2021年人教版高中数学必修第二册第十章 章末综合检测 (含解析)

章末综合检测(十)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是(　　)A．0　　　　　　　　　　B．1C．2D．3解析：选C.①④正确．2．(2019·黑龙江省大庆中学月考)袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(　　)A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球解析：选C.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 所给的选项：在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立；在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；故选C.3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)解析：选C.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故选C.4．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为162，153，148，154，165，168，172，171，173，150，151，152，160，165，164，179，149，158，159，175在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5cm之间的概率约为(　　)A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)解析：选A.从已知数据可以看出，在随机抽取的20位学生中，身高在155.5～170.5cm之间的有8人，其频率为eq\f(2,5)，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽取一人，其身高在155.5～170.5cm之间的概率约为eq\f(2,5).5．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是(　　)A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(12,25)D.eq\f(14,25)解析：选D.由题意知甲中靶的概率为eq\f(4,5)，乙中靶的概率为eq\f(7,10)，两人打靶相互独立，同时中靶的概率为eq\f(4,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(14,25).6．一个笼子里有3只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是(　　)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：选A.设3只白兔分别为b1，b2，b3，2只灰兔分别为h1，h2，则所有可能的情况有(b1，h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)，(b3，h1)，(b3，h2)，(h1，b1)，(h2，b1)，(h1，b2)，(h2，b2)，(h1，b3)，(h2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b1)，(b2，b3)，(b3，b1)，(b3，b2)，(h1，h2)，(h2，h1)，共20种，其中符合一只是白兔，另一只是灰兔的情况有12种，所以所求概率为eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).7．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是(　　)A.eq\f(1,225)B.eq\f(3,899)C.eq\f(1,300)D.eq\f(1,450)解析：选C.三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为eq\f(3,900)＝eq\f(1,300).8．抛掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数为奇数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)A.eq\f(5,12)B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,12)D.eq\f(3,4)解析：选D.P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2).A，B中至少有一件发生的概率为1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，故选D.9．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为(　　)A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)解析：选B.如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率为eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).10．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq\f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)A.eq\f(2,9)B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)解析：选D.由P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(Beq\o(A,\s\up6(－)))，得P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(B)P(eq\o(A,\s\up6(－)))，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，所以P(A)＝P(B)．又P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,9)，则P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3).所以P(A)＝eq\f(2,3).11．如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件A)的概率为eq\f(1,4)，取到方片牌(事件B)的概率是eq\f(1,3)，则取到红色牌(事件C)的概率和取到黑色牌(事件D)的概率分别是(　　)A.eq\f(7,12)，eq\f(5,12)B.eq\f(5,12)，eq\f(7,12)C.eq\f(1,2)，eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)，eq\f(2,3)解析：选A.因为C＝A＋B，且A，B不会同时发生，即A，B是互斥事件，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,12).又C，D是互斥事件，且C＋D是必然事件，所以C，D互为对立事件，则P(D)＝1－P(C)＝1－eq\f(7,12)＝eq\f(5,12).12．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)A.eq\f(1,10)B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)解析：选D.记3个红球分别为a1，a2，a3，2个白球分别为b1，b2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的结果有(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10个．由于每个结果发生的机会均等，因此这些结果的发生是等可能的．用A 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件eq\o(A,\s\up6(－))表示“所取的3个球中没有白球”，则事件eq\o(A,\s\up6(－))包含的结果有1个：(a1，a2，a3)．所以P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,10).故P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为________．解析：根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有6种可能性，则(x，y)的情况有36种，即P点有36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3个，因此满足条件的概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)14．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种．甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共4种．所以甲，乙两人相邻而站的概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)15．袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq\f(9,10)，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．解析：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为eq\f(1,10)，设白球个数为x，则黑球个数为5－x，那么，可知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)16．(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________．解析：依题意知，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,40)＝0.98.答案：0.98三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率．(1)所得的三位数大于400；(2)所得的三位数是偶数．解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数．(1)大于400的三位数的个数为4，所以P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，所以相应的概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).18．(本小题满分12分)某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是eq\f(3,4)，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是eq\f(1,12)，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是eq\f(1,4).若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．解：(1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝eq\f(3,4)，且有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（eq\o(A,\s\up10(－))）·P（eq\o(C,\s\up10(－))）＝\f(1,12)，,P（B）·P（C）＝\f(1,4).))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1([1－P（A）]·[1－P（C）]＝\f(1,12)，,P（B）·P（C）＝\f(1,4).))所以P(B)＝eq\f(3,8)，P(C)＝eq\f(2,3).(2)有0个家庭回答正确的概率为P0＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))·P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,4)×eq\f(5,8)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,96).有1个家庭回答正确的概率为P1＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(3,4)×eq\f(5,8)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(3,8)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(5,8)×eq\f(2,3)＝eq\f(7,24).所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P＝1－P0－P1＝1－eq\f(5,96)－eq\f(7,24)＝eq\f(21,32).19．(本小题满分12分)(2019·河北省枣强中学期末考试)质量监督局检测某种产品的三个质量指标x，y，z，用综合指标Q＝x＋y＋z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1，1，2)(2，1，2)(2，2，2)(1，3，1)(1，2，3)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1，2，2)(2，3，1)(3，2，1)(1，1，1)(2，1，1)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率．解：(1)计算10件产品的综合指标Q，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10Q4565656634其中Q≤5的有A1，A2，A4，A6，A9，A10共6件，故该样本的一等品率为eq\f(6,10)＝0.6，从而估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A4)，(A1，A6)，(A1，A9)，(A1，A10)，(A2，A4)，(A2，A6)，(A2，A9)，(A2，A10)，(A4，A6)，(A4，A9)，(A4，A10)，(A6，A9)，(A6，A10)，(A9，A10)共15种．在该样本的一等品中，综合指标均满足Q≤4的产品编号分别为A1，A9，A10，则事件B发生的所有可能结果为(A1，A9)，(A1，A10)，(A9，A10)共3种，所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).20．(本小题满分12分)(2019·辽宁省凌源三校联考)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 的关注程度，随机选取了200名年龄在[20，45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(第一～五组区间分别为[20，25)，[25，30)，[30，35)，[35，40)，[40，45])．(1)求选取的市民年龄在[40，45]内的人数；(2)若从第3，4组用分层随机抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中做重点发言，求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35，40)内的概率．解：(1)由题意可知，年龄在[40，45]内的频率为P＝0.02×5＝0.1，故年龄在[40，45]内的市民人数为200×0.1＝20.(2)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3∶2，所以用分层随机抽样的方法在第3，4两组市民抽取5名参加座谈，应从第3，4组中分别抽取3人，2人．记第3组的3名市民分别为A1，A2，A3，第4组的2名市民分别为B1，B2，则从5名中选取2名做重点发言的所有情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共有10种．其中第4组的2名B1，B2至少有一名被选中的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共有7种，所以至少有一人的年龄在[35，40)内的概率为eq\f(7,10).21．(本小题满分12分)A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为eq\f(2,3)，服用B有效的概率为eq\f(1,2).(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．解：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2.据题意有：P(A0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，P(A1)＝2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，P(B0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(B1)＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).所求概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝eq\f(1,4)×eq\f(4,9)＋eq\f(1,4)×eq\f(4,9)＋eq\f(1,2)×eq\f(4,9)＝eq\f(4,9).(2)所求概率P′＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,9)))eq\s\up12(3)＝eq\f(604,729).22．(本小题满分12分)(2019·高考北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：　　　支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30人，仅使用B的学生有24＋1＝25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中，A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40人．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为eq\f(40,100)×1000＝400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则P(C)＝eq\f(1,25)＝0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．