第10章学案56

学案56　线性回归方程导学目标：1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．自主梳理1．相关关系：两个变量之间的关系可能是________关系(如：函数关系)，或__________关系．当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定性关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是一种非确定性关系．2．散点图：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图．3．回归直线(1)定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有________________，这条直线叫做回归直线．(2)最小二乘法：通过求Q＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－bxi－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和______，这一方法叫做最小二乘法．(3)线性回归方程方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的线性回归方程，其中a，b是待定参数．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a＝　　　　　　　　　)).自我检测1．下列有关线性回归的说法，正确的序号是________．①相关关系的两个变量不一定是因果关系；②散点图能直观地反映数据的相关程度；③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系；④任一组数据都有线性回归方程．2．下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其截面直径与高度之间的关系；⑤学生的身高与其学号之间的关系，其中有相关关系的是________(填序号)．3．(2010·银川模拟)下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x1234用水量y4.5432.5由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋a，则a＝________.4．如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．5．(2010·金陵中学三模)已知三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，则其线性回归方程是________________．探究点一　利用散点图判断两个变量的相关性例1　有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：温度(℃)－504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654画出散点图并判断它们是否有相关关系．变式迁移1　某班5个学生的数学和物理成绩如表：eq\o(\s\up7(　　学生),\s\do5(学科　　))ABCDE数学8075706560物理7066686462画出散点图，并判断它们是否有相关关系？探究点二　求线性回归方程例2　假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有以下统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y对x呈线性相关关系．试求线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a.变式迁移2　已知变量x与变量y有下列对应数据：且y对x呈线性相关关系，求y对x的线性回归方程．x1234yeq\f(1,2)eq\f(3,2)23探究点三　利用线性回归方程对总体进行估计例3　下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 煤)的几组对照数据．x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)变式迁移3　(2010·盐城期末)某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．1．相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．线性回归方程：设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为y对x的线性回归函数的类型为直线型：eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a.我们称这个方程为y对x的线性回归方程．其中eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi.3．线性回归方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性．样本的取值范围一般不能超过线性回归方程的适用范围，否则没有实用价值．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．命题：①路程与时间、速度的关系是相关关系；②同一物体的加速度与作用力是函数关系；③产品的成本与产量之间的关系是函数关系；④圆的周长与面积的关系是相关关系；⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系．其中正确的命题序号是________．2．(2011·陕西改编)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是________．(填序号)①x和y的相关系数为直线l的斜率；②x和y的相关系数在0到1之间；③当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同；④直线l过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．3．已知一组观测值具有线性相关关系，若对于eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，求得b＝0.51，eq\x\to(x)＝61.75，eq\x\to(y)＝38.14，则线性回归方程为__________________．4．某地区近几年居民的年收入x与支出y之间的关系，大致符合eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋0.1(单位：亿元)．预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．5．根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图，则这两个变量________线性相关关系(填“具有”或“不具有”)．6．若施化肥量x与水稻产量y的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝5x＋250，当施化肥量为80kg时，预计水稻产量为________kg.7．已知线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝4.4x＋838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为________．8．(2010·青岛模拟)为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s、t，那么下列说法中正确的是________(填上正确的序号)．①直线l1和l2一定有公共点(s，t)；②直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)；③必有l1∥l2；④l1与l2必定重合．二、解答题(共42分)9．(14分)(2010·威海模拟)某车间为了 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x))10．(14分)(2010·潍坊模拟)某种产品的宣传费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大？11．(14分)某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：月份产量(千件)单位成本(元)127323723471437354696568(1)求出线性回归方程；(2)指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？(3)假定产量为6000件时，单位成本为多少元？学案56　线性回归方程答案自主梳理1．确定性　非确定性　3.(1)线性相关关系　(2)最小　(3)eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)　eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)　eq\x\to(y)－beq\x\to(x)自我检测1．①②③解析　根据两个变量相关关系的概念，可知①正确，散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度，且回归直线最能代表它们之间的相关关系，所以②、③正确．只有线性相关的数据才有线性回归直线方程，所以④不正确．2．①③④3．5.25解析　eq\x\to(x)＝2.5，eq\x\to(y)＝3.5，∵线性回归方程过定点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，∴3.5＝－0.7×2.5＋a.∴a＝5.25.4．D解析　因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．5.eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(7,4)x＋eq\f(23,4)解析　∵eq\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))xiyi＝434，eq\x\to(x)＝7，eq\x\to(y)＝18，eq\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝179，∴b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))xiyi－3\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(3),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－3\x\to(x)2)＝eq\f(7,4).a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝18－eq\f(7,4)×7＝eq\f(23,4)，∴线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(7,4)x＋eq\f(23,4).课堂活动区例1　解题导引　判断变量间是否线性相关，一种常用的简便可行的方法就是作散点图．解　(1)以x轴表示温度，以y轴表示热饮杯数，可作散点图，如图所示．(2)从图中可以看出，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间是负相关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，所以两变量之间具有相关关系．变式迁移1　解　以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下图所示：由散点图可见，两者之间具有相关关系．例2　解题导引　求线性回归方程，关键在于正确求出系数a，b，由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎，分层进行，避免因计算产生失误，特别注意，只有在散点图大体呈线性时，求出的线性回归方程才有意义．解　制表如下：i12345合计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xeq\o\al(2,i)4916253690eq\x\to(x)＝4；eq\x\to(y)＝5；eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))x2i＝90；eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝112.3于是有b＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝eq\f(12.3,10)＝1.23；a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0.08.∴线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08.变式迁移2　解　eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(3,2)＋2＋3,4)＝eq\f(7,4)，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＝30，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,2)＋3×2＋4×3＝eq\f(43,2)，∴b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(\f(43,2)－4×\f(5,2)×\f(7,4),30－4×\f(25,4))＝0.8，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝eq\f(7,4)－0.8×eq\f(5,2)＝－0.25，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x－0.25.例3　解题导引　利用线性回归方程可以进行预测，线性回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制，依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据，有广泛的应用．解　(1)散点图：(2)eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝32＋42＋52＋62＝86，∴b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi－4\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)＝eq\f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝0.7，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝3.5－0.7×4.5＝0.35.∴所求的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35.(3)现在生产100吨甲产品用煤eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．变式迁移3　68解析　eq\x\to(x)＝10，eq\x\to(y)＝40，回归方程过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，∴40＝－2×10＋a.∴a＝60.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60.令x＝－4，eq\o(y,\s\up6(^))＝(－2)×(－4)＋60＝68.课后练习区1．②⑤2．④解析　因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以①②错误．③中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以③错误．根据线性回归方程一定经过样本中心点可知④正确．3.eq\o(y,\s\up6(^))＝0.51x＋6.65解析　a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝38.14－0.51×61.75≈6.65.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.51x＋6.65.4．12.1解析　∵eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋0.1，∴当x＝15时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8×15＋0.1＝12.1.5．不具有6．650解析　将x＝80代入eq\o(y,\s\up6(^))＝5x＋250中，即可得水稻的产量约为650kg.7.eq\f(5,22)解析　x与y的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数eq\f(1,4.4)＝eq\f(10,44)＝eq\f(5,22).8．①解析　线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a.而a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)，即a＝t－bs，t＝bs＋a.∴(s，t)在回归直线上．∴直线l1和l2一定有公共点(s，t)．9．解　(1)散点图如图所示．(4分)(2)由表中数据得eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝52.5，eq\x\to(x)＝3.5，eq\x\to(y)＝3.5，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝54，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝0.7.(7分)∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝1.05.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋1.05.回归直线如图中所示．(10分)(3)将x＝10代入线性回归方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，∴预测加工10个零件需要8.05小时．(14分)10．解　(1)根据表中所列数据可得散点图如图所示：(4分)(2)计算得：eq\x\to(x)＝eq\f(25,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(250,5)＝50，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝145，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝1380.于是可得b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝6.5，(7分)a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.(10分)(3)由上面求得的线性回归方程可知，当宣传费支出为10万元时，eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)，即这种产品的销售大约为82.5万元．(14分)11．解　(1)n＝6，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xi＝21，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))yi＝426，eq\x\to(x)＝3.5，eq\x\to(y)＝71，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝79，eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xiyi＝1481，b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xiyi－6\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－6\x\to(x)2)＝eq\f(1481－6×3.5×71,79－6×3.52)≈－1.82.(5分)a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝71＋1.82×3.5＝77.37.∴线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝a＋bx＝77.37－1.82x.(8分)(2)因为单位成本平均变动b＝－1.82<0，且产量x的计量单位是千件，所以根据回归系数b的意义有：产量每增加一个单位即1000件时，单位成本平均减少1.82元．(12分)(3)当产量为6000件时，即x＝6，代入线性回归方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝77.37－1.82×6＝66.45(元)．∴当产量为6000件时，单位成本为66.45元．(14分)