C2A12B12C12A22B22C22121212120；1//A1B1C1AABBCC2B2C2A24、点到平面的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C2（三）空间直线及其方程1、一般式方程：2、对称式（点向式）方程：xx0yy0zz0mnp方向向量：s(m,n,p)，过点3、两直线的夹角：s1(m1,n1,p1)，s2(m2,n2,p2)，cosm1m2n1n2p1p2m12n12p12m22n22p22L1L2m1m2n1n2p1p20；L1//L2m1n1p1m2n2p24、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，AmBnCpsinA2B2C2m2n2p2L//AmBnCp0；LABCmnp第九章多元函数微分法及其应用1、连续：limf(x,y)f(x0,y0)(x,y)(x0,y0)2、偏导数：；fy(x0,y0)limf(x0,y0y)f(x0,y0)y0y3、方向导数：ffcosfcos其中为的方向角。lxy4、梯度：zf(x,y)，则gradf(x0,y0)fx(x0,y0)ify(x0,y0)j。5、全微分：设zf(x,y)，则dzzdxzdyxy（一）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：12偏导数连续函数可微偏导数存在充分条件必要条件4定义23函数连续2、微分法1）复合函数求导：链式法则若zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)，则zzuzvzzuzvxuxvx，uyvyy（二）应用求函数zf(x,y)的极值fx01）解方程组求出所有驻点，对于每一个驻点fy0(x0,y0)，令Afxx(x0,y0)，Bfxy(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，①若ACB20，A0，函数有极小值，若ACB20，A0，函数有极大值；②若ACB20，函数没有极值；③若ACB20，不定。2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线，则上一点M(x0,y0,z0)（对应参数为t0）处的xx0yy0zz0切线方程为：x(t0)y(t0)z(t0)法平面方程为：2）曲面的切平面与法线曲面，则上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：法线方程为：Fxx0yy0zz0x(x0,y0,z)Fy(x,y,z)Fz(x,y0,z)000000第十章重积分（一）二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、定义：2、计算：1）直角坐标D(x,y)1(x)y2(x)f(x,y)dxdyb2(x)，dxf(x,y)dyaxbDa1(x)D(x,y)1(y)x2(y)f(x,y)dxdyd2(y)cyd，dyf(x,y)dxDc1(y)2）极坐标D(,)1()2()，f(x,y)dxdyd2()df(cos,sin)1()D（二）三重积分n1、定义：f(x,y,z)dvlimf(k,k,k)vk01k2、计算：1）直角坐标f(x,y,z)dvdxdyz2(x,y)f(x,y,z)dz-------------“先一后二”Dz1(x,y)bf(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy-------------“先二后一”aDZ2）柱面坐标，f(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz3）球面坐标f(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd（三）应用曲面的面积：AD1(z)2(z)2dxdyxy第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分n1、定义：f(x,y)dslimf(i,i)siL0i12、计算：x(t),设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为y(t)，其中(t),(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数，且2(t)2(t)0，则f(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt,()L（二）对坐标的曲线积分1、定义：设L为面内从A到B的一条有向光滑弧，函数，在L上有界，定义，.向量形式：FdrP(x,y)dxQ(x,y)dyLL2、计算：设在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为x(t),)，其中(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数，且y(t:(t),2(t)2(t)0，则P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL3、两类曲线积分之间的关系：x(t),，设平面有向曲线弧为L：，L上点(x,y)处的切向量的方向角为：y(t)cos(t)，cos(t)2(t)，2(t)2(t)2(t)则PdxQdy(PcosQcos)ds.LL（三）格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数在D上具有连续一阶偏导数,则有QPdxdyPdxQdyDxyL2、G为一个单连通区域，函数在G上具有连续一阶偏导数，QPPdxQdy在G内与路径无关则曲线积分xyL（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义2、计算：———“一单二投三代入”，，则（五）对坐标的曲面积分1、定义：设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义同理，；2、性质：1），则计算：——“一投二代三定号”，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“+”，为下侧取“-”.3、两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS其中,,为有向曲面在点处的法向量的方向角。（六）高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数P,Q,R在上有连续的一阶偏导数,则有PQRdxdydzPdydzQdzdxRdxdyxyz或PQRPcosQcosRcosdSxydxdydzz2、通量与散度通量：向量场A(P,Q,R)通过曲面指定侧的通量为：PdydzQdzdxRdxdyPQR散度：divAyzx（七）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面S的边界G是分段光滑曲线,S的侧与G的正向符合右手法则,在包含?在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:dydzdzdxdxdyPdxQdyRdzxyzPQR2、环流量与旋度环流量：向量场A(P,Q,R)沿着有向闭曲线G的环流量为PdxQdyRdz旋度：第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：部分和：，正项级数：，交错级数：，2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散3）条件收敛：收敛，而发散；绝对收敛：收敛。2、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数，收敛，则收敛；3）级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；4）必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）3、审敛法正项级数：，1）定义：存在；2）收敛有界；3）比较审敛法：，为正项级数，且若收敛，则收敛；若发散，则发散.4）比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数m，当nm时，，而收敛，则收敛；若存在正整数m，当nm时，，而发散，则发散.5）比较法的极限形式：，为正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散.6）比值法：为正项级数，设，则当l1时，级数收敛；则当l1时，级数发散；当l1时，级数可能收敛也可能发散.7）根值法：为正项级数，设，则当l1时，级数收敛；则当l1时，级数发散；当l1时，级数可能收敛也可能发散.8）极限审敛法：为正项级数，若或，则级数发散；若存在p1，使得，则级数收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：则级数收敛。任意项级数：绝对收敛，则收敛。，满足：，且，常见典型级数：几何级数：；p-级数：（二）函数项级数1、定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、幂级数：3、收敛半径的求法：，则收敛半径4、泰勒级数展开步骤：（直接展开法）1）求出；2）求出；3）写出；4）验证是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）1）ex1xn,x(,)；0n!2）sinx(1)n11x2n1,x(,)；n0(2n1)!3）4）cosx(1)n11x2n,x(,)；n0(2n)!1xn,x(1,1)；1xn05）1(1)nxn,x(1,1)1xn06）ln(1x)(1)nxn1,x(1,1]n0n17）1n2n1x2n0(1)x,x(1,1)8）(1x)m1m(m1)(mn1)xn,x(1,1)n1n!5、傅里叶级数1）定义：正交系：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,,sinnx,cosnx函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[,]上积分为零。a0(ancosnxbnsinnx)傅里叶级数：f(x)2n1an1(n0,1,2,)f(x)cosnxdx系数：bn1(n1,2,3,)f(x)sinnxdx2）收敛定理：(展开定理)设f(x)是周期为2p的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有f(x),为连续点a0xancosnxbnsinnxf(x)f(x)2n1,x为间断点23）傅里叶展开：an1f(x)cosnxdx(n0,1,2,)①求出系数：；bn1f(x)sinnxdx(n1,2,3,)a0(ancosnxbnsinnx)；②写出傅里叶级数f(x)2n1③根据收敛定理判定收敛性。